1、1求函数极限的方法和技巧摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 123lim2x证: 由 24x取 则当 时,就有020x132x由函数极限 定义有: 2123lim2x2、利用极限的四则运算性质若 Axf)(li0 Bxg)(li0(
2、I) 0x 0fxBAxg)(lim0(II) f x)(li)(lim000(III)若 B0 则：BAxgfxf)(li)(li00（IV） （c 为常数）fcfxxli00上述性质对于 时 也 同 样 成 立,例：求 453lim2x解: =li2x 25423、约去零因式（此法适用于 ）型时 0,x例: 求 1267lim232xx解:原式= )0(5li 2232 xx= )6)(1li22xx3= =)65(103lim2xx )3(25lixx= 2lix74、通分法（适用于 型）例: 求 )214(lim2xx解: 原式= )(li2x= )(lim2xx= 41li2x5、利
3、用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数 f(x)、g(x) 满足：（I） 0)(lim0xf(II) (M 为正整数)Mg则： )(li0xfx例: 求 x1sinl解: 由 而 lim0x 1sinx故 原式 = 1sinl0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。4（I）若： 则 )(limxf 0)(1limxf(II) 若: 且 f(x)0 则 0)(lif )(1lixf例: 求下列极限 51limx1lix解: 由 故 )( 05lim由 故 =01lix 1x7、等价无穷小代换法设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：,， 存在，, lim则 也
4、存在，且有 = limlili例:求极限 20sinco1lxx解: ,si2 )(2x=20sinco1lmxx1)(2注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。51sinlm)(0xAexBx)1(lim)但我们经常使用的是它们的变形： )(,)(1li)( 0,(si( xexB例：求下列函数极限xalim)1(0、 bxaxcoslni)2(0、)1ln( l)1( ,1 uaxauu于 是则） 令解 ： （ auuaauxauln)1l(im)1ln
5、(i)1ln(imli0 000 故 有 ： 时 ，又 当 )(cosli)2(0bxx、 原 式 1cs1cos)(lnim0axbxaxli0x 222020 )()(sin)(silmsinli abxbaxxx 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 。6)(lim)(li)( )(li)( 00000 afxfxfauf axi fff xx处 连 续 ， 则在 且是 复 合 函 数 ， 又若 处 连 续 ， 则在若例：求下列函数的极限（2） )1ln(5coslim)1(20xexx、 x)1ln(i0 1ln)1(limn)1l(i)1ln(im)l()l()2(6
6、01n5coslim)1ln(5cos)(000110 2 exxxxxfeefxxxxx x故 有 ：令 、 由 有 ：故 由 函 数 的 连 续 性 定 义 的 定 义 域 之 内 。属 于 初 等 函 数解 ： 由 于10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：m、n、k、 l 为正整数。nklxmkl1i例：求下列函数极限 、n xmnx(1li )N1)23(lixx解: 令 t= 则当 时 ,于是1t原式= nmtttttnmt )(li1li 121 由于 =)23(lixx 1)lix7令： 则 tx1221tx= =1)3(limxx 1)(lix2
7、10)(limtt= etttt )(li)(li2101011、 利用函数极限的存在性定理定理: 设在 的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有:0xAxhgx)(lim)(li00则极限 存在, 且有0fxfx)(li0例: 求 (a1,n0)xnalim解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使k xk+1于是当 n0 时有:knxna)1(及 knkxn1又 当 x 时,k 有knka)(lim0)(li1aakn及 1liknlikn8=0xnalim12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限 存在且等于 A 的充
8、分必要条件是左极限 及右极)(li0xf )(lim0xfx限 都存在且都等于 A。即有：)(lim0xfx= =A0 )(li0xfx)(lim0f例：设 = 求 及)(f1,22xe)(li0xf)(lim1f1)(lim)(li)(lim000 xxfexx x解 ：由 1f)(li0fx不 存 在由（又 )(lim)01lili 0)1lim121 11xff xxxx13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若9Axgfxffi xgxuxggfixxx)(lim)(li()l)( 0)()(0)li,0)(l) 0000 ） ， 则或可 为 实 数 ， 也 可 为内 可 导 ， 且
9、的 某 空 心 邻 域在与此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为 时不可求导。,02、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须)(limxgfax用另外方法。例： 求下列函数的极限 )1ln(2i0xex )0,(lnimxax解：令 f(x)= , g(x)= l21)()2,
10、 )(xexf 2(xg2“23“ )1(),)1(fx 由于 0(,0) gf但 2),0(“gf从而运用罗比塔法则两次后得到1012)1(2lim12)(lim)1ln(2im302100 xexexe xxx 由 故此例属于 型，由罗比塔法则有：axxli,li )0,(1limlinlim1 xaxaxax14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、 )(!2nx xoe2、 )()!12()!53sin 2nnxox3、 )!(!421co 2nnxx4、 1)ln( nno5、 )(!)1()(!2)(1 nxoxx
11、6、 no上述展开式中的符号 都有:)(nxo0)(lim0nxo例:求 )0(2li0axax解:利用泰勒公式，当 有11)(21xox于是 axlim0= xax )12(li0= xxoaoax )(2)(2lim0= axxxx 21)(1lim)(li 00 15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数 f 满足如下条件：(I) f 在闭区间上连续(II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点 ,使得abff)()(此式变形可为:)10( )( abff例: 求 xexsinlimi0解:令 对它应用中值定理得f)(即: )1(0 )sin(si)in()(sisin xx
12、fxfxex 1)0 iisii f12连续xef)(1)0()sin(silm0 fxx从而有: 1silii0ex16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若: )0,(a )( 010 bbxbaxQPRnnmm (I)当 时，有 nm 0 li)(lim10bxbaaxPnnm (II)当 时有:若 则 0)(xQ)()li00xQPx若 而 则)(0(0)(lim0x若 , ,则分别考虑若 为 的 s 重根,即:0x)0P0xP也为 的 r 重根,即:()1xs0)(Q可得结论如下：)0xQr rs, )(Prs ,)(lim)(li 011000 xQxxPrsxx例：求下列
13、函数的极限13 5032)1(limxx 342lim31xx解: 分子，分母的最高次方相同，故= 5032)(lixx 305032)( )1(,3PP04)(QxQ必含有（x-1）之因子，即有 1 的重根 故有:, 213lim)32()1lim342li 2131 xxxxxx(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求 )(lixx解: mx211limlili3xxxxxx二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合
14、运用的技巧，使得计算大为简化。14例:求 20sinco1lmxx解法一: 20siclxx220sincoilimxxx 220sincolimx= 20siconlixx1注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =20sinco1lmxx 21sini12sinlmsinl 22020 xx注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三: 21sin4limsin2lcos1limsinco1l 0302020 xxxx xxx注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四: 21sin2)(limsinco1limsinco1l 4024020 xxxx注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。15解法五: 21lim)(2lisin2lmsinco1l 4002020 xxxx注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令 2xu21sincoslimcossinlmlin10 002uuux注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七: 21limsincolisinco1l 022020 tgxxxx注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。(作者: 黄文羊)
