1、考研数学一公式 朱 泽斌 整理 考研 数 学一 公式 1. 特殊函数 （1） /2 /2 00 1 3 31 2 422 cos d sin d 1 3 42 2 53 nn n nn n nn I xx xx nn n nn = = = , 为偶 , 为奇（2） 2 2 0 0 sin( )sin( )d sin( )sin( )d cos( )cos( )d cos( )cos( )d 0 x xx x xx x xx x xx = = = = = （3） 2 0 sin( )cos( )d sin( )cos( )d 0 x xx x xx = = （4） 00 (sin )d (sin
2、 )d 2 x f xx f xx = （5 ） /2 /2 00 (sin )d (cos )d f xx f xx = （6） 1 0 () ed ( 1) ( ) ( 1) ! (1 / 2) x xx + = += += = 或 0 !0 1 ( ) e d ( 1) 0 2 1/2 mx mm m x x mm m m + = = = 的整 数的 半 整 数2. 不等式 （1） 22 22 22 ab a b a a ab ab + + （2） 12 12 n n n aa a aa a n + + + （3） 1 11 d n n x nx + （4） () d () d bb a
3、a fx x fx x （5） 柯 西不 等式 ( ) 2 22 ()() d () d () d b bb a aa f x g xx f xx gxx 3. 等价无穷小 （1） sin tan arcsin arctan l n ( 1 )e 1 x xxx x x x+（2） 2 1 cos / 2 xx （3） 2 1 cos / 2 xx （4） (1 ) 1 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) x x xx + + + + 4. 麦克劳林展开 （1） 23 e 1 () 2! 3! ! n xn xx x x ox n = + + + + + + （2） 35 21 21 ( 1)
4、 sin ( ) 3! 5! (2 1)! n nn xx x x x ox n + = + + + +（3） 35 21 21 ( 1) arctan ( ) 3 5 21 n nn xx x x x ox n + = + + + +（4） 24 22 ( 1) cos 1 ( ) 2! 4! (2 )! n nn xx x x ox n = + + + （5） 23 1 1 () 1 nn x x x x ox x = + + + + + + （6） 23 1 ( 1) ln(1 ) ( ) 23 n nn xx x x x ox n + = + + + （7） 23 ( 1) ( 1)(
5、 2) (1 ) 1 2! 3! ( 1) ( 1) () ! a nn aa aa a x ax x x aa a n x ox n +=+ + + + + + 1 / 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 5. 求导公式 2 1 (tan ) cos x x = 2 1 (cot ) sin x x = (sec ) sec tan x xx = (csc ) csc cot x xx = 2 1 (arcsin ) 1 x x = 2 1 (arccos ) 1 x x = 2 1 (arctan ) 1 x x = +2 1 (arccot ) 1 x x = +() (sin ) s
6、in 2 n n xx = + () (cos ) cos 2 n n xx = + () () ( ) 0 () n n k k nk n k uv C u v = = () 1 1 ()! () n n n an ax b ax b + = + + 6. 弧微分 2 22 d 1 () d () () d S f xx x t y tt = +=+ 7. 弧长 2 1 2 22 2 2 1 ( )d () () d ( ) ( ) d b a t t l f xx x t y tt r r = + =+=+ 8. 曲率 K 2 3/2 2 2 3/2 “ “ () () “ () () 1
7、 ( 1 ) () () y x ty t y tx t K y xt yt = = = +9. 连 续 可偏 导 可 微 连 续 可 偏导10. 区域 D 上的无条件极值 令 0 0 0 0 x y f xx f yy = = = = 令 00 (, ) xx A f xy = 00 (, ) xy B f xy = 00 (, ) yy C f xy = 2 0 0 0 0 A AC B A 极小值是极值点 极大值不是极值点11. 条件极值 （拉格朗日 乘数 法） u = f(x,y,z) ， 约束 方程 (x,y,z) 和 (x,y,z) ， 设 F = f + + ，则 0 0 0 0
