1、专题 4 数列一、解答题1、设等差数列 的前 n 项和为 _ _.na 1431284,0, aaSn则若答案：18 解析： 则解得： 11468,20dad1468d2、等比数列 中， an0，且 an+2=an+an+1，则数列的公比 q= 答案： 解析： ，又有 ，解得52qq3、设数列 是公比为 q 的等比数列， ，令 ，若数列 有连n |11()nbaNnb续四项在集合 中，则 3,19,78答案： 解析： 的连续四项只能为 2na24,365,84、已知数列 满足 ，则当 n_时， 取得最小值1125,4na na答案：3 解析：迭加得 ， ，n=3 时取得最小值14a5、函数 （
2、x 0）的图像在点 处的切线与 x 轴交点横坐标为 其中 .2y2,k 1,ka*N若 则 的值是_.16,a135a答案：21 解析：切线 ，解得 ， = 2()kkyax12ka135a6426、数列 满足 n 2122, , 1cossin,.n则 .答案： 解析：对 n 分奇偶讨论得na2na为 偶为 奇7、数列 中， ，则数列 的前 2012 项的和为 n11, ()2()1nnaNna答案： 解析： 2031()na8、已知等差数列 5，4 ，3 ，记第 n 项到第 n+6 项的和为 Tn，则 取得最72 n小值时的 n 的值为 答案：5 解析： ， ，n=5 时， 最小为 0.0
3、na5610a n9、已知数列 满足 ， ，则 _12*1nnN1232091.aa答案：-6 解析：周期为 4.10、数列 若 对任意,4, 221211 nnnn Saa 记满 足 31mSn *Nn恒成立，则正整数 m 的最小值是 .答案：10 解析：可得 为等差， ，又得 递减，21na2143na21nS，正整数 m 的最小值为 10.315930S11、已知等差数列 的前 n 项和为 Sn，若 ，n 322()0()a，下列为真命题的序号为 3209209()(1)aa ； ； ； 答案：SS209a209S解析： 为奇函数， ，正确；3fxx 2011,a又 为增函数， ，正()
4、209确 ， ， ， ， 递减，2091067a()(ff209209ana 错误6a12、设 an是等比数列，公比 ，S n为a n的前 n 项和，记 ，q 217,nnSTN设 为数列 的最大值，则 .0T0答案：4 解析： ，当且仅当 取最小值1167(2)nnT413、已知数列a n满足：a 11，a 2x (xN *)，a n2 | an1 a n|，若前 2 010 项中恰好有 666 项为 0，则 x_答案：8 或 9 解析：将 ，依次取 1、2、3、4 、5、6、，分别写出数列，可以2看到数列均从某一项开始出现 ，而当 x=8 或 9 时，能满足题中要求 014、已知函数 记
5、，cos,sin,fxgx2211nnk kSfg，若 则 m 的最大值为_12.mmTS1,T答案：5解析： ， =-1， ， ，m 的最大值为1nkf2kn2nnS2mT5.二、解答题15、设等比数列 的前 n 项和为 已知nanS*12.naSnN（1）求数列 的通项公式；（2）在 与 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 的等差数列n1 nd求证： ；*2315.6ddN在数列 中是否存在不同的三项 （其中 m、k 、p 成等差数列）成等比数n ,mkpd列？若存在求出这样的三项；若不存在说明理由解析：（1）解： ；（2 ）解： ，则 ，1nna1()nnad143nn
6、，错位相减法得 143nnd153(2)1566nnT（3）设 ， 2kmpd2434()kmpA ， ，则 与题意矛盾，不存在216、已知数列 的首项 （a 为常数，且 ） ，na121a（ ） ，数列 的首项 214nanb21,()nb（1）证明： 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；nb（2）设 为数列 的前 n 项和，且 为等比数列，求实数 a 的值；SnS（3）当 时，求数列 的最小项0a解析：（1） 2221(1=(1)4()(1)nn n）= ，又 ， 从第 2 项起是以 2 为公比的等2ab)0bab比数列（2） ， ， 2(4)nnb 11()4)()24)nnnSa
7、a nN 为等比数列， 得 ， 代入检验得 ，S13a 123nS 12n3a（3） ， 符合22(4),nnb12 ，(4),nN1(4)1nna得 ， ， ，21a32a38a ， 时 ，最小项在 中产生010n123,当 时，最小项为 ；当 时，最小项为 ；当 时，最小项为 ；4342a141a当 时，最小项为 ；当 时，最小项为 1a2,a21,17、已知无穷数列a n中，a 1，a 2，a m是首项为 10，公差为2 的等差数列；am1 ，am 2， ，a 2m是首项为 ，公比为 的等比数列（其中 m3 ，mN *） ，并对1任意的 nN*，均有 an2m a n成立（1）当 m12
