1、大学自主招生数学试题1 / 69交通大学 2000 年保送生数学试题一、选择题(本题共 15 分，每小题 3 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则 31998 天之后是 ( )A星期四 B星期三 C星期二 D星期一2用 13 个字母 A，A，A，C，E，H，I ，I，M，M，N，T，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN” 一词的概率是 ( )A B C D4813!2163!17283!813!3方程 cos2xsin2x+sinxm+1 有实数解，则实数 m 的取值范围是 ( )A Bm 3 C
2、m 1 D m4若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q0 的两个根，则此数列各项的积是( )Ap m Bp 2m Cq m Dq 2m5设 f (x0)2，则 ( )00()()lihfxfhA2 B2 C4 D4二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）1设 f(x)的原函数是 ，则 _1x0()fxd2设 ，则函数( 的最小值是_0,22221sincos)ix3方程 的解 x_68536xx4向量 在向量 上的投影 _2aij4bij()ba5函数 的单调增加区间是_3yx6两个等差数列 200，203，206，和 50，54，58都有 100 项，它们
3、共同的项的个数是_7方程 7x2(k+13)x+k2k20 的两根分别在区间(0,1) 和(1,2) 内，则 k 的取值范围是_8将 3 个相同的球放到 4 个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是_三、证明与计算（本题 61 分）1(6 分) 已知正数列 a1，a 2，a n，且对大于 1 的 n 有 ， 123na 121na试证：a 1，a 2，a n 中至少有一个小于 12(10 分) 设 3 次多项式 f(x)满足：f (x+2)f (x)，f (0)1，f(3)4，试求 f(x)大学自主招生数学试题2 /
4、 693(8 分) 求极限 12lim(0)ppnn4(10 分) 设 在 x0 处可导，且原点到 f(x)中直线的距离为 ，原点到 f(x)中2,()xbcflm 13曲线部分的最短距离为 3，试求 b，c，l ，m 的值(b,c 0)5(8 分) 证明不等式： ， 341sincos2x0,x6(8 分) 两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 若射手甲先射，谁先12命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率7(11 分) 如图所示，设曲线 上的点与 x 轴上的点顺次1y构成等腰直角三角形 OB1A1， A1B2A2，直角顶点在曲线 上试求 An 的坐标表达式，并说
5、明这些三角1yx形的面积之和是否存在OyxB1A2A1B2大学自主招生数学试题3 / 69复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题 10 分，共 60 分）1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第 n 组含 n 个数，即 1；2，3；4，5，6；令 an 为第 n 组数之和，则 an_2 _2sini()si()33 _222lm)log1log(logn4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 60 度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成 60 度角，则两对角面面积之比为_5正实数 x,y 满足关系式 x2xy40，又
6、若 x1，则 y 的最小值为_6一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台 1000 米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题（每小题 15 分，共 90 分）1数列a n适合递推式 an+13a n+4，又 a11，求数列前 n 项和 Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面角等于 ，12arcsin(326)求该棱锥的体积
7、( )1cos(6244设 z1,z2,z3,z4 是复平面上单位圆上的四点，若 z1+z2+z3+z4=0求证：这四个点组成一个矩形大学自主招生数学试题4 / 695设 ，其中 xn,yn 为整数，求 n时， 的极限(12)2nnxy nxy6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过 1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论大学自主招生数学试题5 / 692000 年交大联读班试题1. 直线 关于 的对称直线为_。yaxbyx2. 已知 是 的三边， ， ，且满足 ，,cABC1abclogl2loglbccbbcbaa则 是_的三角形。3. 已知 ，则 _。871031
