1、习题课圆与圆的方程及综合应用,1.圆的标准方程与一般方程的比较,2.直线与圆、圆与圆位置关系的解决方法 (1)几何法侧重点在于利用圆的几何性质,并利用半径与距离的量来刻画位置关系,解法简捷、直观; (2)代数法侧重点在于利用联立方程的思路,通过方程解的组数来刻画位置关系,解法比较抽象,但严谨.,3.重要结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点P(a,b)作圆的切线PA,PB,其中A,
2、B为切点,则直线AB的方程为ax+by=r2. (4)A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. (5)过两圆交点的直线方程. 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 由-得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 若圆C1与圆C2相交,则为过两圆交点的弦所在直线的方程.,(6)过直线与圆的交点的圆系方程. 若直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C
3、的两个交点的圆系方程. (7)过圆与圆的交点的圆系方程. 若圆C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C2:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则过这两个圆交点的圆系方程可设为x2+y2+Dx+Ey+F+(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(-1). (8)圆的常用几何性质. 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上. 圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直. 过切点且垂直于该切线的直线必过圆心.,做一做1 已知x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是( ),解析:令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k0,得k,答案:B,解析:本题可转化为直线x+y+1=0与圆(x-1)2+
4、(y-1)2=R2(R0)相切,求R.,答案:B,解析:如图,由题意知圆的圆心坐标为(0,0),半径r=2.,答案:B,做一做4 已知直线x-my+2=0与圆x2+(y-1)2=1有两个不同的交点,则( ),答案:B,做一做5 若圆(x+2)2+y2=9与圆(x-1)2+(y+a)2=64内切,则实数a= .,答案:4,做一做6 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件的圆的方程. (1)过原点; (2)面积最小.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,探究一求圆的方程,【例1】已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成两段弧长之
5、比为12,求圆C的方程.,分析:先设出圆的标准方程,然后利用点在圆上及弧长之比列出方程组求解即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟求圆的方程的两种方法 (1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程. (2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数,进而求出圆的方程.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练1 已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且圆C在直线l2:x-y=0上截得的弦长为,求圆
6、C的方程.,解:因为圆心C在直线l1:x-3y=0上, 所以可设圆心坐标为(3t,t). 又圆C与y轴相切,所以圆的半径为r=|3t|. 再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得,所以圆心坐标为(3,1)或(-3,-1),半径为3. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,探究二直线与圆、圆与圆位置关系的应用,【例2】 (1)设直线kx-y+1=0被圆O:x2+y2=4所截弦的中点的轨迹为C,则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,(2)已知圆C
7、1:x2+y2=m与圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0相切,则实数m的值为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,(2)由于圆C1的圆心在圆C2内部,所以两圆只能内切.圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,由于两圆内切,所以有 =5,解得m=1或m=121. 答案:(1)A (2)1或121 反思感悟解决直线与圆、圆与圆位置关系问题有几何法和代数法,但一般使用几何法解决,解决的关键是找出圆心、半径及距离,含参类问题也要注意最后结果的检验.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练2 (1)若
8、直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( ) A.-3,-1 B.-1,3 C.-3,1 D.(-,-31,+),(2)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案:(1)C (2)D,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,探究三与圆有关的最值问题,【例3】 若实数x,y满足(x-2)2+y2=3,则,的最大值,为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟与圆有关的最值问题 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何
9、意义,借助数形结合思考求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:,(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练3 若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为( ),A. 5 B.5 C.2 5 D.10,答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,与圆有关的弦及弦长问题 【例4】 (1)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直
10、线l:ax+y+2a=0. 当a为何值时,直线l与圆C相切? 当直线l与圆交于A,B两点,且|AB|=2 时,求直线l的方程. (2)已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,那么是否存在实数m,使得OPOQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 分析:(1)利用d=r列式;利用弦长公式列方程.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解:(1)圆的方程化为标准方程为x2+(y-4)2=4,即圆心为C(0,4),半径r=2.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,(2)由直线方程得3=x+2y, 将其代入圆的方程x2+y2
