1、1椭圆知识总结 班级 姓名 椭圆的定义:平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数 ,这P1F2 )2(11FaPF个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.P注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；)(211F21若 ，则动点 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中x2byax)0(2bac2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；y12注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；)0(ba22bac3椭圆的焦点总在长轴
2、上.当焦点在 轴上时椭圆的焦点坐标为 ， ；x)0,(c),当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ，y (c知识点三 ：椭圆的简单几何性质 椭圆： 的简单几何性质12ba)(（1）对称性：对于椭圆标准方程 ：x0说明：把 换成 、或把 换成 、或把 、 同时换成 、 、原方程都不变，所以椭圆xyyxy是以 轴、 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个2bya对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满axb足 ， 。xby（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个
3、顶点，12a)0(坐标分别为 ， ， ， ,aA,(2),0(1bB),(2线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴， , 。21BaAbB21和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。b（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 表示，记作e。ace2因为 ，所以 的取值范围是 。 越接近 1，则 就越接近 ，从而)0(e)0(ca越小，因此椭圆越扁；反之， 越接近于 0， 就越接近 0，从而 越接近于 ，这时椭圆becb就越接近于圆。 当且仅当 时， ，这时两个焦点重合，bac 图形变为圆，方程为 。注意椭圆 的图像中线段的几何特征yx2 12yx （如下图）：（1） ； ； ；)(
4、1PFM1 )2(aP（2） ； ； ； 2B)2cOF21bBA（3） ； ； ；caFA21 caFA121 caPFca1知识点四：椭圆 与 的区别和联系byxx)0(b标准方程 2y 2bxy)0(图形焦点 ，)0,(1cF,(2，),0(1cF),(2焦距 范围 ，axby，bxay对称性 关于 轴、 轴和原点对称顶点 ，)0,(，),0(,轴长 长轴长= ，短轴长= 2离心率 )1(eac性质准线方程 x2cay2注意：椭圆 ， 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有12byax12)0(b和 ， ；)0()(ecca不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方
5、法： 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标ba,的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 的几何意义cba,椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大,小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ， ，且 。可)0()0( )(22cba借助右图理解记忆：显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a
6、是斜边，b、c 为两条直cba,角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，2xy哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。24方程 是表示椭圆的条件均 不 为 零 ）CBAyx,(2方程 可化为 ，即 ，所以只有 A、B、C 同号，且 A B 时，方程表A2 12yx2ByAx 示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。y5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义
7、法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ，12yx)0(ba 12mbyax)(2b此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；y 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；yx 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。xx8如何求解与焦点三角形PF 1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF 1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭
8、圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。2121sinPFS将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立211P、 21BF、 之间的关系. 21F9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 ，)0(eac22bac，用 表示为 。显然：当 越小时， 越大，椭圆0caba、 )10()12eabeb)10(e形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形状越趋近于圆。0(1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） （参数x12bya22abccosinxayb方程，其中 为参数） ，焦点在 轴上时 1（ ）
9、。方程 表示椭圆y202ABC的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B ，C 同号，AB ） 。2. 椭圆的几何性质 ：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围：12byaxa；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对,axby(,0)c0,xy称中心（0,0） ，四个顶点 ，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线(,0)ab； 离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。通2cce1ee径2ba2.点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；（2）点 在椭圆0(,)Pxy201xyab0(,)Pxy上 1；（3）点 在椭圆内20byax,23直线与圆锥曲线的位置关系：（
10、1）相交： 直线与椭圆相交；（ 2）相切： 直线与椭圆相切； （3）相离：0直线与椭圆相离； 如:直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围0215xym是_（答：1，5）（ 5，+ ） ） ；4、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。0redaxd如（1）已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为_（答：162yx10/3） ；（2）椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 之34)1,( FP2值最小，则
11、点 M 的坐标为_（答： ） ；),3625、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当 即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；20tan|Sbcy0|bPmaxS6、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、B 的横坐标，kx12,x则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 ，若弦 ABAB21kx12,y 21yk所在直线方程设为 ，则 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点b21ky弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；12byax0(,)Pxy 02yaxb如（1）如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 21369（答： ） ；（2 ）已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点，80xy21()xba且线段 AB 的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为 _（答： ） ；（3）试确定2m 的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称（答：1342y mxy43） ； 213,特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，0务必别忘了检验