8、xax 86420a4. 已知 满足： ，则 的最小正周期是_。ffffx5. 已知 是偶函数， 是奇函数，且 ，则fx2fx0198f_。206. 是 的三边，且 ，则,abcABC:4:56bcab_。sin:si7. 是十进制的数， 是 的各个数字之和，则使 成立的最小的 是fn20fnn_。8. _。7sini12cos9. 函数 的反函数是_。332211fxxxR10. 已知数列 （ 是不等于 1 的常数） ，则 _。nak123naa11. 从自然数 1 至 100 中任取 2 个相乘，其结果是 3 的倍数的情况有种_。 （取出的数不分先后）12. 己知 在 处可导，则 _。fx
9、0200limhfxhfx13. 已知 为整数， 为非负整数， ，则整点 的个数为_。,ynyn,y14. 抛物线 上，点 坐标为 ，抛物线在 点的切线与 轴及直线 夹20xA1,03PyPA角相等，求点 P 的坐标。15. 在 中， ， ，求证： 求 。na1416na13nnalimna16. 已知 ， ，2uyxvy大学自主招生数学试题6 / 69若点 在单位圆上以 为起点按顺时针方向转一圈，求点 的轨迹；,xy0,1,uv若点 在直线 上运动，而点 在过点 的直线上运动，求 ， 的值。yaxb,uv1, ab17. 若 满足 ，求下列函数的最小值： ； ；,xy223120yxy。31
10、8. 若方程 有 3 个不同实根，求实数 的取值范围。270xmm19. 己知函数 满足 ，又 ，求函数 的解ffxyffyxy01ffx析式。20. 口袋中有 4 个白球，2 个黄球，一次摸 2 个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第 次两个黄球都被摸出，即第 次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概n1n率是 ，求 。P23,n大学自主招生数学试题7 / 692001 复旦基地班数学试题1. 设函数 的反函数是它自身，则常数 _。xyaa2. 不等式 的解集是_。22loglogx3. 直线 与 间的距离是_。2780xy760y4. 如果 的展开式的系数和是 的展开式的系数和的
11、512 倍，那么自然数 与3n1m n的关系为_。m5. 椭圆 的焦距是_。42cos6. 己知 ，那么 的最小值为_。350xy2213xy7. 与正实轴夹角为 的直线的斜率记为 ，则 _。 （结果arsin3karctnk用数值表示）8. 从 个人中选出 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少 1 名且名额不nm限，则共有_种选法 。mn9. 正方体 中， 与截面 所成的角为_。1ABCD1BC1D10. _。 （结果用数值表示）sec50ot11. 函数 的最小正周期是（ ）3sc2gxxA B C2 D1212. 设函数 的反函数为 ，则对于 内的所有 值，一定成立的是（ f
12、f0,1x）A B C D1fxf1fxf1ff1fxf13. 除以 9 所得的余数是（ ）138A6 B C8 D114. 抛物线 的准线方程为（ ）24yxA B C D13x4x15. 由参数方程 所表示的曲线是（ ）tytA椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆大学自主招生数学试题8 / 6916. 己知抛物线 与 关于点 对称，则 的值为（ 25yx2yaxbc3,2abc）A1 B2 C3 D417. 作坐标平移，使原坐标下的点 ，在新坐标下为 ，则 在新坐标下的方,00,byfx程为（ ）A B C Dyfxabyfxafabf18. 设有四个命题：两条直线无公共点，是这两条直线为异面直
13、线的充分而不必要条件；一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 是平面 外的两条直线，且 ，则 是 的必要而不充分条件，其中真命题,ab/a/b/的个数是（ ）A3 B2 C1 D019. 集合 各有四个元素， 有一个元素， ，集合 含有三个元素，且其中, ABCABC至少有一个 的元素，符合上述条件的集合 的个数是（ ）A55 B52 C34 D3520. 全面积为定值 （其中 ）的圆锥中，体积的最大值为（ ）2a0A B C D 331316a36a21. 已知： ， ，求 及 。sina
