1、第 1 页（共 37 页）北师大版数学九年级上册第一单元测试题一选择题（共 10 小题）1菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直2如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6 ，DHAB 于 H，则 DH 等于（ ）A B C5 D43菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，连接 EF若 EF= ，BD=2，则菱形 ABCD 的面积为（ ）A2 B C6 D84如图，在矩形 ABCD 中（ADAB） ，点 E 是 BC 上一点，且DE=DA，AFDE ，垂足为点 F，在下列结
2、论中，不一定正确的是（ ）AAFD DCE BAF= ADCAB=AF DBE=ADDF5如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 GH若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长是（ ）A3 B4 C5 D66下列命题中，真命题是（ ）A对角线相等的四边形是矩形第 2 页（共 37 页）B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形7如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1 ，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为（ ）A1 B2 C3
3、 D48如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，E、F、G 、H 分别是AD、BD、BC、AC 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，则四边形 ABCD 需满足的条件是（ ）AAB=AD BAC=BD CAD=BC DAB=CD9如图，在正方形 ABCD 中，H 是 BC 延长线上一点，使 CE=CH，连接 DH，延长 BE 交 DH 于 G，则下面结论错误的是（ ）ABE=DH BH+BEC=90C BGDH DHDC + ABE=9010如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于 G，下列结论：BE=DF；DAF=
4、15；AC 垂直平分EF； BE +DF=EF；S CEF =2SABE ，其中正确结论有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个二填空题（共 10 小题）11如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，AC=8，BD=6，OEBC，垂足为点 E，则 OE= 第 3 页（共 37 页）12如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，若OE=3，则菱形 ABCD 的周长为 13如图，将正方形纸片按如图折叠，AM 为折痕，点 B 落在对角线 AC 上的点E 处，则CME= 14如图，在正方形 ABCD 中，点 E，N，P，G 分别在边 A
5、B，BC ，CD ，DA 上，点 M， F，Q 都在对角线 BD 上，且四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形，则的值等于 15菱形的两条对角线长分别为 16 和 12，则它的面积为 16如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CEBD，DEAC 若AC=4，则四边形 CODE 的周长是 17如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为 18如图，在矩形 ABCD 中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，则重叠部分（BEF）的面积为 第 4 页（共 37
6、页）19如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若AB=6，AD=8，则四边形 ABOM 的周长为 20矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点 B 落在线段 CD 的点 F处，则线段 BE 的长为 三解答题（共 10 小题）21如图，在ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积22如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD的垂线交 BA 的延长线于点 E（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边
7、形；（2）若 AC=8，BD=6 ，求 ADE 的周长第 5 页（共 37 页）23如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，过 AC 的中点 O 作 EFAC，交 BC 于点E，交 AD 于点 F，连接 AE，CF（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）若 AB= ，DCF=30 ，求四边形 AECF 的面积 （结果保留根号）24如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DEAC ，AEBD求证：四边形 AODE 是矩形25如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，AEF=90，EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F求证：AE=EF第 6 页（共 3
8、7 页）26已知，如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，F 为 BA 延长线上一点，且 CE=AF连接 DE、DF 求证： DE=DF27如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，F 是边 BC 的中点，连结CE、DF求证：CE=DF28如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至点 E，使 BE=AB，连结 CE，若 E=50，求BAO 的大小第 7 页（共 37 页）29如图，在ABC 中， ACB=90 ，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB于 E，F 在 DE 上，并且 AF=CE（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（
