1、 Born to win 1997 年全国硕士 研究生入学统一 考试数学二试题 一、填空题(本题共5 分, 每小题3 分,满分 15 分.把答 案 填在题中横线上.) (1) 已知 2 (cos ) , 0, () ,0 x xx fx ax = = 在 0 x = 处 连续, 则 a = . (2) 设 2 1 ln 1 x y x = + ,则 0 x y = = . (3) (4 ) dx xx = . (4) 2 0 48 dx xx + = + . (5) 已知 向量 组 1 23 (1, 2, 1,1), (2, 0, , 0), (0, 4,5, 2) t = = = 的 秩为
2、2, 则t = . 二、选择题(本 题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选 项中, 只有一项符 合题目要求,把所选项前 的 字母填在题后的括号 内) (1) 设 0 x 时, tan xx ee 与 n x 是同阶 无穷 小,则 n 为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设 在区间, ab 上 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, fx f x f x 记 12 ( ) , ( )( ) b a S f x dx S f b b a = = , 3 1 ( ) ( )( ) 2 S fa fb b a =+ ,则 ( ) (A)
3、123 SSS (B) 231 SSS (C) 312 SSS (D) 213 SSS (3) 已知 函数 () y fx = 对一切 x 满足 2 () 3 () 1 x xf x x f x e += , 若 00 ( ) 0( 0), fx x = 则 ( ) (A) 0 () fx 是 () fx 的极 大值 (B) 0 () fx 是 () fx 的极 小值 (C) 00 ( , ( ) x fx 是曲线 () y fx = 的 拐点 (D) 0 () fx 不是 () fx 的 极值, 00 ( , ( ) x fx 也不是 曲线 () y fx = 的拐点 (4) 2 sin (
4、 ) sin , x t x F x e tdt + = 设 则 () Fx ( ) 1 Born to win (A) 为正 常数 (B) 为负 常数 (C) 恒为 零 (D) 不为 常数 (5) 设 2 2, 0 ,0 () , () , () 2, 0 ,0 xx xx g x fx gfx xx xx 则 为 ( ) (A) 2 2, 0 2, 0 xx xx + (B) 2 2, 0 2, 0 xx xx + (C) 2 2, 0 2, 0 xx xx (D) 2 2, 0 2, 0 xx xx + + 三、(本题共6 小题,每 小题 5 分,满分 30 分.) (1) 求极 限 2
5、 2 4 11 lim sin x xx x xx + + . (2) 设 () y yx = 由 2 arctan 25 t xt y ty e = += 所确定,求 dy dx . (3) 计算 22 (tan 1) x e x dx + . (4) 求微 分方 程 2 22 (3 2 ) ( 2 ) 0 x xy y dx x xy dy + + = 的 通解. (5) 已知 22 123 , xx xx xxx y xe e y xe e y xe e e =+=+=+ 是某二阶线性非齐次微分方程 的三个 解, 求此 微分 方程. (6) 已知 11 1 01 1 00 1 A = ,
6、且 2 A AB E = ,其中 E 是三阶 单位矩 阵, 求 矩阵 B. 四、(本题满分8 分.) 取何值时, 方程组 1 23 123 123 21 2 455 1 x xx xxx xxx += += += 无解, 有 惟一解或有 无 穷多解？并在有无穷 多解时 写出 方程 组的 通解. 五、(本题满分8 分) 设曲线 L 的极坐标方程为 () rr = , (, ) Mr 为 L 上任一点, 0 (2, 0) M 为 L 上一定点, 若极径 0 OM OM 、 与曲线 L 所围成的 曲 边扇形面 积值 等于 L 上 0 , MM 两点 间弧长值 的一 半,求曲 线 L 的 方程. 2
7、Born to win 六、(本题满分8 分) 设函数 () fx 在闭 区间0,1 上 连续, 在 开区间 (0,1) 内大 于零,并满 足 () () xf x f x = + 2 3 2 a x ( a 为常数), 又曲线 () y fx = 与 1, 0 xy = = 所围成的图形 S 的面积值为 2, 求函数 () y fx = ,并问 a 为何 值时, 图形 S 绕 x 轴旋转一周 所得 的旋 转体 的体 积 最小. 七、(本题满分8 分.) 已知 函数 () fx 连续, 且 0 () lim 2 x fx x = , 设 1 0 () ( ) x f xt dt = , 求 (