8、 0 0 0 0 xx x x yy y y zz z z Ff Ff xx F f yy F zz F =+= =+= = =+= = = = = = 如果 (, ) xy D 是闭区域，则先在开区域内 用 无条件 极值 ，再 在边 界上 用条件 极值 。 12. () () () Fx f x f x 原函 数 导数 偶 奇 偶 奇 偶 奇 周期 周 期 周期13. 积分公式 （1） d ln x x a ax C a = + （2） tan 1 d cos cos x xC xx = + （ 易推 ） （3） 11 d sin tan sin xC xx x = + （易 推） （4）
9、2 d arctan 1 x xC x = + + （5） 2 d arcsin 1 x xC x = + （6） 22 22 d ln x x xa C xa =+ （7） 22 d arcsin xx C a ax = + （8） 22 d1 arctan xx C aa ax = + + （9） 22 d1 ln 2 x xa C a xa xa = + + （可用 平方 差公 式推 出） （10） 2 22 22 d arcsin 22 a xx ax x axC a = + + （11 ） tan d ln cos xx x C = + （易推 ） 2 / 11 考研数学一公式 朱
10、泽斌 整理 （12） cot d ln sin xx x C = + （易推 ） （13） sec d ln sec tan xx x x C =+ （14） csc d ln csc cot xx x x C =+ 14. 换元法 （1） ( ) ( )e d de ( ) xx f x fx x fx += （2） (1 )e d d( e ) xx xx x += （3） d 2d( ) x x x = （4） (1 ln )d d( ln ) xx x x += 15. 微分方程 （1） 一 阶非 线性 d () () d y Pxy Qx x += ( )d ( )d ( )e d
11、e Px x Px x y Qx x C = + （2） 缺 y 型 ( , , “) 0 f xy y = ， 令 y = p， ( , , ) 0 f xpp = 缺 x 型 ( , , “) 0 f xy y = 令 y = p， d (, , ) 0 d p f ypp y = （3） 二阶 齐次 2 “ 0 0 y py qy p q + += + += 12 1 12 1 2 12 1 2 12 , ee , ( )e , e ( cos sin ) xx x x yC C y C xC i y C xC x =+ = = + = += + （4） 二阶 非齐 次型 2 120 “
12、 ( )e 0 , x n y py qy P x pq y += + +=（ 是常数）2 12 12 12 , * ( )e , * ( )e , * ( )e x n x n x n y xQ x y xQ x y Qx = = = = = = （Q n(x) 是与 P n(x) 同阶 的多 项式） 把 y* 代回原方程 解 出 Q n(x) ，则 y = y 0 + y* 若 12 = = ， 2 () “ () nn xQ x P x = 若 12 = ， ( )“ (2 ) ( ) ( ) n nn xQ x p xQ x P x + = （5） 二阶 非齐 次型 2 120 “ e
13、 () c o s () s i n 0 , x mn y py qy P x x P x x pq y += + + +=12 12 ,* e () c o s () s i n ,* e () c o s () s i n x mn x mn i y x Q x xQx x i y Q x xQx x += = + + = + 或 和（Q m(x) 、Q n(x) 是与 P m(x) 、P n(x)同阶 的多 项式 ） 把 y* 代回原方程 解 出 Q m(x) 和 Q n(x) ， 则 y = y 0 + y* （6） 欧拉 方程 ( ) 1 ( 1) 1 10 () nn n n n
14、x y a x y a xy a y f x + + + = 令 e t x = ，则 () 2 dd d 1 ( 1) dd d dd “1 dd d d nn xy n y tt t xy y tt xy y t = = = （7） 伯 努利 方程 d () () d n y Pxy Qxy x += 令 1 n zy = ，代入 得 d (1 ) ( ) (1 ) ( ) d z nPxz nQx x + = 化为一 阶非 线性 方程 16. 等比数列（级数） 1 1 1 1 n n q aq q q = = 发散 第 一项17. 幂级数的收敛半径 0 n n n ax = ， 1 1
