1、1数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质例题 1. 已知数列 na满足 11,3(2)na. （1）求 32,；（2）证明： n.解：（1） 2123,14,1aa. （2）证明：由已知nn，故 )()()( 12211ann233n， 所以证得32na. 例题 2. 数列 na的前 项和记为 11,(1)nnSS（）求 的通项公式；（）等差数列 nb的各项为正，其前 项和为 nT，且 35，又123,aba成等比数列，求 n. 解：（）由 12nS可得 12()aS，两式相减得： 1,3nn，又 21aS 2 故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列
2、 3n（）设 b的公比为 d，由 315T得，可得 1235b，可得 2b故可设 135,，又 23,9a，由题意可得 ()(9)(，解得 12,0d等差数列 n的各项为正， 0 2()3nTn例题 3. 已知数列 na的前三项与数列 nb的前三项对应相同，且 213.a128na对任意的 *N都成立，数列 n1是等差数列. 求数列 n与 b的通项公式；是否存在 k，使得 (0,)ka，请说明理由. 点拨：（1） 2113.8na左边相当于是数列 12na前 n 项和的形式，可以联想到已知 nS求 的方法，当 时， 1nnSa. （2）把 kb看作一个函数，利用函数的思想方法来研究 kb的取值
3、情况. 2解：（1）已知 213a 1na8(*N）2n时， 2 2)n）得， 8n，求得4n，在中令 ，可得得 11，所以4na(N*）. 由题意 1b， 2， 3b，所以 214b， 32b，数列 n的公差为 )(， 1n)1(46n，2321n()8 74(*N）. （2） kba7k4k，当 4时，2()f单调递增，且 (4)1f，所以 k时， 14fkk， 又 (1)2(3)0f ，所以，不存在 *N，使得 (,)kba. 例题 4. 设各项均为正数的数列a n和b n满足：a n、b n、a n+1 成等差数列，b n、a n+1、b n+1成等比数列，且 a1 = 1， b1 =
4、 2 ， a2 = 3 ，求通项 an，b n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 a n、b n 为正数， 由得 21211,nnn baba， 代入并同除以 1n得： 2 ， n为等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j b 1 = 2 ， a2 = 3 ， 9,21b则， 2)1(),1()9)( nnn，当 n2 时， 21bnn，又 a1 = 1，当 n = 1 时成立， )(a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2. 研究前 n 项和的性质例题 5.
5、已知等比数列 n的前 项和为 nSab，且 13a. （1）求 a、 b的值及数列 a的通项公式；3（2）设nba，求数列 nb的前 项和 nT.解：（1） 2时， aS12.而 n为等比数列，得 aa12，又 3a，得 ，从而 3na.又 13,b.（2） 12nnb， 2()n nT2311(n nT） ，得 21(1)32n nT，11)4()322nn n.例题 6. 数列 na是首项为 1000，公比为 10的等比数列，数列 bn满足12(lglg)k kba*()N，（1）求数列 n的前 项和的最大值；（2）求数列 |n的前 项和 nS. 解：（1）由题意：410n， l4n，数列
6、 lga是首项为 3，公差为的等差数列， 12()lglg32kaa，1()732nb由 10nb，得 67n，数列 n的前 项和的最大值为 6721S. （2）由（1）当 时， 0b，当 7时， 0n，当 7n时，212313()24nnS当 时，12789n nSbb 27121()4nSb23()41nn. 例题 7. 已知递增的等比数列 na满足 2348a，且 32a是 ， 4的等差中项. （1）求 na的通项公式 ；（2）若12lognnb， 1nSb 求使230nS成立的 的最小值. 4解：（1）设等比数列的公比为 q（q1） ，由 a1q+a1q2+a1q3=28，a 1q+a
7、1q3=2（a 1q2+2） ，得：a 1=2，q=2 或 a1=32，q= 2（舍）a n=22（n1） =2n（2） 2lognb，S n=（12+22 2+323+n2n）2S n=（12 2+223+n2n+1） ，S n=2+22+23+2nn2 n+1=（n1）2 n+12，若 Sn+n 2n+1 30 成立，则 2n+132，故 n4，n 的最小值为 5. 例题 8. 已知数列 na的前 n 项和为 Sn，且 1,na成等差数列， *1,Na. 函数3()logfx. （I）求数列 n的通项公式；（II）设数列 nb满足1(3)(2nnfa，记数列 nb的前 n 项和为 Tn，试
8、比较5213nT与的大小. 解：（I） 1,nSa成等差数列， 1nS 当 2时， 1nSa. 得： 12()nn， 3a，13.n当 n=1 时，由得 12Sa， 又 1,221,aa是以 1 为首项 3 为公比的等比数列， 1.n（II） xlogf， 33()loglnnf， ()()(212nnbf，111)2435673Tnn()n5,12()3比较 123与的大小，只需比较 2()n与 312 的大小即可. 2()(56)510n2(5)10n *,Nn当 *9N与时，(3,;3T与当 10时，22()312,;1nT与当 *n与时，5(),3nn与. 3. 研究生成数列的性质例题