8、) x , 并 讨论 () x 的 连续性. 八、(本题满分8 分) 就 k 的不 同取值 情况,确定 方程 sin 2 x xk = 在开区间 (0, ) 2 内根的 个数, 并证明 你 的结论. 3 Born to win 1997 年全国硕士 研究生入学统一 考试数学二试题 解析 一、填空题(本题共5 分, 每小题3 分,满分 15 分.把 答案在题中横线上.) (1)【答 案】 1 2 e 【解析 】由 于 () fx 在 0 x = 处 连续, 故 2 2 ln ( ) ln(cos ) ln cos 00 0 0 (0) lim ( ) lim lim lim x fx x x x
9、 xx x x f fx e e e = = = = 22 0 0 1 ( sin ) ln cos ln cos cos lim lim 2 0 lim x x x xx x xx x x ee e = = = 洛必达0 sin 1 lim 2 cos 2 x x xx ee = = 【相关 知识 点】1.函数 () y fx = 在点 0 x 连 续： 设 函数 () fx 在点 0 x 的 某 一邻 域内有 定义, 如果 0 0 lim ( ) ( ), xx fx fx = 则称函 数 () fx 在点 0 x 连续. 2.如 果函 数在 0 x 处连续,则有 00 0 lim ( )
10、 lim ( ) ( ) xx xx fx fx fx + = = . (2)【答 案】 3 2 【解析 】 题目 考察 复合 函数 在某点 处的 高阶 导数,按照复 合 函数 求导 法则 具体 计算 如 下： 2 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 y xx = + , 22 11 2 1 () 2 1 1 2(1 ) 1 xx y xx x x = + + , 2 2 22 11 2(1 ) (1 ) x y xx = + , 0 3 2 x y = = . 【相关 知识 点】1.复合 函数 求 导法 则： 如果 () u gx = 在点 x 可导, 而 () y fx = 在点 () u
11、 gx = 可导, 则复合函数 () y f gx = 在点 x 可导, 且 其导 数为 () () dy fu gx dx = 或 dy dy du dx du dx = . (3)【答 案】 2 arcsin 2 x C + 或 2arcsin 2 x C + 【解析 】题 目考 察不 定积 分的计 算, 分 别采 用凑 微分的 方 法计 算如 下： 方法1：原式 2 2 2 () 2 2 arcsin 2 2 4 ( 2) 1( ) 2 x d dx x C x x = = + = . 4 Born to win 方法2：原式 22 2 4( ) 4( ) dx d x xx x = =
12、 2 2 2 2arcsin 2 1( ) 2 x d x C x = = + . (4)【答 案】 8 【解析 】题 目考 察广 义积 分的计 算, 采 用凑 微分 的方法,结合 基本 微分 公式 表计算 如 下： 原式 2 00 2 2 () 1 2 2 4 ( 2) 2 1( ) 2 x d dx x x + + + = = + + + 0 1 21 arctan ( ) 2 2 22 4 8 x + + = = = . (5) 【 答案】3 【解析 】 方法1： 利用 初 等变换. 以 123 , 为行 构成34 矩阵,对其 作初等 变 换： ( ) ( ) 1 21 2 2 3 32
13、 1 12 11 12 1 1 2 0 0 04 22 0 45 2 0 4 5 2 12 1 1 04 22 003 0 At t t, t + + = + + 因为 ( ) 1 2 3 2 rA r , = = 所以3 03 t ,t = =. 方法2： 利用 秩的 定义. 由于 ( ) 1 2 3 2 r rA , = = 则矩阵 A 中任 一三 阶子 行列式 应等 于零. 1 2 3 12 11 20 0 0 45 2 t = , 应有 12 1 12 1 12 1 2 0 04 2 04 2 0 0 45 0 4 5 003 tt t t = += += , 5 Born to wi
14、n C a b E D x y O A B 解得 3 t = . 方法3：利 用线 性相 关性. 因为 ( ) ( ) 123 2 r , , rA , = = 故 123 , 线性相关, 以 1 23 TTT , 组成的线性齐次方 程组 11 22 33 0 TT T x x x BX += 有非零 解, 因 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 23 1 2 21 2 4 31 32 2 41 1 42 2 120 20 4 15 10 2 1 2 0 12 0 044 0 11 0 2 5 00 3 0 2 2 00 0 TTT t B , t , tt + + + + + = = + +