11、+x-6y+m=0,经检验,符合题意. 故存在m=3,使得OPOQ.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,2.关于弦的逆向问题,一定要将垂直、夹角或距离等条件用代数式表达出来,进而求得参数.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练4(1)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为 . (2)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长. (1)解析:由题意,得圆心C的坐标为(-1,2),半径r=3. 因为ACBC,
12、所以圆心C到直线x-y+a=0的距离,答案:0或6,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,两式相减并化简得3x-4y+6=0. 则3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 由题易知圆C1的圆心C1(-1,3),半径r=3.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,探究五与圆有关的轨迹问题,【例5】 定长为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,分析:先设出动点M及A,B的坐标,再找出三点坐标之间的关系,最后利用|AB|=4化简即得.,解:设线段AB的中点M为(x,y),线段AB的端点A(x0,0),B(0,y0),得(2
13、x)2+(2y)2=16,化简得x2+y2=4, 所以线段AB的中点M的轨迹方程是x2+y2=4.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟求轨迹的方法很多,但目前应掌握好直接法与相关点法:直接法的关键是设出动点,直接将条件代数化化简即得;相关点法不仅要设出所求动点坐标,还要设出与之联动的相关点的坐标,并且要找出它们坐标之间的关系,再代数化化简即得.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练5 已知点O(0,0)和点B(m,0)(m0),动点P到点O和点B的距离之比为21.求P点的轨迹.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,与圆有关的切线问题,
14、典例求经过点(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.,思路点拨:方法1:采用代数法,根据当=0时直线与圆相切来求斜率k.方法2:采用几何法,若直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径.方法3:利用过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解法1:因为12+(-7)2=5025, 所以点(1,-7)是圆外一点. 由题易知切线的斜率存在, 所以设切线的斜率为k, 由点斜式得y+7=k(x-1), 即y=k(x-1)-7. 将上式代入圆的方程x2+y2=25, 得x2+k(x-1)-72=25, 整理得(k2+1)x2
15、-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0, 令=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0, 整理得12k2-7k-12=0,所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解法2:由题易知切线的斜率存在, 所以设所求直线的斜率为k, 所以所求切线的方程为y+7=k(x-1), 整理成一般式为kx-y-k-7=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,名师点评在求过定点的圆的切线方程时,应首先确定点与圆的位置关系:(1)若点在圆外,则切线应有两
16、条,若根据点到直线(设成点斜式的直线)的距离等于半径,求出的切线只有一条,则说明还有一条斜率不存在的直线,不要漏掉;(2)若点在圆上,则切线只有一条,这条切线与圆心和该点的连线垂直,垂足为该点.,1,2,3,4,5,6,7,1.已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交,答案:C,1,2,3,4,5,6,7,2.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.1,解析:由题意得a2=a+2,a20,a+20,解得a
17、=-1或a=2.,综上所述,a=-1.故选A. 答案:A,1,2,3,4,5,6,7,3.以线段AB:x+y-2=0(0x2)为直径的圆的方程为 ( ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8 解析:直径的两端点分别为(0,2),(2,0), 圆心为(1,1),半径为 ,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:B,1,2,3,4,5,6,7,4.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定,解
18、析:圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆,m=6. 答案:C,1,2,3,4,5,6,7,5.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ),解析:圆C1,C2如图所示. 设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1, 同理|PN|的最小值为|PC2|-3, 则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4. 作C1关于x轴的对称点C1(2,-3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC1, 根据三角形两边之和大于第三边
19、,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|, 则|PM|+|PN|的最小值为5 -4.选A. 答案:A,1,2,3,4,5,6,7,6.已知点P是圆x2+y2=16上的动点,点A的坐标为(12,0),M为PA的中点,则点M的轨迹方程是 . 解析:设M(x,y),A(12,0),M为PA的中点, P(2x-12,2y). 点P为圆x2+y2=16上的动点, (2x-12)2+4y2=16,即(x-6)2+y2=4. 答案:(x-6)2+y2=4,1,2,3,4,5,6,7,7.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点M的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值; (3)若直线ax-y+4=0与圆交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,求a的值.,解:(1)圆心为C(1,2),半径为r=2. 当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3. 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离为3-1=2=r. 知此时直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设其方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0.,1,2,3,4,5,6,7,即3x-4y-5=0. 综上可知,过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.,