9、 9. （I ） 已知数列 nc，其中 nn2，且数列 npc1为等比数列，求常数 p；5（II） 设 na、 b是公比不相等的两个等比数列， nnbac，证明数列 nc不是等比数列. 解：（）因为c n+1pc n是等比数列，故有（c n+1pc n） 2=（ cn+2pc n+1） （c npc n 1） ，将 cn=2n3 n 代入上式，得2n1 +3n1 p（2 n3 n） 2=2n2 +3n2 p（2 n+13 n+1） 2n+3np（2 n1 3 n 1） ， 即（2p）2 n+（3p）3 n2=（2p）2 n+1+（3p）3 n+1 （2p）2 n 1+（3p）3 n 1，整理得
10、 6（2p） （3p）2 n3n=0，解得 p=2 或 p=3. （）设a n、b n的公比分别为 p、q，pq，c n=an+bn. 为证c n不是等比数列只需证 2c 1c3. 事实上， 2=（ a1pb 1q） 2= p2 bq22a 1b1pq，c1c3=（a 1b 1） （a 1 p2b 1q2）= 1p2 q2a 1b1（p 2q 2） . 由于 pq，p 2q 22pq，又 a1、b 1 不为零，因此 c1c3，故c n不是等比数列. 例题 10. n2（ n4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等 头htp:/w.xjky
11、gcom126t:/.j已知 a24=1， 163,8442a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求 S=a11 + a22 + a33 + + ann 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 设数列 1k的公差为 d， 数列 ik（i=1 ，2，3， ，n）的公比为 q 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j则 1k= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dq k1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j依题意得： 163)2(8)(14324qda，解得：a 11 = d = q = 21 头htp:/w.xjkygc
12、om126t:/.j又 n2 个数都是正数， a 11 = d = q = ， a kk = k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nS 213212 ， 142，两式相减得： nS21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6例题 11. 已知函数 3()log()fxab的图象经过点 )1,2(A和 ),5(B，记()*3,.fnaN（1）求数列 na的通项公式；（2）设 nbTb21,，若 )(ZmT，求 的最小值；（3）求使不等式12)1()(21 paan对一切 *Nn均成立的最大实数 p.解：（1）由题意得 )5(log3b，解得 1b，)12(l)(3x
13、f*)12(log,3nann（2）由（1）得 nb， nnT21325311 1132 225nnnT 得 )212(12 n 1n1n23. nn2nn3T，设*,)(Nf，则由 15231)32(5)(11 nnnfn得*,Nf随 的增大而减小当时， nT又 )(Zmn恒成立， 3min（3）由题意得*21)1(2Naap 对恒成立记)(1)(2nnF，则1n2)1()n(42)32(1n )a()(a1132)(1 ,0)FF即是随 的增大而增大 7)(nF的最小值为 32)1(F， 32p，即 32maxp.（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列.例题 12. 数列 na中
14、， 2,841a且满足 nnaa12， *N.求数列 的通项公式；设 |21nnS ，求 nS；设 b= ()na* *12(), ()NnnTb ，是否存在最大的整数 m，使得对任意 *，均有 3m成立？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意， nna12， n为等差数列，设公差为 d，由题意得 28d， 82()102.（2）若 50则 ， |, nnaS时 212192naa6n时， naaS 76555()40nn故 4092（3）11()()2()nnban，nT 1 ()234n .2(1)n若 3m对任意 *Nn成立，即 16mn对任意 *N成立，*()1
15、n的最小值是 2，,的最大整数值是 7. 即存在最大整数 ,7使对任意 *n，均有.32nT例题 13. 已知等比数列 nb与数列 a满足 ,nabN*. （1）判断 na是何种数列，并给出证明；（2）若 813120,m与. 解：（1）设 n的公比为 q， 3na， qlog1na3q3na1nan。所以 n是以 3log为公差的等差数列. （2） 81,a所以由等差数列性质可得 120813,m1312020()am120()1ab82. 由简单递推关系证明等差等比数列例题 14. 已知数列 na和 b满足：1a， 2， 0na， 1nnba（ *N） ，且 nb是以 q为公比的等比数列.