14、cossincos22. 设复数 满足： ， ，其中 是虚数单位， 是非零实数，12,z12z13zaa求 。123. 已知椭圆 与抛物线 在第一象限内有两个公共点 ，线段 的21xay21yx,AB中点 M 在抛物线 上，求 。24xa24. 设数列 满足 ， ， 其前 项乘积 ，证nb10nb2,3 n1nnTab,2明 是等比数列。求 中所有不同两项的乘积之和。25. 己知棱柱 的底面是等腰三角形， ，上底面的项点 在下底面的射1ABCABC1A大学自主招生数学试题9 / 69影是 的外接圆圆心，设 ， ，棱柱的侧面积为 。ABCBCa13A23a证明:侧面 和 都是菱形， 是矩形。11
15、求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。求棱柱的体积。26. 在直角坐标系中， 是原点， 是第一象限内的点，并且 在直线 上（其O,ABAtanyx中 ） ， ， 是双曲线 上使 的面积最小的点，,4212cos21xyOB求：当 取 中什么值时， 的面积最大，最大值是多少?, AB大学自主招生数学试题10 / 692001 年交大联读班数学试卷1. 数 的位数是_。1285N2. 求234342423logllogllogl0xyz_。xyz3. ， ，则用 表示 _。8lp3l5q,pql54. ， ，求 _。2sinicos2insicos25. ，求 的最小值为_。0,xifxx6. 有一
16、盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多 2 个小球，球数为_。7. 数列 中， ，求 _。1,32 21nna10ia8. 展开式中 系数为_。4x7x9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为 ，角的两边一边长 ，一边长 ，排版时把60 x9cm长 的那边错排成 长，但发现角和对边长度没变，则 _。110. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列 的概率为_。1d11. ，则 （ ）12abarctnrtab12. A B C D34613. 某人向正东走 ，再左转 朝新方向走了 ，结果离出发点 ，则 （ xkm1503km3kmx）A B
17、C 3 D不确定3214. （ ）111262A B C D13213213213215. ， ，则（ ）0t,Sxytyt大学自主招生数学试题11 / 69A ， B 的面积 t0,S0,C对 ， 第一象限 D ， 的圆心在 上5tSyx16. 一个圆盘被 条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个2nA B C D313n117. （ ）40cos90kikA B C D212120i120i18. 对 ，定义 ，则 满足（ ）,xyR*xy*A交换律 B结合律 C都不 D都可19. ，则 （ ）609125modN81modNA3 B4 C5 D620. ，在 上最小值为
18、，求 。2fx,xtgtt21. ，求 的最小值。R663312xfx22. ， ，求12xf11nnff28fx23. （ 为参数）26cos9i8si9yttt,tR求顶点轨迹，求在 上截得最大弦长的抛物线及其长。y24. 为递增数列， ， ，在 上对应为 ，以 与曲线na1a24yx,nnPa1,nOP围成面积为 ，若 为 的等比数列，求 和 。1nPnSn5q1iSlmn大学自主招生数学试题12 / 692001 年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共 40 分，每小题 4 分）1数 的位数是_1285N2若 log2log3(log4x)log 3log4(log2y)log
19、 4log2(log3z)0，则 x+y+z_3若 log23p，log 35q，则用 p 和 q 表示 log105 为_4设 sin和 sin分别是 sin与 cos的算术平均和几何平均，则 cos2:cos2_5设 ，则函数 f(x)cosx+xsinx 的最小值为_ 0,x6有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多 2 个小球，则这盒小球的个数为_7若在数列 1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100 项之和是_8在(1+2xx 2)4 的二项展开式中 x7 的系数是_ 9某编辑在校阅
20、教材时，发现这句：“从 60角的顶点开始，在一边截取 9 厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中 a 厘米在排版时比原稿上多 1虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的 a_10任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为 1 的等差数列的概率为_二、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）11a0，b0，若(a+1)( b+1)2，则 arctana+arctanb ( )A B C D234612一个人向正东方向走 x 公里，他向左转 150后朝新方向走了 3 公里，结果他离出发点 公里，则 x3是 ( )A B C3
