1、第 1 页（共 20 页）（2015大连）如图 1，在ABC 中，C=90，点 D 在 AC 上，且 CDDA ，DA=2，点P，Q 同时从点 D 出发，以相同的速度分别沿射线 DC、射线 DA 运动，过点 Q 作 AC 的垂线段 QR，使 QR=PQ，连接 PR，当点 Q 到达点 A 时，点 P，Q 同时停止运动设PQ=x，PQR 与ABC 重叠部分的面积为 S，S 关于 x 的函数图象如图 2 所示（其中0x ， xm 时，函数的解析式不同） （1）填空：n 的值为 ；（2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】
2、 （1）当 x= 时，PQR 与ABC 重叠部分的面积就是PQR 的面积，然后根据PQ= ，QR=PQ，求出 n 的值是多少即可（2）首先根据 S 关于 x 的函数图象，可得 S 关于 x 的函数表达式有两种情况：当 0x时，S= PQRQ= x2，判断出当点 Q 点运动到点 A 时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当 x4 时， S 关于 x 的函数关系式即可【解答】解：（1）如图 1，当 x= 时，PQR 与ABC 重叠部分的面积就是PQR 的面积，PQ= ，QR=PQ，QR= ，n=S= （ ） 2= = 第 2 页（共 20 页）（2）如图 2，根据 S 关于 x 的函数图象，
3、可得 S 关于 x 的函数表达式有两种情况：当 0x 时，S= PQRQ= x2，当点 Q 点运动到点 A 时，x=2AD=4，m=4当 x4 时，S=SAPF SAQE = APFG AQEQ，AP=2+ ，AQ=2 ，AQE AQ 1R1， ，QE= ，设 FG=PG=a，AGF AQ 1R1， ，AG=2 + a，a= ，S=S APFSAQE第 3 页（共 20 页）= APFG AQEQ= （2 ） （2 ） （2 ） （2 ）= x2+S= x2+ 综上，可得S=故答案为： 【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象应用信息广泛，通过看图获取
4、信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图（2015 秋沙河口区期末） RtABC 中，ACB=90，BC=4，如图 1，点 P 从 C 出发向点B 运动，点 R 是射线 PB 上一点，PR=3CP，过点 R 作 QRBC ，且 QR=aCP，连接 PQ，当 P 点到达 B 点时停止运动设 CP=x，ABC 与PQR 重合部分的面积为 S，S 关于 x的函数图象如图 2 所示（其中 0x ， xm ，m xn 时，函数的解析式不同） （1）a 的值为 4 ；（2）求出 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围【考点
5、】动点问题的函数图象菁优网版权所有【分析】 （1）由图 2 可知当 x= 时 S= ，且此时 Q 点在线段 AB 上，利用三角形面积公式即可求出 a 的值；第 4 页（共 20 页）（2）由 Q 点和 R 点的位置，可将整个移动过程分成三部分，借用三角形相似，找个各边的关系，分割图形，既能找出 S 和 x 之间的关系式【解答】解：（1）由图 2 可知，当 x= 时，点 Q 在线段 AB 上，且此时的 S= ，PR=3CP= ，QR=aCP= a，QRBC，S= PRQR= a= ，即 27a=108，解得 a=4故答案为 4（2）当 x= 时，Q 点在线段 AB 上，如图 3，ACBC，QRB
6、C ，ACQR ，ABCQBR， = QR=4CP= ，PR=3CP= ，BR=BCCPPR= ，AC= QR= =3当点 Q 在ACB 内时，即 0x 时，如图 1，PR=3x，QR=4x ，S= PRQR=6x2当点 Q 在ACB 外且 R 点在线段 CB 上时，如图 4，第 5 页（共 20 页）此时 x ，且 CRBC ，CR=CP+PR=4x ， x1 = = ，PQR ABC，Q= B，DEQ=REB（对顶角） ，DEQ REB在 Rt ACB 中，由勾股定理可知 AB= =5，ACQR ，EBR ABC， = ，RB=BCCPPR=44x，AC=3 ，BC=4 ，RE=33xQE
7、=QRRE=4x（3 3x）=7x3DEQ REB，EBR ABC，且 AC=3，BC=4 ， AB=5，DE= QE，QD= QE，QD DE S= PRQR QDDE= x2+ x 当点 R 在线段 CB 的延长线上时，如图 5，此时 CR=4xBC=4，得 x1；CP=xBC=4即 1x4ABCPQR，QPR=A，PBM= ABC，第 6 页（共 20 页）PBMABC，PM= PB，MB= PBPB=BCCP=4x，S= PMMB= （4x） 2= x2 x+ 综合可得：S= 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是：（1）由图 2 找出 S 的面积，套入三角形面积公式；（2
8、）画出图形，结合三角形相似，找到边角关系，分割图形即可（2015 秋甘井子区期末）如图 1，矩形 ABCD，动点 E 从 B 点出发匀速沿着边 BA 向 A点运动，到达 A 点停止运动，另一动点 F 同时从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边BCCDDA 运动，到达 A 点停止运动设 E 点运动时间为 x（s） ，BEF 的面积为y（cm 2） y 关于 x 的函数图象如图 2 所示（1）BC= 3 cm ，AB= 3 cm ，点 E 的运动速度是 1 cm/s；（2）求 y 关于 x 的函数关系及其自变量取值范围；（3）当DFE=90 时，请直接写出 x 的取值【考点】动点问题的函数图象