16、 （I）证明：2nq；（II）若 21nc，证明：数列 nc是等比数列；（III）求和： 123421naaa. 解法 1：（I）证：由1nbq，有21nnq， *Nnqa2n. （II）证： 2na，22131naq， 2n2n2qa.a，21()5ncq. n是首项为 5，公比为 的等比数列. （III）解： 由（ II）得221nna，22nqa，于是12213212421()()nn na a 421 2()()nqqaqq 2123()n. 当 q时， 242122131()nnaaqq 3. 当 时， 242122()nn 23()nq23(1)nq. 故2122 11.()nn
17、qqaa ， ，9解法 2：（I）同解法 1（I）. （II）证： 222*2211 ()Nnnnncaqaq，又 125ca，n是首项为 5，公比为 2的等比数列. （III）由解法 1 中（II）的类似方法得 22211()3nnnaaq，34221221 nnaa ，24213kkkkq， 1， ， ， . 2n2n221 q.a.a . 例题 15. 设数列 0,1,)1(, 其 中且项 和 为的 前 nnn aS（1）证明：数列 是等比数列；（2）设数列 na的公比 ()qf，数列 nb满足 1，b n=f （b n1 ） （nN *， n2） ，求数列 nb的通项公式；（3）设 1
18、，(1)nnCb，求数列 nC的前 n 项和 n. （1）证明：由 11()(2)SaSa相减得：1,2,nna数列 n是等比数列（2）解： 1nb是首项为 12b，公差为 1 的等差数列，12()1nb. nb. （3）解： 时1,(),()(nnaCa 21()3nT得：nnn2112T所以：4()()nnn. 10例题 16. OBC的各个顶点分别为 (0,)1,(2)，设 1P为线段 BC的中点， 2P为线段OC 的中点， 3P为线段 1的中点 . 对每一个正整数 3n为线段 1n的中点. 令 n的坐标为 (,)nxy， 22nnay. （1）求 321,a及 ,()Nn；（2）证明：
19、 4y（3）记 ,()nnb，证明： nb是等比数列 . （1）解：因为 y1=y2=y4=1， y3=12，y 5= 4，所以 得 a1=a2=a3=2. 又由 3n，对任意的正整数 n 有an+1= 123n=112n= 122nny=an 恒成立，且 a1=2， 所以a n为常数数列， an=2， （n 为正整数）（2）证明：根据124ny， 及 12=an=2， 易证得 yn+4=1 4n（3）证明：因为 bn+1= 4n84=（14ny）（14y）=1b，又由 b1= 48y=1 y4= ， 所以b n是首项为1，公比为 的等比数列. 【模拟试题】一、填空题1. 在等差数列a n中，
20、已知 a 1=2，a 2+a 3=13，则 a 4+a 5+a 6等于= . 2. 已知数列的通项 5，则其前 n项和 nS . 3. 首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差 d的取值范围是 . 4. 在等比数列 n中， 3和 5 是二次方程 20xk 的两个根，则 642a的值为 . 115. 等差数列a n中，a 1=1，a 3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100，则 n= . 6. 等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的和为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7. 已知两个等差数列 n和 b的前 n项
21、和分别为 A n和 B，且7453n， 7ba= ，若 nba为正整数，n 的取值个数为_。8. 已知数列 对于任意 *pqN， ，有 pqpa，若 19a，则 36. 9. 记数列 na所有项的和为 )1(S，第二项及以后各项的和为 )2(S，第三项及以后各项的和为 ,)3(S，第 项及以后各项的和为 )(n，若 )1(， )(， (3),，()21n，则 n等于 . 10. 等差数列 a共有 21项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290，则其中间项为_.11. 等差数列 n中， 0n，若 m且 0121ma， 2138mS，则 的值为 .12. 设 S为等差数列 a的前 项和.