8、 时，求 a2010；（2）若 a52 ，试求 m 的值；128（3）判断是否存在 m（m3，mN* ） ，使得 S128m3 2010 成立？若存在，试求出 m 的值；若不存在，请说明理由解析：（1）m=12 时，周期为 24， ， 2014831201864a（2） ，等比数列至少有 7 项，一个周期至少有 14 项，71()82 可能是第一、二、三周期中的项5a若 在第一个周期，则 ， ；2 527ma45若 在第二个周期，则 ， ；5 31若 在第三个周期，则 ， ；9m =9 或 15 或 45.（3） ，1283212364mSa ()mf ，1()(5ff当 时， ， 时，51)
9、(f6(1)(fmf 时， 有最大值6m2mS304 有最大值为 ，无解1283627018、对于给定数列 ，如果存在实常数 命名得 对于任意 都成ncqp, qpcnn1 *Nn立，我们称数列 是“M 类数列” （1）若 ，数列 是否为“M 类数列”？若是，指出它)(23,*Nbann,nba对应的实常数 ，若不是，请说明理由；qp（2）证明：若数列 是“M 类数列” ，则数列 也是“M 类数列” ；na 1na（3）若数列 满足 为常数，求数列 前 2009 项的n tNtnn),(23, *11 na和，并判断 是否为“M 类数列” ，说明理由解析：（1）数列 满足 ，存在 ，是“M 类
10、数列” ；n1n,2pq数列 满足 ，存在 ，是“M 类数列” ；nb12b,0pq（2）证明： 是“M 类数列” ，a1nna 1nnapq则有 21()nap 也是“M 类数列 ”，对应的常数为 p，2q1n（3）解： = 209123452089()(+)Saaa 201(4)t若 是“M 类数列” ， 设na1nnpq则 1(npq对 恒成立 (6)tqN360t当 时， ，此时 是“M 类数列” ，t=1；2,012nana当 时， ，此时 是“M 类数列” 0,tq1nana 或 专题 4 数列一、解答题1、设等差数列 的前 n 项和为 _ _.na 1431284,0, aaSn
11、则若2、等比数列 中， an0，且 an+2=an+an+1，则数列的公比 q= 3、设数列 是公比为 q 的等比数列， ，令 ，若数列 有连|1q()nbNnb续四项在集合 中，则 53,219,784、已知数列 满足 ，则当 n_时， 取得最小值n1524nna5、函数 （x 0）的图像在点 处的切线与 x 轴交点横坐标为 其中 .2y,ka 1,k*N若 则 的值是_.16,a135a6、数列 满足 则 .n 22122, , 1cossin1,3.n na7、数列 中， ，则数列 的前 2012 项的和为 1, ()()naNn8、已知等差数列 5，4 ，3 ，记第 n 项到第 n+6
12、 项的和为 Tn，则 取得最72 n小值时的 n 的值为 9、已知数列 满足 ， ，则 _a1*1nnaN1232091.aa10、数列 若 对任意,4, 212 nnnn S记满 足 3mSn *Nn恒成立，则正整数 m 的最小值是 .11、已知等差数列 的前 n 项和为 Sn，若 ，na322()01()aa，下列为真命题的序号为 3209209(1)(1)a ； ； ； SS209a209S12、设 an是等比数列，公比 ，S n为a n的前 n 项和，记 ，q 217,nSTNa设 为数列 的最大值，则 .0T013、已知数列a n满足：a 11，a 2x (xN *)，a n2 |
13、an1 a n|，若前 2 010 项中恰好有 666 项为 0，则 x_14、已知函数 记 ，cos,sin,fg2112nnk kSfg，若 则 m 的最大值为_12.mmTS1,T二、解答题15、设等比数列 的前 n 项和为 已知nanS*12.naSnN（1）求数列 的通项公式；（2）在 与 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 的等差数列n1 nd求证： ；*2315.6ddN在数列 中是否存在不同的三项 （其中 m、k 、p 成等差数列）成等比数n ,mkpd列？若存在求出这样的三项；若不存在说明理由16、已知数列 的首项 （a 为常数，且 ） ，na121a（ ）
14、 ，数列 的首项 214nanb21,()nb（1）证明： 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；nb（2）设 为数列 的前 n 项和，且 为等比数列，求实数 a 的值；SnS（3）当 时，求数列 的最小项0a17、已知无穷数列a n中，a 1，a 2，a m是首项为 10，公差为2 的等差数列；am1 ，am 2， ，a 2m是首项为 ，公比为 的等比数列（其中 m3 ，mN *） ，并对1任意的 nN*，均有 an2m a n成立（1）当 m12 时，求 a2010；（2）若 a52 ，试求 m 的值；128（3）判断是否存在 m（m3，mN* ） ，使得 S128m3 2010 成立？若存在，试求出 m 的值；若不存在，请说明理由18、对于给定数列 ，如果存在实常数 命名得 对于任意 都成ncqp, qpcnn1 *Nn立，我们称数列 是“M 类数列” （1）若 ，数列 是否为“M 类数列”？若是，指出它)(23,*Nbann,nba对应的实常数 ，若不是，请说明理由；qp（2）证明：若数列 是“M 类数列” ，则数列 也是“M 类数列” ；na 1na（3）若数列 满足 为常数，求数列 前 2009 项的n tNtnn),(23, *11 na和，并判断 是否为“M 类数列” ，说明理由