15、 故 0 BX = 有非 零解 3 t = . 二、选择题(本 题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选 项中, 只有一项符 合题目要求,把所选项前 的 字母填在题后的括号 内) (1)【答 案】(C) 【解析 】题 目考 察无 穷小 量的性 质和 无穷 小量 的比 较,采用 洛必 达法 则计 算如下 ： tan tan 00 2 22 3 1 12 0 0 00 1 lim lim tan sec 1 tan 1 lim lim lim lim , 33 x x xx x nn xx n n nn x x xx ee e e xx xx x x x nx nx x
16、 = = = = = = = 洛 必 达tan xx ee 与 3 x 同阶,故应 选(C). (2)【答 案】(D) 【解析】方法 1 ： 用几何 意义.由 () 0 , () 0 , () 0 fx f x f x 可知,曲线 () y fx = 是 上半平 面的 一段 下降 的凹 弧, () y fx = 的图形 大致 如右 图. 1 () b a S f x dx = 是曲边 梯形 ABCD 的面 积； 2 ( )( ) S fbb a = 是矩形 ABCE 的面 积； 3 1 ( ) ( )( ) 2 S fa fb b a =+ 是梯形 ABCD 的 面积. 由图可 见 213 S
17、SS ,应选(D). 方法 2：观察 法. 因为 是要 选择对 任何 满足 条件 的 () fx 都成立的 结果,故可 以取 满足条 件 的 特定的 () fx 来观 察结 果是 什么. 例如取 2 1 ( ) , 1, 2 fx x x = ,则 6 Born to win 2 1 2 3 213 2 1 1115 , 248 S dx S S S S S x = = = = 从而 12 ( ) ( )( ) ( )( ) b a S f x d x f ba f b ba S = = = . 为证 31 SS ,令 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) , 2 x a x f x f
18、a x a f t dt = + 则 ( ) 0, a = 11 () () ( ) ( () () ) () 22 11 ( )( ) ( ( ) ( ) 22 11 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 ( ( ) ( )( ), 2 x f xx a fx fa fx f x x a fx fa fx xa f xa a x fx f xa = + + = = , 所以 () fx 是 单调递 增的,故 () () fx f , () 0 x , 即 () x 在, ab 上 单调递 增的.由于 ( ) 0, a = 所以 () 0 , , x x ab ,从而 1 (
19、) ( ) ( )( ) ( ) 0 2 b a b fb fa b a ft d t = + , 即 31 SS .因此, 213 SSS , 因此驻点 0 xx = 为极小值点. 应选7 Born to win (B). (4)【答 案】(A) 【解析 】由 于函 数 sin sin t et 是以 2 为周期的 函数,所以, 22 sin sin 0 ( ) sin sin x tt x F x e tdt e tdt + = = , () Fx 的值与 x 无关.不选 D,( 周期函 数 在一 个周 期的 积分 与起 点 无关). 估计 2 sin 0 sin t e tdt 的值有
20、多种 方法. 方法1：划分 sin sin t et 取值 正、 负 的区间. 22 sin sin sin 00 sin sin 00 sin sin 0 ( ) sin sin sin sin ( sin ) ( )sin tt t tu tt F x e tdt e tdt e tdt e tdt e u du e e tdt = = + = + = 当 0 t , sin sin 0, tt ee 所以 () 0 Fx .选(A). 方法2：用分 部积 分法. 22 sin sin 00 2 2 sin sin 0 0 22 0 sin 2 sin 2 00 ( ) sin cos c