15、lim lim n n n nn n a a aR + = =0 an b n n ax + = ， 1 lim lim n n n nn n a a a + = = ， 1 a R =18. 泰勒展开 （1） 23 0 e1 ! 2! 3! n x n x xx x n = = = + + + + 3 / 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 （2） 35 21 0 ( 1) sin (2 1)! 3! 5! n n n xx x xx n + = = = + + （3） 24 2 0 ( 1) cos 1 (2 )! 2! 4! n n n xx xx n = = = + （4） 23 0
16、 1 1 1 n n x xx x x = = = + + + + （5） 23 1 0 ( 1) ln(1 ) 1 23 n n n xx x xx n + = + = = + + （6） 23 0 ln(1 ) 23 n n x xx xx n = = = + + + 19. 傅里叶级数 当 f(x)是周 期为 2 的函数 0 1 ( cos sin ) 2 () ( 0) ( 0) 2 nn n a a nx b nx fx fx fx = + = + + 连续处第一 类间 断 点处 0 1 ( )d 1 ( ) cos d 1 ( )sin d n n a fx x a f x nx
17、x b f x nx x = = = 当 f(x)是周 期为 2l 的函数 0 1 cos sin 2 () ( 0) ( 0) 2 nn n a a nx b nx ll fx fx fx = + = + + 连 续 处第一 类间断点 处0 1 ( )d 1 ( ) cos d 1 ( )sin d l l l n l l n l a fx x l a f x nx x ll b f x nx x ll = = = 20. 2S = ab 21. 旋转曲面 22 22 ( , ) 0, (, ) 0 ( ,) 0 f xy x fx y z y f x zy = += += 绕 轴 转：绕
18、谁 转 谁不 动 绕 轴转 ：22. 平面 （1） 点 法式 过点 M 0(x 0,y 0,z 0) ， 法 向量 n = A,B,C 0 00 ( ) ( ) ( )0 Ax x By y Cz z += （2） 一 般式 0 Ax By Cz D += 其中 n = A,B,C 为法 向量 （3） 截 距式 0 xyz abc += 其中 a 、b 、c 为三 个截 距 23. 空间曲面 (, ,) 0 Fxyz = 法向量 为 , , xyz FFF = n 24. 空间直线 （1） 一 般式 11 1 1 22 2 2 0 0 Ax By Cz D Ax By Cz D += += （
19、2） 点 向式 0 00 xx yy zz abc = = （过点(x 0, y 0, z 0) ，n = a, b, c ） （3） 参 数式 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + （过点(x 0, y 0, z 0) ，n = a, b, c ） （4） 两条 直线 1 2 12 1 2 12 ( ) MM 0 ( ) MM 0 = nn nn 充要 充要 共面 异面4 / 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 25. 空间曲线 （1） 一 般式 (, ,) 0 (, ,) 0 Fxyz Gxyz = = n 1 是 F 的法 向量 n 1 = F
20、x, F y, F z M0 n 2 是 G 的法 向量 n 2 = G x, G y, G z M0 曲线的 切向 量为 11 = nnn （2） 参 数式 () () () x xt y yt z zt = = = 000 ( ), ( ), ( ) xt yt yt = n 26. 距离 （1） 点面 之距 点 00 00 (, ,) Mxyz ，面 0 Ax By Cz D += 000 222 Ax By Cz D d ABC + = +（2） 平 行面 之距 面 1： 1 0 Ax By Cz D += ， 面 2： 2 0 Ax By Cz D += 12 222 DD d AB
