1、125在ABC 中，以 AB 为斜边，作直角ABD，使点 D 落在ABC 内，ADB=90（1）如图 1，若 AB=AC，BAD=30，AD=6 ，点 P、M 分别为 BC、AB 边的中点，连接 PM，求线段 PM 的长；（2）如图 2，若 AB=AC，把ABD 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到ACE，连接 ED 并延长交 BC 于点 P，求证：BP=CP【分析】 （1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出 AB，即可；（2）先利用互余判断出，BDP=PEC，得到BDP 和CEQ，再用三角形的外角得到EPC=PQC，即可；【解答】 （1）解：ADB=90，BAD=30 ，AD=6 ，cosB
2、AD= ，AB= = =12，AC=AB=12，点 P、M 分别为 BC、AB 边的中点，PM= AC=6，（2）如图 2，在 ED 上截取 EQ=PD，2ADB=90 ，BDP+ADE=90，AD=AE，ADE= AED，把ABD 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到ACE，AEC=ADB=90AED+PEC=90 ，BDP=PEC，在BDP 和CEQ 中，BDPCEQ，BP=CQ， DBP=QCE，CPE=BDP+DBP， PQC= PEC+QCE，EPC=PQC，PC=CQ，BP=CP325在ABC 中，AB=AC ，点 D，点 E 在边 BC 上不同的两点，且 ADE=75（1）如图 1
3、，若BAC=90 ， CD= ，求 BC 的长；（2）如图 2，若BAC=90 ， EAD=45，求证：DC= BE；【考点】相似形综合题【分析】 （1）作 DGAC 于 G，证明出ABC 是等腰直角三角形，进而求出 AG 的长，即可求出 BC 的长；（2）作 DHAE 于 H，设 DC=a，利用 a 表示出 BC、DE 和 CD 的长，根据线段之间的关系得到结论；【解答】解：（1）如图 1 所示，作 DGAC 于 G，BAC=90，AB=AC，ABC 是等腰直角三角形，1=B=45，ADE=75，2=60，DAG=30 ，DG=CG= CD=1，AD=2DG=2，AG= = ，AC=AG+C
4、G= +1，BC= AG= + ；（2）如图 2 所示，作 DHAE 于 H，设 DC=a，则 DG=CG= a，AD=2DG= a，AG= a，4AC=AG+CG= a，BC= AC=（ +1）a，EAD=45，ADH 是等腰直角三角形，AH=DH= AD=a，4=180ADEDAE=60，DE=2EH，DE=DH = a，BE=BCDECD= a= DC，DC= BE；525.（1）如图 1，若点 D 为等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 的中点，点 E、F 分别在AB、AC 边上，且EDF=90 ，连接 AD、EF ，当 BC=5 ，FC=2 时，求 EF 的长度；（2）如图 2，若点
5、D 为等边三角形 ABC 边 BC 的中点，点 E、F 分别在 AB、AC 边上，且EDF=90 ；M 为 EF 的中点，连接 CM，当 DFAB 时，证明：3ED=2MC；【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，证得ADECDF，根据全等三角形对应边相等，求得 AE=CF=2，最后在在 RtAEF 中根据勾股定理求得 EF 的长；（2）先设等边三角形边长为 2，在 RtBDE 中求得 DE 的长，再根据 CM 垂直平分 DF，在 Rt CDN 中求得 CN，在 RtMND 中求得 M
6、N 的长，最后根据 CM 与 DE 的长度之比求得 3ED=2MC；【解答】解：（1）如图 1点 D 为等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 的中点ADBC，AD= BC=CD= ，DAE=C=45AC= CD=5又EDF=90 ，FC=2ADE=CDF，AF=52=3在ADE 和 CDF 中6ADE CDF（ASA ）AE=CF=2在 RtAEF 中，EF= =（2）设等边三角形边长为 2，则 BD=CD=1等边三角形 ABC 中，DF ABFDC=B=60EDF=90BDE=30DEBEBE= ，DE=如图 2，连接 DM，则 RtDEF 中，DM= EF=FMFDC=FCD=60CDF 是
7、等边三角形CD=CF=1CM 垂直平分 DFDCN=30RtCDN 中，DN= ，CN= ，DF=1在 RtDEF 中，EF= =M 为 EF 的中点FM=DM=RtMND 中， MN= =CM= + =7 = =3ED=2MC25.在ABC 中，AB=AC，点 F 是 BC 延长线上一点，以 CF 为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF与点 A 在 BC 的同侧，连结 BE，点 G 是 BE 的中点，连结 AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，已知 AC=3 2， CD=2，求 AG 的长度；（2）如图，当BAC=DCF=60时，AG 与 DG 有怎样的位置和数量关系，并证明；【
8、答案】(1)、 5；(2)、AGGD，AG=DG；证明过程见解析；【解析】试题分析：(1)、延长 DG 与 BC 交于 H，先证BGEGD，得到 BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD=90，即可；(2)、延长 DG 与 BC 交于 H，先证BGEGD ，得到 BH=DC，=ED，HG=DG，得出 BH，再证ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，得到HAD 为等边三角形，即可；(3)、延长DG 与 BC 交于 H，先证BGEGD，得到 BH=DC，=ED，HG=DG，得出 BH，再证ABHACD，得出BAH=CAD，A
