1、平方数的规律及 100 以内的整数平方表112=121 122=144 132=169 142=196 152=225162=256 172=289 182=324 192=361 202=400212=441 222=484 232=529 242=576 252=625262=676 272=729 282=784 292=841 302=900312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225362=1296 372=1369 382=1444 392=1521 402=1600412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 4
2、52=2025462=2116 472=2209 482=2304 492=2401 502=2500512=2601 522=2704 532=2809 542=2916 552=3025562=3136 572=3249 582=3364 592=3481 602=3600612=3721 622=3844 632=3969 642=4096 652=4225662=4356 672=4489 682=4624 692=4761 702=4900712=5041 722=5184 732=5329 742=5476 752=5625762=5776 772=5929 782=6084 79
3、2=6241 802=6400812=6561 822=6724 832=6889 842=7056 852=7225862=7396 872=7569 882=7744 892=7921 902=8100912=8281 922=8464 932=8649 942=8836 952=9025962=9216 972=9409 982=9604 992=9801 1002=10000规律：(1)完全平方数的个位数字只能是 0,1,4,5,6,9.(没有 2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为 10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全
4、平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是 6；反之，如果完全平方数的个位数字是 6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是 4 的倍数 ;奇数的平方是 4 的倍数加 1.(5)奇数的平方是 8n+1 型;偶数的平方为 8n 或 8n+4 型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被 5 整除的数的平方为 5n1 型, 能被 5 整除的数的平方为 5n 型.(8)平方数的形式具有下列形式 16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是 0,1,3,4,6,7,9.(没有 2,5,8)(10)如果质数 p 能整除 a
5、,但 p 的平方不能整除 a,则 a 不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数 n 是完全平方数的充分必要条件是 n 有奇数个因数(包括 1 和 n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）, 那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如 0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000 等.如果正整数 x,y,z 满足不定方程 x2+y2=z2 ,就称 x,y,z 为一组勾股数.x,y 必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z 和 z2 必定
6、都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52 ；5 2+122=132 ；7 2+242=252 ；8 2+152=172 ；20 2+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625； 64+225=289； 400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (ab) 2=a2 + b2 2ab | | | | | |aa bb 2ab aa bb 2ab例：13 2=(10+3)2=102+32+2103=100+9+60=169882=(90-2)2=902+222902=8100+4 360=7744用处：训练计算能力，使计算更快更准确
7、；估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数 n 是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查 3 到 之间的所有质数是不是 n 的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定 2431 是否为质数，因为 492=240124312500=502,所以 4950 ,2+4+3+1=10 不能被 3 整除, 2341 的个位既非0 又非 5,故只需检查 7 到 47 之间的所有质数能否整除 2431 即可，而 53,59,61,67等更大的质数都不用检查了，实际上 2431=1117.增加对数字的熟悉程度，比如 162=256=28 ，32 2=1024=210 ，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如 882=7744,112=121,222=484,(121 和 484 从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a 左右颠倒后 a2 也左右颠倒).