21、C = +（3） 点线 之距 n 是 直线 切向 量，M 0 在直 线上，M 1 在 直线 外，M 1 到直 线的 距离 01 MM d = n n （4） 异面 直线 之距 线 1：n 1 是切 向量 ，M 1 在其 上 线 2：n 2 是切 向量 ，M 2 在其 上 1 2 12 12 MM d = nn nn 27. d cos ,cos ,cos d d d ,d d ,d d d cos ,cos ,cos d d ,d ,d S = yz xz xy l= x y z = = S l28. 曲线积分 （1） 对弧 长的 曲线 积分 2 22 ( , )d , ( ) 1 ( )d
22、() , () () () d b La f xy S fxyx y x x f xt yt x t t t t = + = + （2） 对坐 标的 曲线 积分 （ 环量） 二维 ( , )d ( , )d , () d , () () d () , () () d () , () () d L b a Pxy x Qxy y Pxyx x Qxyx y x x Pxt yt x t t Qxt yt y t t + = + = + 二 维闭 合曲 线 用 格林 公式 dd L D QP Px Qy d xy += 二维 曲线 满足 柯西 黎曼 条件 QP xy = ， 则是保 守场， 积分
23、结果 与路 径 无关 三维 ddd () , () , () () d () , () , () () d () , () , () () d L Px Qy Rz Pxt yt zt x t t Qxt yt zt y t t Rxt yt zt z t t + = + 三维 闭合 曲线 用斯 托克 斯公式 dd dd dd ddd cos cos cos d L S S yz xz xy Px Qy Rz xyz PQR S xyz PQR += = 29. 曲面积分 （1） 对面 积的 曲面 积分 2 2 (, ,) d , ,(, ) 1 d Dxy zz f xyz S fxyzxy
24、 xy = + 5 / 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 （2） 对坐 标的 曲面 积分 （ 通量） dd dd dd (,) , d d , (,) , dd , ,(, ) dd yz Dyz xz xy Dxz Dxy Pyz Qxz Rxy Pxyz yz yz Qxyxz z xz Rxyzxy xy + = + （其中 1 cos 0 1 cos 0 yz = = = ） 闭合 曲面 积分 （高 斯公 式） dd dd dd d V PQR Pyz Qxz Rxy V xyz + + = + （闭合 曲面 向外 ） 30. 方向导数 00 0 0 cos cos cos MM
25、M M ff f f lx y z =+ 31. 通量 d , , cos ,cos ,cos d cos d cos d cos d dd dd dd PQR S P SQ SR S Pyz Qxz Rxy = =+ =+ AS32. 环量 d , , cos ,cos ,cos d cos d cos d cos d ddd LL L L PQR l P lQ lR l Px Qy Rz = =+ =+ Al33. 基本公式 （1）|A * | = |A| n 1（2）AA *= A * A = |A|E （3） * 1 = A A A34. 三种初等矩阵 （1） 行（ 列） 对调 (,
26、) ij = E 1 0 1 () 1 1 1 0 () 1 i j (, ) 1 ij = E 1 (, ) (, ) ij ij = EE （2） 行（ 列） 倍增 () i c = E 1 () 1 ci () i cc = E 1 1 () ( ) ii c c = EE （3） 行（ 列） 相加 () ij k = E 1 1 () 1 1 () ki j 左乘 (j) 行乘 k 加到(i) 行 左乘 (i) 列乘 k 加到(j) 列 () 1 ij k = E 1 () ( ) ij ij kk = EE 35. 秩 （1） ( ) () () r rr + AB A B （2）
27、( ) () ( ) min ( ), ( ) ( ) () rr r rr rr AB A AB A B AB B（3） 如果 P 、 Q 可逆 ， ( )( )()( ) rr r r = = = A PA AQ PAQ （4） 对于 A mn 、B ns ， 且 AB = 0 ， 则 () () rrn + AB （5） () () r rr = + A AB B6 / 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 （6） () () r rr + A AB B（7） T () 1 , r = = A A 充要，使 0 （8） * () 1 () 1 0 () 1 nr n rn rn = =
