1、19.4.1 极坐标系,学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。,o,P,P(x,y),P(x,y,z),（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；,（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对 （x , y）的集合建立一一对应；,（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x , y , z）的集合建立一一对应；,复习回顾,4.1.1 直角坐标系,直角坐标系,数 轴,空间直角坐标
2、系,平面直角坐标系,R,（x , y),（x , y , z),复习回顾,建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:,（1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；,（2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；,（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。,建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。,复习回顾,选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。,巩固练习,O,F,A,E,B,D,C,（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现
3、前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？,军 舰,水雷群,创设情境,创设情境,从这向北1000米,请问去农行路怎么走？,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从这向北走1000米！,出发点,方向,距 离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,情境分析,一、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线Ox，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,O,新课讲解,二、极坐标系内一点的极坐标的规定:,对于平面上任意一点M，用 表示线
4、段OM的长度，用 表示从Ox到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM 为终边的角。,新课讲解,题组1：说出下图中各点的极坐标,练一练,平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。,想一想？,三、点的极坐标的表达式的研究:,如图：OM的长度为4，,请说出点M的极坐标的其他表达式 .,思考：这些极坐标之间有何异同？
5、,思考：这些极角有何关系？,这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。,本题点M的极坐标统一表达式：,极径相同，不同的是极角。,新课讲解,题组2：在极坐标系里描出下列各点,练一练,解析：,四、1、负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,对于点M（，）负极径时的规定：,1作射线OP，使XOP= ,2在OP的反向延长 线上取一点M，使OM= ; 如图示：,新课讲解,2、负极径的实例,在极坐标系中画出点:M（3，/4）的位置,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3; 如图示： M（3，/4）,新课讲解
6、,题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标,练一练,3、关于负极径的思考,“负极径”真是“负”的吗？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？,思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？,？,新课讲解,4、正、负极径时，点的确定过程比较,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的上取一点M，使OM= 3,画出点: （3，/4） 和（3，/4）,给定,在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这
7、条射线或其反向延长线上描点。,5、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。,而反向延长也可以看成是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质是针对方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。,负极径小结：极径变为负，极角增加 。,答：（6， +）,或（6， +）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0 。因为负极径只在极少数情况使用。,五、极坐标系下点的极坐标,探索点M（3，/4）的所有极坐标,1极径是正的时候：,2极径是负的时候：,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一
8、点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,新课讲解,一般地,若(,)是一点M的极坐标,则(,+2k)或 (,+(2k + 1)都可以作为它的极坐标.,若限定0,02或 ,则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是( ),A.(,) B.(,) C.(,) D.(,),C,D,题组4 1. 在极坐标系中，与点(3, )重合的点是( ),A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ),3.在极坐标系中,与点(8, )关于极点对称的点 的一个坐标是 ( ),A.(8,
9、) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ),A,3一点的极坐标是否有统一的表达式？,1建立一个极坐标系需要哪些要素？,极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。,2极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？,无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。,有.（，2k+）,课堂小结,或（-，2k+）,课堂小结,1、极坐标 （，2k+） 和（-，2k+）其中表示同一个点（，）；,2、点 M（，） 关于极点的对称点的一个坐标为（-，） 或（，+） ；,3、点 M（，） 关于极轴的对称点的一个坐标为（，-） 或（-，-） ；,4、点 M（，） 关于直线 的对称点的一个坐标为（-，-） 或（，-） ；,课外作业,