9、H=AD，得到HAD 为等腰三角形，即可试题解析：(1)、如图 1，延长 DG 与 BC 交于 H，连接 AH、AD，8四边形 DCEF 是正方形， DE=DC，DECF， GBH=GED，GHB=GDE， G 是 BC 的中点，BG=EG， 在BGH 和EGD 中， GBH=GED，GHB=GDE，BG=EG， BGHEGD（AAS），BH=ED，HG=DG， BH=DC， AB=AC，BAC=90， ABC=ACB=45， DCF=90，DCB=90， ACD=45， ABH=ACD=45， 在ABH 和ACD 中， AB=AC，ABH=ACD，BH=CD， ABHACD（SAS）， BA
10、H=CAD，AH=AD， BAH+HAC=90，CAD+HAC=90， 即HAD=90， AGGD，AG=GD； 在 RtABC 中，AB=AC= 2，BC=6 在 RtDCH 中，DC=2，HC=BCBH=62=4， DH= 2DCH=2 5， GD= 21DH= 5，AG=GD= 5（2）AGGD，AG=DG；如图 2，延长 DG 与 BC 交于 H，连接 AH、AD，四边形 DCEF 是正方形， DE=DC，DECF， GBH=GED，GHB=GDE， G 是 BC 的中点，BG=EG，在BGH 和EGD 中， GBH=GED，GHB=GDE，BG=EG， BGHEGD（AAS），9BH
11、=ED，HG=DG， BH=DC， AB=AC，BAC=DCF=60， ABC=60，ACD=60，ABC=ACD=60， 在ABH 和ACD 中， AB=AC，ABH=ACD，BH=CD， ABHACD（SAS），BAH=CAD，AH=AD， BAC=HAD=60， AGHD，HAG=DAG=30， tanDAG=tan30= 3， AG=DG；25如图，四边形 ABCD 为矩形，连接 AC，AD=2CD，点 E 在 AD 边上（1）如图 1，若ECD=30，CE=4，求AEC 的面积；（2）如图 2，延长 BA 至点 F 使得 AF=2CD，连接 FE 并延长交 CD 于点 G，过点 D
12、作 DHEG于点 H，连接 AH，求证：FH= 2AH+DH；（【解析】试题分析：（1）根据 30的直角三角形求 CD 和 ED，再利用面积公式求AEC 的面积；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明AFMADH，得 AM=AH，FM=DH，则MAH 是等腰直角三角形，有 MH= 2AH，根据线段的和代入得结论；来源:学。科。网 Z。X。X。K（3）根据将线段 AE 绕点 A 旋转一定的角度 （030）得到线段 AE，先计算当 AE 旋转时 DN 的最小值和最大值，当 =0时，DN 最小；当 =180时，DN 最大，分10别计算，写出结论试题解析：（1）在 RtEDC 中，EDC=30，ED=
13、2EC= 4=2，cos30=DCE，DC=ECcos30=432=2 ，AE=2DCED=4 2， AECS=12AEDC= （4 32）2 =122 3；（2）过 A 作 AMAH，交 FG 于 M，MAH=MAD+DAH=90，又FAD=MAD+FAM=90，FAM=DAH，AFCD，F=FGDDHEG，DHE=HDG+FGD=90，EDG=EDH+HDG=90，FGD=EDH，F=EDH，又AF=2CD，AD=2CD，AF=AD，AFMADH，AM=AH，FM=DH，MAH 是等腰直角三角形，MH= 2AH，FH=MH+FM，FH= AH+DH；来源:学+科+网1125.（12 分）已
14、知四边形 ABCD 为菱形，连接 BD，点 E 为菱形 ABCD 外任一点（1）如图（1），若A=45，AB= 6，点 E 为过点 B 作 AD 边的垂线与 CD 边的延长线的交点，BE，AD 交于点 F， 求 DE 的长（2）如图（2），若 2AEB=180BED，ABE=60，求证：BC=BE+DE【答案】 （1）2 3 6（2）证明参见解析；【解析】12试题分析：（1）首先证明AFB 与EFD 为等腰直角三角形，然后在ABF 中依据勾股定理可求得 BF 和 AF 的长，从而得到 DF 的长，然后在 RtEDF 中，可求得 DE 的长；（2）延长 DE 至 K，使 EK=EB，连结 AK首
15、先证明AEB=AEK，然后依据 SAS 证明AEBAEK，由全等三角形的性质及等边三角形的判断定理可证明AKD 为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；（3）记 AB 与 DE 的交点为 O首先证明依据菱形的性质可得到ABC=2ABD，然后依据平行四边形的性质可证明CDE=BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案试题解析：（1）如图 1 所示：四边形 ABCD 为菱形，AD=AB= 6，ABCDA=ADE=45ADBE，AFB=DFE=90AFB 与EFD 为等腰直角三角形BF 2+AF2=AB2，即：2BF 2=6，BF= AF= 3EFD 为等腰直角三角形，EF=DF=ADAF= 6 3DE= EF= （ 6 ）=2 6（2）如图 2 所示：延长 DE 至 K，使 EK=EB，联结 AK132AEB=180BED，BED=1802AEB=180AEBAEKAEB=AEK在AEB 和AEK 中BKEA，AEBAEKK=ABE=60，Ak=AB又AB=AD，AK=ADAKD 为等边三角形KD=ADKD=BCKD=KE+DE，CB=EB+DE1415161718192021222324252627282930