28、= A AA A36. 向量相乘 （1） 若 A = T ， 则 A n = ( , ) n-1 A （2）tr( T ) = ( , ) 37. 向量组等价 可以互相线性 表示 38. 列组相乘 （1） ( ) ( ) 1 2 12 , , , nn = A A A A （2） ( ) 12 11 1 11 21 1 12 22 2 12 12 , , , nn n jj jj m jj jj j m m n n n mn kk k kk k kk k kk k = = = = 39. 矩阵相似 TT 11 1 * () () tr( ) tr( ) AB ff = = = AB AB AB
29、 P AP B A B AB AB40. 特征值与特征向量 A A -1A *P -1 AP ( 相似) f(A) 1 A f( ) P -1 41. 特征值与特征向量的 性质 （1） 11 22 1 2 tr( ) nn n aa a =+=+ A （2） 12 n = A （3） 11 , 0 , 0 () r rn rr + = = A A ， 可对角化42. n A A A 是实对称矩阵 有 个线性无关的特 化 征向量 可对角 A A 不同 的 正交 是实对称矩阵 可对角化43. 正交规范化 （1） 正 交化 11 21 22 1 11 31 32 33 1 2 11 2 2 1 1
30、(,) (,) (,) (, ) (,) (, ) (,) (,) n ni nn i i ii = = = = = （2） 规 范化 1 1 1 = 、 2 2 2 = 、 、 n n n = 44. 正交矩阵 （1） T 1 1 = = = A AA E Y AX Y X（2） 对于 A = ( 1, 2, , n) ，有 T 12 , n = AA E 两 两 正交规 范 45. 二次型的标准化 T TT () = () f = = X QY Q X AX Y Q AQ Y 正 交 可 逆Q = ( 1, 2, , n)，其中 1, 2, , n 是 A 的正 交规 范特征 向量 7 /
31、 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 46. 判定正定二次型的顺 序主 子式法 对于 11 12 1 21 22 2 12 n n n n nn aa a aa a aa a = A ，A T= A ，则 11 12 11 21 22 0, 0, , 0 aa a aa AA 正 定 47. 矩阵相似、合同、等 价的 关系 都可对角化 矩阵相似 相同 都实对称 矩阵合同 的正负个数一样 同 型 矩 阵 等价 秩 相同 相似 合同 等价48. 分布 （1）离 散型分布 二项分 布 X B(n, p) (1 ) k k nk n PX k Cp p = = k = 0, 1, 2, EX np
32、= (1 ) DX np p = 几何分 布 X G(p) 1 (1 ) k PX k p p = = k = 1, 2, 3, 1 EX p = 2 1 p DX p = 泊松分 布 X ( ) 或 X P( ) e ! k PX k k = = k = 0, 1, 2, EX = DX = （2）连 续型 分布 均匀分 布 X U(a, b) 1 () 0 axb fx ba = 其 他00 () 1e 0 x x Fx x = 1 EX = 2 1 DX = 正态分 布 X N( , 2 ) 2 2 () 2 1 () e 2 x fx = 2 2 () 2 1 () e d 2 x x
33、 Fx x = EX = 2 DX = （3）数 理统 计 2 分布 若 X N(0, 1) ，则 22 1 () n i i YX n = = EY n = 2 DY n = t 分布 若 X N(0, 1) ，Y 2 (n) ，则 () / X Z tn Yn = 0 EZ = (0,1) ZN 近 似F 分布 若 X 2 (m) ，Y 2 (n)，则 / (,) / Xm Z Fmn Yn = 8 / 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 49. 加法、减法、乘法公 式 （1） ( ) () () ( ) PA B PA PB PA B += + （2） ( ) () () () ( )
34、()( )( ) PA B C PA PB PC P AB P AC P BC P ABC += + + + （3） ( )( )( ) ( ) PA B PA B PA PA B = = （4） ( ) ( | )() PA B PA BPB = （5） 12 1 2 2 3 ( ) (| )( | ) () n n nn PA A A PA A A PA A A PA = 50. 条件概率 () (|) () P AB PA B PB = 51. 全概率公式 1 () ( | )( ) n jj j PA PA B PB = = 52. 贝叶斯公式 1 ( ) ( | )( ) ( |)