9、2）当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论30如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相交于点 O，与 BC 相交于 N，连接 BM，DN（1）求证：四边形 BMDN 是菱形；（2）若 AB=2，AD=4，求 MD 的长第 8 页（共 37 页）2017 年 01 月 18 日 dxzxshuxue 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2016莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得：菱形的对
10、角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案【解答】解：菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直故选 D【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质注意菱形的对角线互相平分且垂直2 （2016枣庄）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DHAB 于 H，则DH 等于（ ）A B C5 D4【分析】根据菱形性质求出 AO=4，OB=3 ，AOB=90，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可第 9 页（共 37
11、页）【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AO=OC，BO=OD，ACBD，AC=8，DB=6，AO=4，OB=3，AOB=90，由勾股定理得：AB= =5，S 菱形 ABCD= ， ，DH= ，故选 A【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出 S菱形 ABCD= 是解此题的关键3 （2016宁夏）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是AD，CD 边上的中点，连接 EF若 EF= ，BD=2，则菱形 ABCD 的面积为（ ）A2 B C6 D8【分析】根据中位线定理可得对角线 AC 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案第 10 页
12、（共 37 页）【解答】解：E，F 分别是 AD，CD 边上的中点， EF= ，AC=2EF=2 ，又BD=2，菱形 ABCD 的面积 S= ACBD= 2 2=2 ，故选：A【点评】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键4 （2016荆门）如图，在矩形 ABCD 中（AD AB） ，点 E 是 BC 上一点，且DE=DA，AFDE ，垂足为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）AAFD DCE BAF= ADCAB=AF DBE=ADDF【分析】先根据已知条件判定AFDDCE（AAS） ，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可【解
13、答】解：（A）由矩形 ABCD，AF DE 可得 C=AFD=90，ADBC，ADF=DEC又DE=AD，AFDDCE （AAS ） ，故（A ）正确；（B）ADF 不一定等于 30，直角三角形 ADF 中，AF 不一定等于 AD 的一半，故（B）错误；（C ）由 AFDDCE，可得 AF=CD，由矩形 ABCD，可得 AB=CD，AB=AF，故（C）正确；（D）由AFDDCE，可得 CE=DF，由矩形 ABCD，可得 BC=AD，又BE=BCEC ，第 11 页（共 37 页）BE=ADDF，故（D）正确；故选 B【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的
14、四个角都是直角，矩形的对边相等解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于 30，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半5 （2016毕节市）如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 GH若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】根据折叠可得 DH=EH，在直角CEH 中，设 CH=x，则 DH=EH=9x，根据 BE：EC=2 ：1 可得 CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出 CH 的长【解答】解：设 CH=x，则 DH=EH=9x，BE ：EC=2 ：1，BC=9 ，CE= BC=3，在
15、RtECH 中，EH 2=EC2+CH2，即（9x） 2=32+x2，解得：x=4，即 CH=4故选（B） 第 12 页（共 37 页）【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键6 （2016内江）下列命题中，真命题是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断【解答】解：A、两条对角
16、线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选 C【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系7 （2016龙岩模拟）如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为（ ）第 13 页（共 37 页）A1 B2 C3 D4【分析】作 F 点关于 BD 的对称点 F，则 PF=PF，由
17、两点之间线段最短可知当E、 P、F 在一条直线上时，EP+FP 有最小值，然后求得 EF的长度即可【解答】解：作 F 点关于 BD 的对称点 F，则 PF=PF，连接 EF交 BD 于点 PEP+FP=EP+FP由两点之间线段最短可知：当 E、P、F在一条直线上时，EP+FP 的值最小，此时 EP+FP=EP+FP=EF四边形 ABCD 为菱形，周长为 12，AB=BC=CD=DA=3，ABCD，AF=2，AE=1，DF=AE=1，四边形 AEFD 是平行四边形，EF=AD=3EP+FP 的最小值为 3故选：C【点评】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称路径最短问题，明确当E、 P、F 在一条直
