1、时间复杂度计算学习数据结构时，觉得时间复杂度计算很复杂，怎么也看不懂，差不多三年之后，还是不懂，马上就要找工作了，赶紧恶补一下吧：首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模 n 的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度 T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度，其中的 f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取
2、值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶 O(1)、对数阶 O(log2n)、线性阶 O(n)、线性对数阶 O(nlog2n)、平方阶 O(n2)、立方阶 O(n3)、k 次方阶 O(nk)、指数阶 O(2n)。1. 大 O 表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：int seqsearch( int a, const int n, const int x) int i = 0; for (; ai != x 解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1
3、/2)，最坏的情况是 y=0，那么循环的次数是n1/2 次，这是一个按平方根阶递增的函数。(3) x=91; y=100;while(y0)if(x100)x=x-10;y-;else x+;解答： T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了 1000 次，但是我们看到 n 没有? 没。这段程序的运行是和 n 无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。 1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行
4、所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n 称为问题的规模，当 n 不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模 n 的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅
5、助函数 f(n),使得当 n 趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=(f(n),称(f(n) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为 O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如 T(n)=n2+3n+4 与 T(n)=4n2+2n+1 它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为 O(n2)。按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶 O(1),对数阶 O(log2n),线性阶 O(n),线性对数阶 O(nlog2n),平方阶 O(n2
6、)，立方阶 O(n3),.，k 次方阶 O(nk),指数阶 O(2n)。随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。2、空间复杂度 与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作:S(n)=O(f(n)我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。【例 37】有两个算法 A1 和 A2 求解同一问题，时间复杂度分别是 T1(n)=100n2，T2(n)=5n3。（1）当输入量
7、 n20 时，有 T1(n)T2(n)，后者花费的时间较少。（2）随着问题规模 n 的增大，两个算法的时间开销之比 5n3/100n2=n/20亦随着增大。即当问题规模较大时，算法 A1 比算法 A2 要有效地多。它们的渐近时间复杂度 O(n2)和 O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度 T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度，其中的 f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。【例 38】算法 MatrixMultiply 的时间复杂度一般为 T(n)=O(n3)，f(n)=n3 是该算法中语句(
8、5)的频度。下面再举例说明如何求算法的时间复杂度。【例 39】交换 i 和 j 的内容。Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为 1，该程序段的执行时间是一个与问题规模 n 无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作 T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模 n 的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是 O(1)。【例 310】变量计数之一。(1) x=0;y=0;(2) for(k-1;k=0(4)return i; 此算法中的语句(3)的频度不仅与问题规模 n 有关，还与输入实例中A 的各元素取值及 K
9、 的取值有关:若 A 中没有与 K 相等的元素，则语句(3)的频度 f(n)=n；若 A 的最后一个元素等于 K,则语句(3)的频度 f(n)是常数 0。（5）最坏时间复杂度和平均时间复杂度最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。【例 319】查找算法【例 18】在最坏情况下的时间复杂度为 T(n)=0(n)，它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于 0(n)。平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。常见的时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数 0(1)、对数阶0(log2n)、线形阶 0(n)、线形对数阶 0(nlog2n)、平方阶 0(n2)立方阶0(n3)、k 次方阶 0(nk)、指数阶 0(2n)。显然，时间复杂度为指数阶0(2n)的算法效率极低，当 n 值稍大时就无法应用。类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。