21、 D不能确定32313 ( )1111126842()()()A B C D13 13132 13214设t 表示 t 的最大整数，其中 t0 且 S( x,y)|(xT)2+y2T2,Tt t，则 ( )A对于任何 t，点(0,0)不属于 S BS 的面积介于 0 和 之间C对于所有的 t5，S 被包含在第一象限 D对于任何 t，S 的圆心在直线 yx 上15若一个圆盘被 2n(n0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 ( )A2n+2 B3n 1 C3n D3n+116若 i21，则 cos45+icos135+incos(45+90n)+i40
22、cos3645 ( )A B C D22(10)i210i大学自主招生数学试题13 / 6917若对于正实数 x 和 y 定义 ，则 ( )xyA ”*”是可以交换的，但不可以结合 B ”*”是可以结合的，但不可以交换C ”*”既不可以交换，也不可以结合 D ”*”是可以交换和结合的18两个或两个以上的整数除以 N(N 为整数，N1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余若 69，90 和 125 对于某个 N 是同余的，则对于同样的 N，81 同余于 ( )A3 B4 C5 D7三、计算题（本题共 78 分）19(本题 10 分)已知函数 f(x)x 2+2
23、x+2，xt,t +1的最小值是 g(t)试写出 g(t)的解析表达式20(本题 12 分)设对于 x0， ，求 f(x)的最小值66331()(2)1xfx21(本题 16 分)已知函数 ，对于 n1,2,3, 定义 fn+1(x)f 1fn(x)若 f35(x)f 5(x)，则 f28(x)12()fx的解析表达式是什么？22(本题 20 分)已知抛物线族 2yx 2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数 tR (1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线 y12 上截得最大弦长的抛物线及最大弦长23(本题 20 分)设 xn为递增数列， x11，x 24，在曲线 上与
24、之对应的点列为 P1(1,1),P2(4,2),yx, ，且以 O 为原点，由 OPn、OP n+1 与曲线 PnPn+1 所围成部分的面积为33()Px()nnxSn，若S n(nN)是公比为 的等比数列，图形 XnXn+1Pn+1Pn 的面积为 ，45321()nx试求 S1+S2+Sn+和 limnx xPnyO Xn+1Xn Pn+1大学自主招生数学试题14 / 69大学自主招生数学试题15 / 69复旦大学 2001 年选拔生考试数学试题一、填空(每小题 5 分，共 45 分)1sinx siny0，则 cos2xsin2y_2平面 1, 2 成 的二面角，平面 1 中的椭圆在平面
25、2 中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为_3(x 2+2x+2)(y2-2y+2)1，则 x+y_4电话号码 0，1 不能是首位，则本市电话号码从 7 位升到 8 位，使得电话号码资源增加_520028 3a3+82a2+8a1+a0， 0a0,a1,a2,a37 正整数，则 a0_6 的常数项为_15()x7 _lim)nn8空间两平面 ,，是否一定存在一个平面均与平面 ,垂直？_9在 ABC 中，cos(2AC)cos(2CB)，则此三角形的形状是 _二、解答题(共 87 分)1求解：cos3xtan5x sin7 x2数列 3，3lg2，,3(n1)lg2问当 n 为几时，前 n 项的
26、和最大？3求证：xR 时，|x1|4| x31|4a 为何值时，方程 有解？只有一解？2lg()log(1)2laa5一艘船向西以每小时 10 公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时 20 公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离 300 米，在台风中心周围 100 米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6x 3-2y31 的所有整数解(x,y)，试证明： 134|2|xy大学自主招生数学试题16 / 692002 复旦基地班数学考题1. 已知： 则 _。sin0xy22cosxy2. ， ，则 _。,yR2 1x3. 空间两平面 ，_ 与 均垂直? （请填“存在”或