18、线上时 EP+FP 有最小值是解题的关键8 （2016蜀山区二模）如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点O，E、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，第 14 页（共 37 页）则四边形 ABCD 需满足的条件是（ ）AAB=AD BAC=BD CAD=BC DAB=CD【分析】由点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC 、CA 的中点，根据三角形中位线的性质，可得 EF=GH= AB，EH=FG= CD，又由当EF=FG=GH=EH 时，四边形 EFGH 是菱形，即可求得答案【解答】解：点 E、F、G 、H 分别是任
19、意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC 、CA 的中点，EF=GH= AB，EH=FG= CD，当 EF=FG=GH=EH 时，四边形 EFGH 是菱形，当 AB=CD 时，四边形 EFGH 是菱形故选：D【点评】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用9 （2016曹县校级模拟）如图，在正方形 ABCD 中，H 是 BC 延长线上一点，使 CE=CH，连接 DH，延长 BE 交 DH 于 G，则下面结论错误的是（ ）ABE=DH BH+BEC=90C BGDH DHDC + ABE=90【分析】根据正方形的四条边都相等，角都是直角
20、，先证明BCE 和DCH 全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角对应角相等，对各选项分析判断第 15 页（共 37 页）后利用排除法【解答】解：在正方形 ABCD 中，BC=CD，BCD=DCH=90，在BCE 和DCH 中，BCEDCH（SAS） ，BE=DH，故 A 选项正确；H=BEC，故 B 选项错误；EBC=HDC ，EBC+BEC=HDC +DEG，BCD=90，EBC+BEC=90，HDC+DEG=90，BGDH，故 C 选项正确；ABE+EBC=90 ，HDC+ABE=90，故 D 选项正确故选 B【点评】本题主要利用正方形的和三角形全等的性质求解，熟练掌握性质是解题的关键
21、10 （2016新华区一模）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于 G，下列结论：BE=DF ；DAF=15；第 16 页（共 37 页）AC 垂直平分 EF；BE+ DF=EF；S CEF =2SABE ，其中正确结论有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】通过条件可以得出ABEADF，从而得出 BAE= DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出 EC=FC，就可以得出 AC 垂直平分 EF，设EC=x，BE=y ，由勾股定理就可以得出 x 与 y 的关系，表示出 BE 与 EF，利用三角形的面积公式分
22、别表示出 SCEF 和 2SABE ，再通过比较大小就可以得出结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=AD，B= BCD=D=BAD=90AEF 等边三角形，AE=EF=AF，EAF=60 BAE+DAF=30在 RtABE 和 RtADF 中，RtABE RtADF （HL） ，BE=DF （故 正确） BAE=DAF，DAF+DAF=30，即DAF=15（故正确） ，BC=CD，BC BE=CDDF，即 CE=CF，AE=AF，第 17 页（共 37 页）AC 垂直平分 EF （故正确） 设 EC=x，由勾股定理，得EF= x，CG= x，AG=AEsin60=EFs
23、in60=2CGsin60= x，AC= ，AB= ，BE= x= ，BE +DF= xx x， （故错误） ，S CEF = x2，SABE = x2，2S ABE = x2=SCEF ， （故正确） 综上所述，正确的有 4 个，故选：C【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键二填空题（共 10 小题）11 （2016内江）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，AC=8，BD=6，OEBC，垂足为点 E，则 OE= 第 18 页（共 37
24、 页）【分析】先根据菱形的性质得 ACBD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，再在RtOBC 中利用勾股定理计算出 BC=5，然后利用面积法计算 OE 的长【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，ACBD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，在 RtOBC 中，OB=3，OC=4 ，BC= =5，OEBC， OEBC= OBOC，OE= = 故答案为 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角也考查了勾股定理和三角形面积公式12 （2016扬州）如图，菱形 ABCD 的对角线 A
25、C、BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，若 OE=3，则菱形 ABCD 的周长为 24 【分析】由菱形的性质可得出 ACBD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AD 的长，结合菱形的周长公式即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，第 19 页（共 37 页）ACBD，AB=BC=CD=DA，AOD 为直角三角形OE=3，且点 E 为线段 AD 的中点，AD=2OE=6C 菱形 ABCD=4AD=46=24故答案为：24【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱
26、形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键13 （2016龙岩）如图，将正方形纸片按如图折叠，AM 为折痕，点 B 落在对角线 AC 上的点 E 处，则 CME= 45 【分析】由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，B=90，ACB=45，由折叠的性质得：AEM=B=90，CEM=90，CME=9045=45；故答案为：45 【点评】本题考查了正方形的性质、折叠的性质；熟练掌握正方形和折叠的性质是解决问题的关键14 （2016天津）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，N，P，G 分别在边第 20 页（共 37 页）AB，
27、BC，CD，DA 上，点 M，F ，Q 都在对角线 BD 上，且四边形 MNPQ 和 AEFG均为正方形，则 的值等于 【分析】根据辅助线的性质得到ABD=CBD=45，四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形，推出BEF 与BMN 是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE= AB，BM=MN=QM，同理 DQ=MQ，即可得到结论【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABD=CBD=45，四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形，BEF=AEF=90 ，BMN=QMN=90，BEF 与BMN 是等腰直角三角形，FE=BE=AE= AB，BM=MN=QM，同理 DQ=MQ，MN= BD= A
28、B， = = ，故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键15 （2016白云区校级二模）菱形的两条对角线长分别为 16 和 12，则它的面积为 96 第 21 页（共 37 页）【分析】由菱形的两条对角线长分别为 16 和 12，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案【解答】解：菱形的两条对角线长分别为 16 和 12，它的面积为： 1612=96故答案为：96【点评】此题考查了菱形的性质注意菱形的面积等于对角线积的一半16 （2016河源校级一模）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点
29、O，CEBD，DE AC 若 AC=4，则四边形 CODE 的周长是 8 【分析】先证明四边形 CODE 是平行四边形，再根据矩形的性质得出 OC=OD，然后证明四边形 CODE 是菱形，即可求出周长【解答】解：CEBD，DEAC，四边形 CODE 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形，OC= AC=2，OD= BD，AC=BD，OC=OD=2，四边形 CODE 是菱形，DE=CEOC=OD=2，四边形 CODE 的周长=24=8 ；故答案为：8【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质；证明四边形是菱形是解决问题的关键第 22 页（共 37 页）17 （2016临沭县校级一模）如图，
30、在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC的垂直平分线分别交 AD、 AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为 【分析】由矩形的性质得出 CD=AB=2，AD=BC=4，D=90，由线段垂直平分线的性质得出 CE=AE，设 CE=AE=x，则 DE=4x，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，CD=AB=2，AD=BC=4 ，D=90，EF 是 AC 的垂直平分线，CE=AE ，设 CE=AE=x，则 DE=4x，在 RtCDE 中，由勾股定理得：CD 2+DE2=CE2，即 22+（4 x） 2=x2，解得：x= ，CE= ；故答案为： 【点
31、评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键18 （2016抚顺模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，则重叠部分（BEF）的面积为 7.5cm 2 第 23 页（共 37 页）【分析】设 DE=xcm，由翻折的性质可知 DE=EB=x，则 AE=（9x）cm，在 RtABE 中，由勾股定理求得 ED 的长；由翻折的性质可知 DEF=BEF ，由矩形的性质可知 BC AD，从而得到BFE=DEF，故此可知BFE= FEB，得出FB=BE，最后根据三角形的面积公式求解即可【
32、解答】解：设 DE=xcm由翻折的性质可知 DE=EB=x，DEF=BEF，则 AE=（9x）cm在 RtABE 中，由勾股定理得；BE 2=EA2+AB2，即 x2=（9x） 2+32解得：x=5DE=5cm四边形 ABCD 为矩形，BC ADBFE=DEF BFE=FEBFB=BE=5cmBEF 的面积= BFAB= 35=7.5（cm 2） ；故答案为：7.5cm 2【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得BEF 为等腰三角形，从而得到 FB 的长是解题的关键19 （2016苏州校级二模）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中
33、点，M 是AD 的中点，若 AB=6，AD=8，则四边形 ABOM 的周长为 18 第 24 页（共 37 页）【分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM 即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AD=BC=8，AB=CD=6 ，ABC=90 ，AC= =10，AO=OC，BO= AC=5，AO=OC，AM=MD=4，OM= CD=3，四边形 ABOM 的周长为 AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18故答案为 18【点评】本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常
34、考题型20 （2016天桥区三模）矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点 B落在线段 CD 的点 F 处，则线段 BE 的长为 2.5 第 25 页（共 37 页）【分析】根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知 EF=BF，AB=AE，故可求出 DE 的长，然后设出 FC 的长，则 EF=4FC，再根据勾股定理的知识，即可求出 BF 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，B= D=90，将矩形折叠，使得点 B 落在线段 CD 的点 F 处，AE=AB=5，AD=BC=4 ，EF=BF，在 RtADE 中，由勾股定理，得 DE=3在矩形 ABCD 中，DC=AB=5