35、() ( | )( ) i ii i n jj j PA B PA B PB PB A PA PA B PB = = = 53. 独立 （1）A 、B 独立 ( ) ()() PA B PAPB = （2）A 、B 、C 独立 ( ) ()() ( ) ()() ( ) ()() ( ) ()()() PA B PAPB PA C PAPC PB C PBPC P ABC P A P B P C = = = = （3 ） 四组 事件 ： , AB ； , AB ； , AB ； , AB ， 一组独 立，其 余三 组独 立 （4） 若 P(A) 0 ，P(B) 0 ，且 A 、B 独立 ， 则
36、 AB （5） 若 P(A) 0 ，P(B) 0 ，且 AB = ， 则 A 、B 不 独立 （6）二 维随 机变 量的 独立性 (, ) () () (, ) () () ij i j XY XY p pp Fxy F xF y f xy f xf y = = =54. 互斥 ( ) () () PA B PA PB += + 55. 正态分布 （1） 2 ( , ) ( 0 , 1 ) X XN N （2） 22 121 2 22 11 2 2 ( , ) ( , , , , ) ( , ) ,(, ) XY N XN YN （3） 2 22 1 11 (, ) ( , ) i ii n
37、nn i i ii i i i ii XN Z CX N C C = = = = 56. 方差 （1） 2 22 var( ) () DX X E X EX EX EX = = = （2） 2 DX E X C 0) （4） XY = 1， 则 X 、Y 负 相关， 此时 PY = aX + b = 1 ，(a 0) （5）X 、Y 独立 X 、Y 不相关 （6） 当(X, Y) N( 1, 2, 1 2 , 2 2 , ) 时， X 、Y 独立 X 、Y 不 相关 = 0 9 / 11 考研数学一公式 朱 泽斌 整理 59. 数学期望、方差、协 方差 公式 （1）E(CX) = CEX （2
38、）E(X + Y) = EX + EX （3）（ 独立 ）E(XY) = EXEY （4）D(X + C) = DX （5）D(aX + bY) = a 2 DX + b 2 DY + 2abcov(X, Y) （6）（ 独立 ）D(X + Y) = DX + DY （7）cov(aX, bY) = abcov(X, Y) （8）cov(X 1 + X 2, Y) = cov(X 1, Y) + cov(X 2, Y) 60. 切比雪夫不等式 2 DX P X EX 2 1 DX P X EX 61. 切比雪夫大数定律 X 1, X 2, , X n 独 立（不 一定同 分布 ） 存在 方差
39、，方 差有 界 11 11 nn ii ii P X EX nn = = 或 1 1 n i i P X EX n = 62. 独立同分布的大数定 律（ 辛钦大数定律） X 1, X 2, , X n 独立 同 分布 存在 数学 期望 EX i = 1 1 n i i P X n = 或 P X 63. Levy-Lindberg 中心极限 定理 X 1, X 2, , X n 独 立同分 布（分 布函 数不 确定 ） 存在 数学 期望 EX i = ，方差 DX i = 22 1 (, ) n i i X Nn n = 近 似或 1 lim (0,1) n i i n Xn N n = 64
40、. Laplace 中心极限定理 X n B(n, p) ( , (1 ) n X B np np p 近 似或 lim (0,1) (1 ) n n X np B np p 65. 三个统计量 （1）样 本平 均值 1 1 n i i XX n = = （2）样 本方 差 22 1 1 () 1 n i i S XX n = = （3）样 本 k 阶原 点矩 1 1 n k ki i AX n = = 66. 公式 （1） 22 ES = （2） X 与 S 2 独立 （3）若 X N( , 2 )，取 样本 X 1, X 2, , X n 2 (, ) XN n 或 (0,1) / X N n （4） 若 X N( , 2 )，取 样本 X 1, X 2, , X n ( 1) / X tn Sn （5）若 X N( , 2 )，取 样本 X 1, X 2, , X n 22 2 1 1 ( ) () n i i Xn = （6） 若 X N(
