1、高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1 椭圆的概念在平面内与两定点 F1、F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 P M|MF1|MF 2|2a，|F 1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形范围ax aby bbx bay a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a,0)，A 2(a,0)B1(0，b)，B 2(0，b)A1(
2、0，a)，A 2(0，a)B1(b,0)，B 2(b,0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距 |F1F2|2c离心率 e (0,1)ca性质a，b，c 的关系 c2a 2b 2典型例题例 1.F1，F 2 是定点，且|F 1F2|=6，动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例 2. 已知 的周长是 16， ，B , 则动点的轨迹方程是( )ABC)0,3(A)(A) (B) (C) (D)1625yx1625yx1256yx0(1256yx例 3. 若 F(c，0)是椭圆 的右焦点，F
3、 与椭圆上点的距离的最大值为 M，最小值为 m，则椭圆上与2abF 点的距离等于 的点的坐标是( )Mm(A)(c， ) (C)(0，b) (D)不存在2ba2,Bca例 4. 设 F1(-c，0)、F 2(c，0)是椭圆 + =1(ab0)的两个焦点，P 是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,2xy若PF 1F2=5PF 2F1,则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)363223例 5 P 点在椭圆 上，F 1、F 2 是两个焦点，若 ，则 P 点的坐标是 .2045yx 21FP例 6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; .(2)
4、焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; _.0331(4)离心率为 ，经过点(2，0); .例 7 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的最大值是 12F、 214xyP12|PF第二部分：双曲线1 双曲线的概念平面内动点 P 与两个定点 F1、F 2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数 2a (2a0，c0：(1)当 ac 时，P 点不存在2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1 (a0，b0)x2a2 y2b2 1( a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa，y R xR，y a 或 ya
5、对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a)，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab离心率 e ，e(1 ，)，其中 cca a2 b2性质实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长| B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a 2b 2 (ca0，cb0)典型例题例 8.命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a0)；命题乙： 点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )(A) 充要条件 (B) 必要
6、不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件例 9. 过点(2，-2)且与双曲线 12yx有相同渐近线的双曲线的方程是( )(A) 124yx (B) 4 (C) 142yx (D) 142xy例 10. 双曲线 的两焦点为 在双曲线上,且满足 ,则 的2(1)n12FP12PFn12FPA面积为( )1A()2B()C()4D例 11. 设 的顶点 ， ，且 ，则第三个顶点 C 的轨迹方程是_.C0,4A),(BAsin21isin例 12. 连结双曲线 12byax与 12ax(a0，b0)的四个顶点的四边形面积为 1S，连结四个焦点的四边形的面积为 2S，则 1的最大值
7、是_例 13.根据下列条件，求双曲线方程:与双曲线 有共同渐近线，且过点(-3， )；2196xy32与双曲线 有公共焦点，且过点( ，2).24例 14 设双曲线 上两点 A、B ，AB 中点 M（ 1，2）21yx求直线 AB 方程；如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 是否共圆，为什么？第三部分：抛物线1 抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2 抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0) y22px( p0) x22py(p0) x22py(p
8、0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点 F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)离心率 e1准线方程 xp2xp2yp2yp2范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR开口方向 向右 向左 向上 向下典型例题例 15. 顶点在原点，焦点是 (0,2)的抛物线方程是( )(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x (D)y2=8x例 16. 抛物线 上的一点 到焦点的距离为 1，则点 的纵坐标是( )4MM(A) (B) (C) (D)017615678例 17.过点 P(0,1)与抛物线 y
9、2=x 有且只有一个交点的直线有( )(A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条例 18. 过抛物线 (a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则2等于( )1pq(A)2a (B) (C) (D)12a4a4a例 19. 若点 A 的坐标为(3 ， 2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P 点的坐标为( )(A)(3，3) (B)(2，2) (C)( ，1) (D)(0，0)1例 20. 动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是
10、.例 21. 过抛物线 y22px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为 y1、y 2，则y1y2_.例 22. 以抛物线 xy23的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_.例 23. 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的倾斜角的范围是 .例题答案例 1. D 例 2. B 例 3. C.例 5. B.例 7. (3, 4) 或(-3, 4)例 8. (1) 或 ; (2) ;(3) 或 ; 1625yx125yx1362yx192yx1892yx(4) 或 .例 9. 46412|PF 21|()4PFa例 11. B 例 13. D 例
11、 16. A 例 17. 例 18. )(4xyx 1例 19. ;2194xy218xy例 20.直线 AB：y=x+1设 A、B、C、D 共圆于OM，因 AB 为弦，故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又 CD 为弦，故圆心M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由 得：A（-1，0） ，B（3，4）又 CD 方程：y=-x+32yx由 得：x 2+6x-11=0 设 C（x 3,y3） ，D （x 4,y4） ，CD 中点 M（x 0,y0）231y则 M（-3，6）3400,xy |MC|=|MD|= |CD|= 又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD|21102 A、B、C 、 D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心， 为半径的圆上例 21. B( 2,482pxpy即 ) 例 22. B例 23. B(过 P 可作抛物线的切线两条，还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求。)例 24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于 对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为 p,q，则 p=q=|FK| ,1|2Fa而14()例 25. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例 26. x2=8y 例 27. p 2例 28. 例 29.223()94xy660,arctnarctn,)