21、os cos (1 1) cos cos 0. tt tt tt F x e tdt e d t e t tde e e t dt e t dt = = = + = + = 故应选(A). 【 评 注】 本题 的方法 1 十 分有代 表性. 被积函数在积分区 间上可 以取到正值与负值 时, 则常 将积分区间划分成 若干个,使每一 个区间 内,被积 函数 保持确 定的符 号,然后 再作 适当的 变量变 换,使几 个积 分的积 分上下 限相 同,然后 只要 估计 被积 函数的 正 、负 即可. (5)【答 案】(D) 【解析】 题目 考察函 数的 复合问题,分清 内层函 数的 定义域与 值域, 要
22、注意 内层 函数的 值 域又构 成了 外层 函数 的定 义域. 当 0 x ,则 2 () () 2 2 gfx fx x = +=+ ； 当 0 x 时, () 0 fx x = ,则 () 2 () 2 ( ) 2 gfx fx x x = = = + . 故 2 2, 0 ( ) 2, 0 xx gfx xx + = + ,因此 应选(D). 三、(本题共6 小题,每 小题 5 分,满分 30 分.) 8 Born to win (1) 【分 析】 这 是 型的 极限,可 以设 法约 去分 子、 分母中 极 限为 的因子,从而 转化为 确 定 型的极 限. 于 是分 子、 分母同 除 2
23、 x .在 计算 过程 中应 注意 x 趋于负 无穷. 【解析 】分 子、 分母同 除 2 x , 注意 2 xx = ( 0) x ,则 原式 2 2 11 1 41 41 lim 1 1 sin 1 x xx x x x + = = = . (2)【解 析】 题目 考察 参数方 程 所确 定的 函数 的微 分法. t x t y y x = , 2 1 1 t x t = + , t y 可由第 二个 方程 两边 对t 求导得到 ： 2 22 0 t tt y tyy y e += , 解得 2 2(1 ) t t ye y ty = .由此, 有 22 (1 )( ) 2(1 ) t x
24、 tye y ty + = . (3)【解 析】 题目 考察,不定 积 分的 换元 与分 部积 分法,难度 不大,具体 计算 如下 ： 原式 2 2 22 2 (sec 2 tan ) sec 2 tan x xx e x x dx e xdx e xdx =+=+ 2 22 tan tan tan x xx e d x xde e x C =+=+ 分部 . (4) 【解 析】 题 目考 察齐 次 微分方 程的 通解,分别 利用齐 次 方程 的求 解方 法和 凑全 微 分方 法计 算如下 ： 方法1：所 给方 程是 齐次方 程. 令 y xu = ,则 dy xdu udx = + ,代入
25、原方 程得 2 3(1 ) (1 2 ) 0 u u dx x u du + + =, 分离变 量得 2 12 3 1 u du dx uu x = + , 积分得 2 2 (1 ) 1 3 1 d uu dx uu x + = + , 即 23 1 u u Cx + = . 以 y u x = 代 入得 通解 22 C x xy y x +=. 方法2：用凑 全微 分的 方 法求解.由于 2 22 (3 2 ) ( 2 ) x xy y dx x xy dy + + 2 22 2 2 3 ( ( ) ) ( ( ) x dx yd x x dy y dx xd y =+ 32 2 () (
26、) ( ) dx dxy dx y =+ 9 Born to win 32 2 () d x x y xy =+ , 故通解 为： 32 2 x x y xy C += . (5) 【解 析】 13 x yye = 与 2 12 xx yye e = 都是 相应 齐 次方程 的解, 13 12 ( )( ) yy yy + 2x e = 也是相应齐次方程的解, x e 与 2x e 是两个线性无关的相应齐次方程的解；而 2 xx y e xe = 是非齐 次方 程的 解. 下 面求该 微 分方 程： 方法1：由 x e , 2x e 是齐 次解, 知 12 1, 2 rr = = 是特征 方程
27、 的两 个根,特征方 程 为 ( 1)( 2) 0 rr += ,即 2 20 rr =, 相应的 齐次 微分 方程 为： 20 yy y = . 设所求 非齐 次方 程为 ： 2 () y y y fx = ,把非 齐 次解 x xe 代入, 便得 ( ) () () 2 () ( 1 2 ) xx x x f x xe xe xe x e = . 所求方程 为： 2 (1 2 ) x y y y xe = . 方法2：由于 通解 为： 2 12 x xx y c e c e xe =+ ,求出 2 12 2 ( 1) xx x y ce ce x e = + + , 2 12 4 ( 2)
