1、,二、无界函数的积分,第八节,正常积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷区间上的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(广义积分),反常积分与伽玛函数,第六章,一、无穷区间上的积分,引例. 曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1. 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 在a,+)上的广义积分,记作,这时称广义积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散 .,类似地 , 若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定义,( c 为任意取定的常数 ),只要有一个极限不存在 ,
2、 就称,发散 .,无穷区间上的广义积分也称为第一类反常积分.,并非不定型 ,说明: 上述定义中若出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束,它表明该反常积分发散 .,引入记号,则有类似 N L 公式的计算表达式 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 计算广义积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:,原积分发散 !,注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .,例. 证明第一类 p 积分,证:当 p =1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,因此, 当 p 1 时, 广义积分收敛 , 其值为,
3、当 p1 时, 广义积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 计算广义积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无界函数的广义积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴, y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2. 设,而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称广义积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散 .,类似地 , 若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f (x) 在 (a , b 上的广义积分(或瑕积分), 记作,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,若被积函数在积分
4、区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称,邻域内无界 ,为瑕点.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点,而不是反常(广义)积分.,则本质上是正常积分,则定义,下述解法是否正确:, 积分收敛,例. 计算广义积分,解: 显然瑕点为 a , 所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 讨论广义积分,的收敛性 .,解:,所以广义积分,发散 .,三、 函数,1. 定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面证明这个特殊函数在,内收敛 .,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,综上所述 ,2. 性质,递推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,(分部积分),注意到:,内容小结,1. 广义积分,积分区间无限,被积函数无界,正常积分的极限,2. 两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和正常积分可以互,相转化 .,例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,备用题 试证, 并求其值 .,解:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
