1、第五课时 椭圆的简单几何性质教学目标1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的 )，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当 0 时，直线与椭圆相切；当 0时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相离。3、反思应用例 1 当 m 为何值时，直线 l：yxm 与椭圆 9x216y 2144 相切、相交、相离？分析：将直线方程 yxm 代
2、入椭圆 9x216y 2144 中，得 9x216(xm) 2144，整理，得 25x232mx16m 21440，(32m) 2425(16m 2144)576m 214400当 0 即 m5 时，直线与椭圆相切；当 0 即5m5 时，直线与椭圆相交；当 0 即 m5 或 m5 时，直线与椭圆相离。例 2 已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 x24y 24 的右焦点交椭圆于 A、B 两点，求弦长|AB|。分析：设 A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a 2=4,b2=1,c 2=3,右焦点 ,)03(F直线 l 的方程为 ，代入椭圆得3xy 0835x58)(2|2|,58,
3、 212112121 xABx小结：弦长公式 | 12xk例 3 过椭圆 x2/16y 2/41 内一点 M(2,1)引一条弦 AB，使 AB 被点 M 平分，求弦 AB 所在直线的方程。解一：当弦 AB 的斜率不存在时，弦 AB 的方程为 x=2，不合题意舍去设弦 AB 所在直线的方程为：y 1k(x2)，代入椭圆方程并整理得(4k 21)x 28(2k 2k)x4(k 21) 2160，又设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1、x 2为方程的两个根，于是 ，又 M 为 AB 的中点， ，解之得14)(221kx 4(221kxk1/2，故所求弦 AB 的方程是 x2y40解二：设
4、 A(x1,y1),B(x2,y2)，M(2,1)为 AB 的中点，x 1x 24,y 1y 22又A、B 两点在椭圆上，x 124y 1216，x ,224y 2216 ，两式相减得 x12x 224(y 12y 22)0,故所求弦 AB 的方程是 x2y4021,)(42121 ABkyxxy解三：设 A(x,y)，由 M(2,1)为 AB 的中点得 B(4x,2y)A、B 两点在椭圆上，x 2 4y216，(4x) 24(2y) 216 ，两式相减得 x2y40,由于过 A、B 的直线只有一条，故所求弦 AB 的方程是 x2y40小结：解一常规解法；解二是解决有关中点弦问题的常用方法；解
5、三利用曲线系解题。例 4 试确定实数 m 的取值范围，使椭圆 x2/4y 2/31 上存在两点关于直线 l：y2xm对称。解一：设存在 A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线 l：y2xm 对称，故可设直线 AB 的方程为y2xt，代入椭圆方程 x2/4y 2/31，并整理得 x2txt 230，则t 24(t 23)0。解得2t2。x 1x 2t，AB 的中点 M 为(t/2,3t/4),M 在直线 l 上，3t/42t/2m,即mt/4,从而1/2m1/2.解二：设存在 A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线 l：y2xm 对称，,则 ABl，且 AB 的中点 M在 l 上，设
6、 AB 的中点 M(x0,y0)，则 x1x 22x 0,y1y 22y 0，又A、B 两点在椭圆上，3x 124y 1212，3x ,224y 2212，两式相减得 3(x12x 22)4(y 12y 22)0,即 y03x 0/2,又 y02x 0m，解得,43(432121yx02m，y 03m，点 M 在椭圆内， ，即 m23m 21，解得1/2m1/2.3420yx例 5 椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， ，过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于/3eP、Q 两点，且|PQ| 20/9 ，OP OQ，求此椭圆的方程。解：设椭圆方程为 x2/a2y 2/b21(ab0)，左焦点 F(c
7、,0)当 PQx 轴时，|FP|FQ|b 2/a，由 OPOQ 知|FO|FQ|，即 cb 2/a,aca 2c 2，即 e2e10，解得 ，15,15e这与条件 不符，PQ 不垂直 x 轴/3设 PQ：yk(xc)，P(x 1,y1),Q(x2,y2)， ，设 a2t, ，则 bt2/3ec3椭圆方程可化为 x24y 24t 2(t0)，将直线 PQ 的方程代入椭圆方程得，则 x1、x 2为方程的根0438)41(2tktk2212438ktxOPOQ，x 1x2y 1y20，即 0)3()(2121 txktxk整理得： 03)(3)( 2tk，整理得 k24/11，4141222tkt此时 97321txt|PQ|20/9， 920|12xk即 ,6)732)(14ttt所以所求椭圆方程为 x2/4y 214、归纳总结数学思想：数形结合、函数与方程知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题作业：1、直线 l 与椭圆方程为 4x2 9y236 交于 A、B 两点，并且 AB 的中点 M(1,1)，求直线 l的方程。2、求焦点 ，截直线 l：y2x1 所得弦中点的横坐标为 2/7 的椭圆的标准方程。)5,0(F答案：4x9y130； x 2/75y 2/251