28、 xx x y ce ce x e = + + , 并消去 1 c , 2 c ,便得微 分方 程 2 (1 2 ) x y y y xe = . (6) 【 答案】 021 000 000 【解析 】由 题设 条件 2 A AB E = ,把 A 提 出来得 ( ) AA B E = ,因为 11 1 01 1 10 00 1 A = = , 由此知 道 A 是满秩 的, 所以 A 可逆,两边 左乘 1 A ,从 而有 1 AB A = , 1 B AA = . (或 2 A AB E = , 2 AB A E, = A 可逆, 两边 左乘 1 A ,得 ( ) 12 1 B A A E A
29、A = =). 用矩阵 的初 等变 换求 1 A . 10 Born to win ( ) ( ) ( ) 13 1 23 12 1 31 1 11 1 100 11 0 10 1 01 1 010 01 0 01 1 00 1 001 00 1 00 1 1 0 01 1 2 0 1 00 1 1 0 0 10 0 1 AE EA + + + = = 得 1 112 01 1 00 1 A = , 从而得 1 1 11 112 0 2 1 01 1 0 1 1 000 00 1 0 0 1 000 B AA = = . 四、(本题满分8 分.) 【解析 】 方法1： 对原 方 程组的 增广
30、矩阵 作初 等行 变换： ( ) 21 31 5 3 25 2 11 2 11 1 12 2 1 03 4 5 51 6 5 5 0 6 2 11 2 1 03 5 4 0 09 Ab + + + = + + + + 当 4 5 且 1 时, ( ) 3 r A r Ab = = , 即 方 程组的 系数 矩阵与 增广矩 阵的 秩相等 且等于 未知 量的 个数,故 原 方程组 有唯 一解. 当 4 5 = 时, ( ) 23 r A r Ab = = , 即 方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等, 故原方 程组 无解. 当 1 = 时, 原 方程 组的 同解 方程组 为 123 1 21 xx
31、x x += = , 原方程 组有 无穷 多解,其通解 为 1 2 3 1 1 x, x k, x k. = = + = ( k 为 任意 常数). (或 123 1 10 011 T TT x ,x ,x , , k , , =+ ( k 为任意 常数) 方法2：原 方程 组系 数矩 阵的行 列式 11 Born to win ( ) ( ) 2 12 1 1 1 10 1 54 45 5 45 0 A =+ , 故知： 当 4 5 且 1 时, ( ) 3 r A r Ab = = ,即方程 组的系 数 矩阵 与增 广矩 阵的 秩相 等 且等于 未知 量的 个数,故 原 方程组 有唯 一解
32、. 当 4 5 = 时, 对原 方程 组的 增广 矩 阵作初 等行 变换,得 15 25 3 2 4 2 11 5 10 4 5 5 10 4 5 5 4 1 1 2 4 5 5 10 4 5 5 10 5 45 5 1 000 9 45 5 1 Ab + = ( ) r A r Ab, 即方程 组的 系数 矩阵 与增 广矩阵 的秩 不相 等, 故原方程 组 无解. 当 1 = 时, 对原 方程 组的 增广 矩 阵作初 等行 变换,得 ( ) ( ) 12 3 23 21 2 1 2 31 4 3 2 1 1 1 11 1 2 11 1 2 1 1 1 2 0 33 3 0 11 1 45 5
33、 1 09 9 9 00 0 0 + + + ( ) 23 r A r Ab = = ,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,故 原方程 组有 无穷 多解,其通解 为 1 2 3 1 1 x, x k, x k. = = + = = ( k 为 任意 常数). (或 123 1 10 011 T TT x ,x ,x , , k , , =+ ( k 为任意 常数) 五、(本题满分8 分) 【解析 】由 已知 条件 得 2 22 00 11 22 rd r r d = + . 两边对 求导,得 2 22 r rr = + (隐式微分 方程), 解出 r ,得 2 1 r rr
34、 = . 分离变 量, 得 2 1 dr d rr = . 12 Born to win 由于 2 2 1 () 1 arccos 1 1 1 () d dr r r rr r = = , 或 sec 2 1 arccos 1 rt dr dt t r rr = = = = , 两边积 分, 得 1 arccos c r = +. 代入初 始条 件 (0) 2 r = ,得 1 arccos 23 c = = , 1 arccos 3 r = . 即 L 的 极坐 标方 程为 1 13 cos( ) cos sin 32 2 r = , 从而, L 的直 角坐 标方 程为 32 xy = .
