1、函数单调性和奇偶性专题1知识点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义：一、函数单调性的定义及性质 （1）定义对于给定区间 上的函数 ，如果对任意 ，当 ，都有Iyfx12,xI12x，那么就称 在区间 上是增函数；当 ，都有 ，12fxfI 12ffx那么就称 在区间 上是减函数yxI与之相等价的定义： ， 或都有 则说 在这120fxf120fxf()fx个区间上是增函数（或减函数） 。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点 连线的斜率都大12,xffx于（或小于）0。（2）函数的单调区间如果函数 在某个区间上是增函数（或减函数） ，就说 在这一区间上具有yfx ()fx（严格的）单调性，
2、这一区间叫做该函数的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。单调性反映函数的局部性质。一个函数 在区间 上都是增函数，但它在区间 上不一定是增函数。()fx1,I 2I（3 ） 判断单调函数的方法：定义法，其步骤为：在该区间上任取 ，作差 、化积、定号；12x12fxf互为反函数的两个函数具有相同的单调性；奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；复合函数单调性的根据：设 都是单调函数，则,yfugxabumn在 上也是单调函数，其单调性是 与 单调性相同则 是增yfgx,abf yfgx函数，单调性相反则 是减函数
3、。yfgx几个与函数单调性相关的结论：（）增函数+增函数= 增函数；减函数+ 减函数=减函数；（）增函数减函数=增函数；减函数增函数=减函数。如果 在某个区间 上是增函数（或减函数） ，那么. .在区间 的任yfxDyfxD意一个子区间上也是增函数（或减函数） 。（4 ） 常见一些函数的单调性：一次函数 ，当 时，在 上是增函数；当 时，在0ykxbk,0k上是减函数,反比例函数 ，当 时，在 和 上都是减函数；当x,0,时，在 和 上都是增函数0k,0,二次函数 ，当 ，在 上是减函数，在20yaxbca,2ba上是增函数；当 ，在 上是增函数，在 上是减函数,2ba,2ba,当 时， 和
4、在其定义域内为增函数，当 ， 和1xyalogax01xya在其定义域内为减函数。logayx二、奇偶性对 于 函 数 )(f的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 )(xff 或0)(xf ，则称 )(xf为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对 于 函 数 )(f的 定 义 域 内 任 意 一 个 ， 都 有 )(ff 或)(f ，则称 )(f为偶函数. 偶函数的图象关于 y轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2经典例题剖析：（不带答案版）单调性:例 1 （1）函数
5、f(x)|x 2|x 的单调减区间是_.（2 ）函数 的单调区间 _；21变式：（1）函数 的单调区间为 yx（2）设函数 f(x) ，g(x) x 2f(x1)，则函数 g(x)的递减区间是_,01,例 2：（1 ）函数 在 上单调递减，则实数 的范围_；2()()1fxmx(,m（2 ）函数 在 上单调递增，则实数 的范围_。(0)ayx2,)a变式：（1）已知函数 f(x)x 22ax3 在区间1,2上具有单调性，则实数 a 的取值范围为_（2）函数 y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则 a 的取值范围是_.例 3设函数 f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线 x 1 对称，且
6、当 x1 时，f (x)3 x1 ，则 , , 之间的大小关系是_.323f例 4定义新运算：当 ab 时，aba；当 a0.x 1x 20，x 1 x20.由 f(x)f(x)0 知 f(x)为奇函数又由 f(x)在(，0)上单调递增得，f (x1)f(x 2)f (x2)，所以 f(x1)f(x 2)0.例 6：已知函数 f（x ）=x+ +m（p0）是奇函数，当 x1，2时，求 f（x）的最大值和最小值.【解析】f（x ）是奇函数，f（x）=f （x） ，x +m=x m，2m=0 ，m=0.pp（1）当 p0 时，据定义可证明 f（x ）在1，2上为增函数.f（x） max=f（2）=
7、2+，f（x） min=f（1）=1+p.2（2）当 p0 时，据定义可证明 f（x ）在（0， 上是减函数，在 ，+）上pp是增函数.当 1，即 0p1 时，f（x ）在1，2上为增函数，f（x） max=f（2）=2+ ，f（x） min=f（1）=1+p.当 1，2时，f（x）在1，p上是减函数.在p，2上是增函数.f（x） min=f（ ）=2 ，f（x ） max=maxf（1） ，f （2） =max1+p，2+ .2当 1p2 时 ， 1+p2+ ， f（ x） max=f（ 2） ； 当 2 p4 时 ， 1+p2+ ， f（ x） max=f（ 1） . 当 2， 即 p 4 时 ， f（ x） 在 1， 2 上 为 减 函 数 ， f（ x） max=f（ 1）=1+p， f（x） min=f（2）=2+ .变式：设 为实数，函数 。a21fxaxR（ 1） 讨 论 函 数 的 奇 偶 性 ； （ 2） 求 函 数 的 最 小 值