35、CE=DCDE=2设 FC=x，则 EF=4x在 RtCEF 中，x 2+22=（4 x） 2解得 x=1.5BF=BCCF=41.5=2.5，故答案为：2.5【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用以及翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等是解题关键三解答题（共 10 小题）21 （2016安顺）如图，在ABCD 中，BC=2AB=4 ，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积第 26 页（共 37 页）【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用 SAS 证全等第
36、（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道ABE 为等边三角形这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得【解答】 （1）证明：在ABCD 中，AB=CD，BC=AD， ABC=CDA 又BE=EC= BC，AF=DF= AD，BE=DF ABECDF（2）解：四边形 AECF 为菱形，AE=EC 又点 E 是边 BC 的中点，BE=EC ，即 BE=AE又 BC=2AB=4，AB= BC=BE，AB=BE=AE，即ABE 为等边三角形，ABCD 的 BC 边上的高为 2sin60= ，菱形 AECF 的面积为 2 【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力（1）用 SAS 证全
37、等；（2）若四边形 AECF 为菱形，则 AE=EC=BE=AB，所以 ABE 为等边三角形第 27 页（共 37 页）22 （2016苏州）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形；（2）若 AC=8，BD=6 ，求 ADE 的周长【分析】 （1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABCD，ACBD，AE CD，AOB=90，DEBD，即EDB=90，AOB= EDB，DEAC，四
38、边形 ACDE 是平行四边形；（2）解：四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6 ，AO=4，DO=3，AD=CD=5，四边形 ACDE 是平行四边形，AE=CD=5，DE=AC=8 ，ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=18【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可23 （2016贺州）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，过 AC 的中点 O 作EF AC，交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，连接 AE，CF第 28 页（共 37 页）（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）若 AB= ，DCF=30 ，求四边形 AECF 的面
39、积 （结果保留根号）【分析】 （1）由过 AC 的中点 O 作 EFAC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形 ABCD 是矩形，易证得AOFCOE，则可得 AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形 ABCD 是矩形，易求得 CD 的长，然后利用三角函数求得 CF 的长，继而求得答案【解答】 （1）证明：O 是 AC 的中点，且 EFAC，AF=CF，AE=CE，OA=OC ，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AFO= CEO，在AOF 和COE 中，AOFCOE （AAS ） ，AF=CE，AF=CF=CE=AE，四边形 AECF 是菱形；（2）解
40、：四边形 ABCD 是矩形，CD=AB= ，在 RtCDF 中，cosDCF= ，DCF=30，第 29 页（共 37 页）CF= =2，四边形 AECF 是菱形，CE=CF=2，四边形 AECF 是的面积为：ECAB=2 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识注意证得AOFCOE 是关键24 （2016吉林）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且DEAC，AEBD求证：四边形 AODE 是矩形【分析】根据菱形的性质得出 ACBD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE 为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形 AODE 是矩形【解答】证明：
41、四边形 ABCD 为菱形，ACBD，AOD=90 ，DEAC，AEBD，四边形 AODE 为平行四边形，四边形 AODE 是矩形【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键25 （2016通辽）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，AEF=90， EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F求证： AE=EF第 30 页（共 37 页）【分析】先取 AB 的中点 H，连接 EH，根据AEF=90和 ABCD 是正方形，得出1=2，再根据 E 是 BC 的中点，H 是 AB 的中点，得出 BH=BE，AH=CE，最后根据 CF 是DCG 的角平分线，得出AHE=ECF=135，从而证出AHEECF，即可得出 AE=EF【解答】证明：取 AB 的中点 H，连接 EH；AEF=90 ，2+AEB=90，四边形 ABCD 是正方形，1+AEB=90，1=2，E 是 BC 的中点，H 是 AB 的中点，BH=BE，AH=CE ，BHE=45，CF 是 DCG 的角平分线，FCG=45 ，AHE=ECF=135，在AHE 和ECF 中，AHEECF（ASA ） ，AE=EF