35、六、(本题满分8 分) 【解析 】由 2 3 () () 2 a xf x f x x = + ,有 2 () () 3 2 xf x f x a x = ,即 () 3 () 2 fx a x = , 从而得 () 3 2 fx a xC x = + ,即 2 3 () 2 a f x x Cx = + . 又由题 设知,面积 11 00 3 () ( ) 2 2 22 a aC S f x dx Cx dx = = + =+= , 得 4 Ca = ,从而 2 3 ( ) (4 ) 2 a f x x ax = + . 旋转体 体积 2 11 2 22 00 3 16 ( ) (4 ) (
36、 ) 2 30 3 3 a aa V a y dx x a x dx = = + = + . 由 1 () ( ) 0 15 3 a Va = += ,解得惟 一驻点 5 a = ；又由 () 0 15 Va = , 5 a = 是极小值 点 也是最 小值 点.( 易 验证, 此时 2 15 () 9 2 fx x x = + 在 (0,1 恒正.) 七、(本题满分8 分.) 【 分析】通 过变换将 () x 化 为积 分上限函 数的形式, 此时 0 x , 但根 据 0 () lim x fx A x = , 知 (0) 0 f = ,从而 1 0 0 (0) 0 f dt = = （ ）
37、,由此,利 用积 分上 限 函数的 求导 法则 、 导数 在一 点处的 定义以 及函 数连 续性 的定 义来判 定 () x 在 0 x = 处 的连 续性. 13 Born to win 【解析 】由题 设 0 () lim x fx A x = 知, (0) 0, (0) , f fA = = 且有 (0) 0 = .又 1 0 0 () ( ) ( ) ( 0), x f u du x f xt dt u xt x x = = 从而 0 2 () () ( ) ( 0) x xf x f u du xx x = . 由导数 定义,有 0 2 00 () () (0) lim lim 22
38、 x xx f u du fx A xx = = = . 由于 00 22 0 0 00 () () () () lim ( ) lim lim lim xx x x xx xf x f u du f u du fx x x xx = = (0) 22 AA A = , 从而知 () x 在 0 x = 处连续. 八、(本题满分8 分) 【解析】设 ( ) sin 2 fx x x = , 研究 () fx 在 (0, ) 2 内的极值情况, 从而判定它与水平线 yk = 的交点个数. 由 ( ) 1 cos 0 2 fx x = = 解得 () fx 在 (0, ) 2 内的唯一驻点 0 2 arccos x = ；由 cos x 在 (0, ) 2 单 调减, () fx 在点 0 x 由 负变正, 0 x 是 () fx 的极 小点 也是 最小点.最小 值 0 0 00 ( ) sin 2 fx x x y = ； 由此,最大 值 (0) ( ) 0 2 ff = = (显然 0 0 y ). 当 0 k 或 0 ky 时, () y fx = 与 yk = 没有交点 ；当 0 ky = 时, 两者有唯 一交点 ；当 0 0 yk 时,两者 有两 个交 点. 评注： 也可 以设 ( ) sin 2 gx x x k = ,研究 它的零 点 个数. 14
