1、 函数极限的十种求法信科2班 江星雨 20140202250函数极限可以分成 而运用-定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以 的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的f(x)函数值都满足不等式： ，那么常数A就叫做函数 f(x)当 xx。时的极限。1.利用极限的四则运算法则 ：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的 ，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件 ，满足条件者。方能利用极限四则运算法则
2、进行求之。不满足条件者 ，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限 ，而是需将函数进行恒等变形 ，使其符合条件后 ，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1求 lim( x 2 3x + 5).x 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5 = 2 2 3 2 + 5 = 3.x2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 22.利用洛必达法则洛
3、必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）xa 时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a 的某去心邻域内 f(x)与F(x)都可导, 且F(x)的导数不等于0; （3）xa 时,lim(f(x)/F(x)存在或为无穷大 则 xa时 ,lim(f(x)/F(x)=lim(f(x)/F(x)例1：1-cosx =
4、 1-1-2sin(x/2)2 = 2sin(x/2)2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2sin(x/2)2 / 2xsin(x/2)cos(x/2) = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)2 当 x 0 时,cosx - 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时 ，必须同时满足两个条件： 分子、分母为无穷小 ，即极限为 0 ； 分子上取正弦 的角必须与分母一样。应用第二重要极限时 ，必须同时满足四个条件：带有“1”； 中间是“+ ”号 ；“+ ”
5、号后面跟无穷小量 ；指数和“+ ”号后面的数要互为倒数。例1：求lim(arcsinx/x),x趋于0解A.令x=sint, 则当t 趋于0 时,x趋于0,且arcsinx=t所以 B.lim(arcsinx/x),x趋于 0.=lim(t/sint),t趋于0=14.利用等价无穷小代换定理 利用此定理求函数的极限时 ，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换 ，因为经此代换后 ，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理 ，必须熟记一些常 用的等价无穷小 。例1 lim(1-cosx)/tanx=lim-2sin(x/2)/tanx=lim-2/2x/x=-
6、2/2lim(1-cosx)/tanx=lim2sin(x/2)/tanx=lim2/2x/x=2/2因为lim(1-cosx)/tanxlim=(1-cosx)/tanx所以极限不存在5.柯西收敛准则数列Xn收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数存在着这样的正整数N使得当mN,nN时就有|Xn-Xm|n|xn-xm|=| (-1)(n+2)/(n+1)+(-1)(m+1)/m | 当m-n为奇数时 |xn-xm|=| (-1)(n+2)/(n+1)+(-1)(m+1)/m |0解：f(0)b+1左极限：lim(x0-) f(x)lim(x0-) (xsin(1/x)a)0+aa左极限：lim
7、(x0+) f(x)lim(x0+) (x2-1)0-1 -1f(x)在x0处连续，则lim(x0-) f(x)lim(x0+) f(x)f(0)，所以a-1b+1，所以a-1，b-27.利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限 30tansilimxx解 由于 ，而iti1cos， ，sin0x21cos0x3in0x故有23300tasi 1limlncosxx注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有， ，而推出tan0xsin0x，330ilimlsxx则得到的式错误
8、的结果附 常见等价无穷小量， ， ，sin0xtan0x21cos0x， ， ，arcrcxe， l118 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求 型不定式极限及 型不定式极限用此种方法求极限要求在0点 的空心领域 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零0x0Ux例1求极限 2coslimtanx解 由于 ，且有21litan0xx， ，1cosi2tsecx由洛比达法则可得 2limtanx2silitecxx3olix128.利用定义求极限 1 ，00limxffxf2 00lihfff其中 是无穷小，可以是 ， 的函数或其他表达式0xx例1求极限 20limxpq,q分析 此题是
9、时 型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子x0，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解解 令 ， 则2fxp2gxq20limxpq0lixffgfpq9. 利用归结原则求极限归结原则设 在 内有定义， 存在的充要条件是：对任何含于f0;Ux0limxf且以 为极限的数列 ，极限 都存在且相等0;Ux0nnn例1求极限 21limnn分析 利用复合函数求极限，令 ， 求解21xux1xv解 令 ， 则有21xuxvx； ，limnelinv由幂指函数求极限公式得，21lilixvxx ue故由归结
10、原则得221lim1linxnxe注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于 ， ，0x0x和 这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式x注 2 若可找到一个以 为极限的数列 ，使 不存在，或找到两个都以 为极限的数0xnxlimnnfx 0x列 与 ，使 与 都存在而不相等，则 不存在nx limnnf“lif 0limxf10.利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在 时的特殊形式，即麦0x克劳林公式也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式2“00!nnfffxffxx 例1 求极限 240coslimxxe解 由于极限式的分母为 ，我们
11、用麦克劳林公式表示极限的分子，取 ：4n，245cos1xx，28xe245cos1xx因而求得245400cs 1limli2xx xe利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的 n2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数 在点 处可导，则下列式子成立：yfx01 ，00limxffxf2 00lihfff其中 是无穷小，可以是 ， 的函数或其他表达式0xx例 证明 21limxx分析 当 时， ，故 ，于是有1021xx，2 3122xxx取 ，当 时 ，故有 ，从而有1210x32x12x21x，取 即可6x26证明 对于 ，取 ，于是当 时，有01min,2601x，x由定义知 成立21limxx注 函数 在点 处是否有极限，与函数 在点 处是否有定义无关f0 fx0