27、“不存在” ）12,312,4. 从奇偶性看：函数 是_。2lnyx5. 平面 成 角，一椭圆 在 内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比12,1E2_。6. ， _。321008aa7,iiaN37. 中， ，则 为_。ABCcoscos2ABCA8. 若 0,1 作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由 7 位升至 8 位后，理论上可以增加_电话资源。9. 中不含 的项为_。153xx10. 解方程： costansi711. 一艘船以 向西行驶，在西南方向 处有一台风中心，周围 为暴雨10/vkmh30km10km区，且以 向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。212. 已知： ，要使数列
28、的前 n 项和最大，求 。.3lg.31,lg2,1lg2n n13. 参数 取何值时：a21lo2lgloxa a有解?仅有一解?14. 在 内，方程 有且仅有二解，求 的范围。0,cos23in0x a15. 证明方程： 的任一组整数解 都有： 。31xy,xy1342xy大学自主招生数学试题17 / 692002 年交大联读班数学试卷1. ， 是虚数，则 _。3121n2. 函数 的图象与三条抛物线 、 、yaxb,Z23yx267yx分别有 2，1，0 个交点，则 _。245,ab3. 若 ，则 _。36abcabc4. 若 ，则 _。2x8x5. 函数 的值域为_。2sectnay6
29、. _。2221137. 正实数 满足 ，则 的最小值是_。,xyzyz221xyz8. 一个圆内接四边形 ABCD，已知 AB4，BC 8，CD 9，DA7，则_。cosA9. 实数 满足 ，则 _。,ab2211ba2b10. 的展开式中 的系数为_。92x9x11. 方程 ， ，则方程有_个实数解。2a12a12. 三边长 满足 ， ， ，则不同的三角形有ABC,bccbn*,acN_个。13. 掷 3 个骰子，掷出点数之和为 9 的倍数的概率为_。14. 若不等式 只有唯一实数解，则 _。2054xaa15. 有两个两位数，它们的差是 56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数
30、为_。16. 在一个环形地带上顺次有五所学校 A、B、C、D 、E ，它们各有 15、7、11、3、14 台机器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则 A 应给 B_台，B 应给 C_台，A 给E_台，总共运输_ 台。17. 用数学归纳法证明以下结论： 。22113n *2,nN 大学自主招生数学试题18 / 69若有 ，利用的结论求2sin116x111limsin2isinn 18. 若 ，称 为 的不动点，ffxxafb若 有关于原点对称的两个不动点，求 满足的关系；x ,画出这两个不动点的草图。19. 有 的铁丝，要与一面墙成面积为 长方形区
31、域，为使用料最省，求矩形的长50cm214cm与宽。20. 数列 满足 ， 且 ，其中na21naN1a2,34N求证： ；求证： 。12cosNkZ21. 函数 ，有 且lgfx0ab2abfff求 满足的关系；,ab证明：存在这样的 ，使 。3422. 两人轮流掷一个骰子，第一次由 A 先掷，若 A 掷到一点，下次仍由 A 掷：若 A 掷,AB不到一点，下次换 B 掷，对 B 同样适用规则。如此依次投掷，记第 次由 A 掷的概率为n。n求 与 的关系；1n求 。limnA大学自主招生数学试题19 / 69上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题一、填空题（本题共 64 分，每小题 4
32、分）1设方程 x3=1 的一个虚数根为 (n 是正整数 )=_2,1n则2设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x 2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数分别是2，1，0，则(a,b)=_ 3投掷 3 个骰子，其中点数之积为 9 的倍数的概率为_4若 x,y,z0 且 x2+y2+z2=1，则 的最小值为_221xyz5若 2x2x=2，则 8x=_6若 a,b,c 为正实数，且 3a=4b=6c，则 =_1bc7 的值为_2211()()n8函数 的值域为_2secxtgy9若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8 ，CD=9，DA
33、=7，则 cosA=_10若 a,b 满足关系： ，则 a2+b2=_2211ab11 的展开式中 x9 的系数是_29(1)x12当 时，方程 的相异实根个数共有_个2|x13若不等式 有唯一解，则 a=_2054xa14设 a,b,c 表示三角形三边的长，均为整数，且 ，若 b=n（正整数） ，则可组成这样的三角形c_个15有两个二位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_16某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等 5 所小学，各小学分别有电脑 15，7，11，3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，
