1、第二章 解析几何初步,1 直线与直线的方程,1.1 直线的倾斜角和斜率,1.直线的确定 在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件是:已知直线上的一个点和这条直线的方向,2.直线的倾斜角,做一做1,如图,已知AOB为等腰直角三角形,则直线OA,OB,AB的倾斜角分别为 .,解析:因为AOB为等腰直角三角形,所以AOB=ABO=45, 因此,直线OA的倾斜角为45,直线AB的倾斜角为180-45=135, 又直线OB与x轴重合,所以其倾斜角为0,答案:45,0,135,3.直线的斜率,做一做2 写出上述“做一做1”中三条直线对应的斜率分别为 , , .,答案:1 0 -1,4.过两点的直线斜率的
2、计算公式,做一做3 已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)直线的倾斜角的取值范围是0,180. ( ) (2)直线的倾斜角越大,其斜率也越大. ( ) (3)直线的斜率越大,其倾斜角也越大. ( ) (4)若直线的斜率k=tan ,则一定为该直线的倾斜角. ( ) (5)只要一条直线的倾斜角确定,那么该直线就确定了. ( ) (6)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,易错辨析,探
3、究一直线的斜率,【例1】 (1)已知一条直线的倾斜角为60,求这条直线的斜率; (2)求经过两点A(2,3),B(m,4)的直线的斜率.,分析:(1)利用斜率的定义求解;(2)对参数m进行分类讨论,分情况求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟直线斜率的求法 1.求直线的斜率通常有两种方法:一是已知直线的倾斜角(90)时,可利用斜率的定义,即k=tan 求得;二是已知直线所经过的两点的坐标时,可利用过两点的直线的斜率公式计算求得. 2.使用斜率公式k= 求斜率时,要注意其前提条件是x1x2.若x1=x2,即两点的横坐标相等时,直线的斜率不存在. 3.若两点的横坐标中含有参数,则应先讨
4、论横坐标是否相等,再确定直线的斜率.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,答案:3,变式训练1若点A(4,2),B(5,b)的连线与点C(1,2),D(3,4)的连线的斜率相等,则b的值为 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究二直线的斜率与倾斜角的简单应用,【例2】 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角的取值范围.,分析:数形结合,利用斜率公式.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k-1或k1. (2)由题意可知,直线l的
5、倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又因为PB的倾斜角是45,PA的倾斜角是135,所以的取值范围是45135. 反思感悟1.已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解;已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时,应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2(1)当a为何值时,过点A(2a,3),B(2,-1)的直线的倾斜角是锐角、钝角或直角? (2)若直线l的斜率k=1,求直线的倾斜角.,解:(1)当过点A,B的直线的倾斜角是锐角时,kAB0,当倾斜角为直角时,A,B两点的横坐标相等. 即2a
6、=2,所以a=1. (2)设直线l的倾斜角为,若k=1,则tan =1. 又tan 45=1,且0180,所以=45. 所以直线的倾斜角为45.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究三利用斜率解决三点共线问题,【例3】已知三点A(1,-1),B(3,3),C(4,5),求证:A,B,C三点在同一条直线上.,反思感悟利用斜率证明三点共线问题的方法步骤:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练4 若点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,求k的值.,解:由经过两点的直线的斜率公式得,直线AB的斜率kAB与直线BC的斜率kBC相等.,又kAB=,=3,kBC=k-3,即k-
7、3=3,解得k=6,故k的值为6.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,忽略直线斜率不存在的情况而致误 【典例】 设直线l过点A(7,12),B(m,13),求直线l的斜率k,并说明倾斜角的取值范围.,正解当m=7时,直线l与x轴垂直, 斜率不存在,倾斜角=90;,探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得1.直线的斜率公式是在x1x2的条件下才成立的,当x1=x2时斜率是不存在的.因此在遇到点的坐标有参数存在时,要注意参数的取值范围,若不能排除斜率不存在的情形,则需要进行分类讨论. 2.本例当m=7时,斜率不存在,不能用斜率公式,错解中漏掉了这种情况.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训
8、练若直线l的斜率k1,求倾斜角的取值范围. 解:tan 45=1,当0k1时,045; 当k0时,90180. 当k1时,倾斜角的取值范围是045或90180.,1,2,3,4,5,6,1.(2017北京模拟)已知点A(2,m),B(3,3),直线AB的斜率为1,则m的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B,1,2,3,4,5,6,2.已知A(a,2),B(3,b+1),且直线AB的倾斜角为90,则a,b应满足( ) A.a=3,b=1 B.a=2,b=2 C.a=2,b=3 D.a=3,bR,且b1 解析:直线AB的倾斜角为90,则斜率不存在,a=3,bR,当b=1时,A,B两点重合,应舍去. 答案:D,1,2,3,4,5,6,3.如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ( )A.k1k30,所以k2k3k1. 答案:D,1,2,3,4,5,6,4.过原点,且斜率为 的直线l,绕原点逆时针方向旋转30到达l位置,则直线l的斜率为 .,1,2,3,4,5,6,5.已知A(0,-k),B(2,3),C(2k,-1)三点共线,则实数k等于 .,解得k=-1. 答案:-1,1,2,3,4,5,6,6.已知直线l经过点P(1,2)和Q(x,0). (1)若直线l的倾斜角为45,求x的值; (2)若直线l的倾斜角为钝角,求x的取值范围.,