22、已知 663,4,()nnS，则 n等于. 13. 已知函数 )(xf定义在正整数集上，且对于任意的正整数 x，都有 (2)(1)fxfx()fx，且 12,36，则 (205)f_ _. 14. 三个数 cba成等比数列，且 (0)abcm，则 b 的取值范围是 . 15. 等差数列 n中，前 项和为 nS，首项 194,S. （1）若 10S，求（2） 设 2nab，求使不等式 1207nb 的最小正整数 n的值. 点拨：在等差数列中 dn,知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项 1a与公差 d，把 nS,分别用首项 1a与公差 ，表示即可. 对于求和公式1()2nnaS，()
23、2nS采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如：已知 910910,a判断 17820,S的正负. 问题 2 在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列 n的前 项和为 nS， 12a， 39. （I）求数列 a的通项 与前 项和为 n；（II）设nSb（ *N） ，求证：数列 b中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 17. 在直角坐标平面上有一点列 12(,)(,),()nPxyPxy ，对一切正整数 n，点12nP位于函数 134yx的图象上，且 nP的横坐标构成以 52为首项， 1为公差的等差数列x.
24、 求点 n的坐标；设抛物线列 ,321ncc中的每一条的对称轴都垂直于 x轴，第 n条抛物线nc的顶点为 nP，且过点 2(01)D，设与抛物线 nc相切于 nD的直线的斜率为 k，求：1231nkk. 设 |,|4,1NnSxTy，等差数列 na的任一项Tan，其中 1a是 S中的最大数， 02652a，求 的通项公式. 18. 已知数列 n满足 *1,()Nna，（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 n满足 12 *41()nnbbb （nN *） ，证明： nb是等差数列.【试题答案】1. 422. (51)2n3. 8,34. 55. 10136. 2107. 8.5；5 个解法一：
25、点拨 利用等差数列的求和公式1()2nnaS及等差数列的性质“若 2,Nmpq，则qpm”解析： 7ba=1313()722AB解法 2： 点拨 利用“若 na为等差数列，那么 bnaSn2”这个结论，根据条件找出 na和 的通项 . 解析：可设 (745)Ak， (3)nBk，则 1(438)nnAk，(2)nbk，则 7b=181722由上面的解法 2 可知na=(43)1kn，显然只需使12n为正整数即可，故 1,35，共 5 个. 点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法 2 中，若是填空题，比例常数 k 可以直接设为 1. 8. 49.
26、 解： ()(1)21nnnaS. 10. 解：依题意，中间项为 1na，于是有1()3920na解得 129na.11. 解：由题设得 mm2，而 ， m，又 2138mS，12()()38 (1)ma， . 12. 解： 66136246nnSa， 16na，1()342n. 8。13. 解：由 ()2)fxffx知函数 *()Nfx当 x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列， (1,3,205 形成一个首项为 2，公差为 4 的等差数列， (05)1034f. 14. 解：设,bacq，则有1,bmqmbqb. 14当 0q时，13mqb，而 0b， 3mb；当 时，即1
27、，而 0， ，则 0mb，故,0)(,3bm. 15. 解：（1）由 9160Sad，得： 1,5na，又由(),4()402nan. 即 2730，得到 . （2）由nb5若 5，则 12nb 12531b ，不合题意故 n5，5()307即 5298，所以 15，使不等式成立的最小正整数 n的值为 1516. 解答：（I）由已知得12393ad， 2d，故 21()nnaS， . （）由（）得2b. 假设数列 n中存在三项 ,pqr（ ,互不相等）成等比数列，则2qprb. 即 2()()2q. 0prrN， ，20qr， ， 22()()0prppr， ，. 与 p矛盾. 17. 解：（
28、1）53(1)22nxn35,(,)44n nyP （2） c的对称轴垂直于 x轴，且顶点为 n. 设 nc的方程为：215(),ax把 ,0nD代入上式，得 1a， n的方程为： 22(3)1yxxn. 1532|0 nykxn， 1 11()(2)323nknn123 579=()51046nn.（3） |(2),1NSx，|5Ty|2(61)3,1Nynn,T 中最大数 17a. 设 na公差为 d，则 095,d，由此得*248, 2()9nm与*,724()Nn18. （1）解： 1,na1(),nnan是以 为首项，2 为公比的等比数列 . .即 (*)n.（2）证： 1214.nkkka12(.)4.nnkk(),bb1211.()().n n ，得 1(,n即 1()0,n2.b，得 21,nb即 21,n*21(),Nnnb是等差数列.