34、从第一小学向第二小学移交了_台，从第二小学向第三小学移交了_台，从第五小学向第一小学移交了_台，移动总数是_台二、计算与证明题（本题共 86 分）17 （本题 12 分） （1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：(1) ；(2)已知当 ，213 2sin01,16xx时试用此式与(1)的不等式求 lim(sn2i3sii)n18 （本题 14 分）若存在实数 x，使 f(x)=x，则称 x 为 f(x)的不动点，已知函数 有两个关于2()xafb大学自主招生数学试题20 / 69原点对称的不动点(1) 求 a,b 须满足的充要条件；(2) 试用 y=f(x)和 y=x
35、的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）19 （本题 14 分）欲建面积为 144m2 的长方形围栏，它的一边靠墙（如图） ，现有铁丝网 50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度20 （本题 14 分）设数列a n满足关系 ，若 N 满足 ，21(1,)na 1(2,3)a试证明：(1) ； (2) （k 为整数）1|2cosa21 （本题 16 分）设 为实数，且()|lg,fxab0,()2()ababfaf若 满 足试写出 a 与 b 的关系，并证明在这一关系中存在 b 满足 30， Bx|x+1|+|x3|6，则 =_AB5数列a n的前 n 项和为 Sn，若
36、ak=kpk(1p),(p1)，则 Sk_6若(x 1)2+(y1)21，则 的范围是_y7边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 二面角，则 BC 中点与 A 的距离是_8已知|z 1|2，|z 2|3，|z 1+z2|4，则 _129解方程 ，x_log2a10(a0)， _ limn二、解答题(本大题共 120 分 )11已知|z|1，求|z 2+z+4|的最小值12a 1,a2,a3,an 是各不相同的自然数，a2，求证： 1231()()()2aaan13已知 ， ，求 的值3sinco2cosin2tancot14一矩形的一边在 x 轴上，另两个顶点在函数 (x0)
37、的图象上，21y大学自主招生数学试题23 / 69求此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值15一圆锥的底面半径为 12，高为 16，球 O1 内切于圆锥，球 O2 内切于圆锥侧面，与球 O1 外切，以次类推，(1) 求所有这些球的半径 rn 的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为 V1,V2,Vn,求 12lim()nnV16已知数列a n的前 n 项和为 Sn， ，求 S20031(1)()(1)ann17定义闭集合 S，若 ，则 ， (1) 举一例，真包含于 R 的无限闭集合(2) ,abbSa求证对任意两个闭集合 S1,S2 R，存在 ，但 c12S大学自主招生数学试题24
38、/ 69同济大学 2003 年暨保送生考试数学试题一、填空题1f(x)是周期为 2 的函数，在区间1,1 上，f (x)|x|，则 _(m 为整数)3(2f2函数 ycos2x2cosx,x0,2的单调区间是_ 3函数 的值域是_245函数 yf(x)，f( x+1)f(x)称为 f(x)在 x 处的一阶差分，记作y，对于 y 在 x 处的一阶差分，称为 f(x)在 x 处的二阶差分 2y，则 yf (x)3 xx 在 x 处的二阶差分 2y_67从 1100 这 100 个自然数中取 2 个数，它们的和小于等于 50 的概率是_8正四面体 ABCD，如图建立直角坐标系，O 为 A 在底面的投
39、 影，则 M 点坐标是_，CN 与 DM 所成角是_9双曲线 x2y21 上一点 P 与左右焦点所围成三角形的面积_10椭圆 在第一象限上一点 P(x0,y0)，若过 P 的切线243 与坐标轴所围成的三角形的面积是_二、解答题11不等式 对于任意 xR 都成立，求 k 的取值范围2log0364xk12不动点， (1) ,3 为不动点，求 a,b,c 的关系；(2) 若 ，求 f(x)的解析式；(3)()bcfa12 1()2f13已知 ，(1) 求 y 的最小值；(2) 求取得最小值时的 sino(0,)2sy14正三棱柱 ABCA 1B1C1，|AA 1|h，|BB 1|a，点 E 从 A1 出发沿棱 A1A 运动，后沿 AD 运动， A1D1E，求过 EB1C1 的平面截三棱柱所得 的截面面积 S 与 的函数关系式