9、菁优网版权所有【专题】探究型【分析】 （1）根据图 2 可知，点 F 由 B 到 C 运动时间为 1s，由 C 到 D 运动时间为 1s，从而可以得到 BC、CD 的长即点 E 运动的速度；（2）由（1）可知，E 一直在 AB 边上运动，F 在 BC、CD、DA 上运动，所以分类讨论，求出 0x1、1x2、2x3 时BEF 的面积；（3）根据题意可知符合要求的有两种情况，分别画出相应的图形，求出对应的 x 的值即可解答本题第 7 页（共 20 页）【解答】解：（1）由图 2 可知，点 F 由 B 到 C 运动时间为 1s，由 C 到 D 运动时间为1s，点 F 从 B 点出发以 3cm/s 的
10、速度沿着边 BCCDDA 运动，BC=31=3cm，CD=3（21）=31=3cm ，AB=CD=3cm，设点 E 在 1s 时运动的距离为 a，得 a=1即点 E 的速度为 1cm/s故答案为：3，3，1cm/s；（2）当 0x1 时，E、F 分别在 AB、BC 上，BEF 为直角三角形，所以 y= BEBF=x3x= ；当 1x2 时，E、F 分别在 AB、CD 上，BC 的长等于 BEF 的高，所以y= BEBC= x3= ；当 2x3 时，E、F 分别在 AB、AD 上，AF 为BEF 的高，所以y= BEAF= x（93x）= x（3x） 由上可得， ；（3）当DFE=90 时，x
11、的值是 或 1.5理由：当DFE=90 时，存在两种情况，第一种情况，如下图一所示，DFE=90 ，B= C=90，EFB+BEF=90，EFB+DFC=90 ，BEF=CFD ，第 8 页（共 20 页）EFBFDC， ，即解得，x= ；第二种情况，如下图二所示，由题意可得，3x3=x，得 x=1.5；由上可得，当DFE=90 时， x 的值是 或 1.5【点评】本题考查动点问题的函数图象、求函数的解析式，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的图形，利用数形结合的思想进行解答（2015 秋高新区期末）如图 1，在ABC 中，ACB=90 ，AC=3cm，BC=4cm，点 D
12、为AB 中点，连结 CD，动点 P、Q 从点 C 同时出发，点 P 沿 BC 边 CBC 以 2a cm/s 的速度运动；点 Q 沿 CA 边 CA 以 a cm/s 的速度运动，当点 Q 到达点 A 时，两点停止运动，以 CQ，CP 为边作矩形 CQMP，当矩形 CQMP 与CDB 重叠部分的图形是四边形使，设重叠部分图形的面积为 y（cm 2） P、Q 两点运动时间为 t（s） ，在点 P 由 CB 过程中，y与 t 的图象如图 2 所示（1）求 a、m 的值；第 9 页（共 20 页）（2）求 y 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围【考点】相似形综合题；动点问题的函数图象菁优网
13、版权所有【专题】综合题；图形的相似【分析】 （1）根据图象可知，当 t= 时，点 M 落在 AB 边上，根据BPMBCA，得到比例式，计算求出 a，根据点 D 为 AB 中点，DQBC，求出 m；（2）分 0t 、 t2、2t3 三种情况，根据相似三角形的性质解答即可【解答】解（1）由图象得：当 t= 时，点 M 落在 AB 边上，如图 3 所示，CP= 2a= a，CQ= a，BPMBCA， = ，即 = ，解得：a=1，根据题意得，当 QM 过点 D 时，t=m，如图 4 所示，点 D 为 AB 中点，DQBC，点 Q 为 AC 中点t= ，m= ；（2）当 0t 时，如图 5，CD 与
14、QM 的交点是点 G，CQGACB， = ，即 = ，整理得：QG= t，S CQG = t t= t2，y=2t 2 t2= t2，当 t2 时，如图 5，PM 与 BD 交点是 H，BHP BAC， = ，即 = ，HP= BP，y=S BCD SBHP =3 BP BP=3 BP2=3 （4 2t） 2= t2+6t3；第 10 页（共 20 页）当 2t3 时，同理得到 y=3 （2t4） 2= t2+6t3【点评】本题考查的是动点问题的函数图象、相似三角形的判定和性质，正确读懂函数图象、正确运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键（2015 秋中山区期末）如图 1，在ABC 中
15、，A=120，AB=AC，点 P、Q 同时从点 B出发，以相同的速度分别沿折线 BAC、射线 BC 运动，连接 PQ当点 P 到达点 C 时，点 P、Q 同时停止运动设 BQ=x，BPQ 与ABC 重叠部分的面积为 S如图 2 是 S 关于 x 的函数图象（其中 0x8，8xm ，m x16 时，函数的解析式不同） （1）填空：m 的值为 8 ；（2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）请直接写出PCQ 为等腰三角形时 x 的值第 11 页（共 20 页）【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【分析】 （1）根据题意求出 BC 的长即可（2）分三种情形0m8，8 x
16、16， 8 x16，分别求出APQ 面积即可（3）分三种情形讨论当点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，PQC 不可能为等腰三角形当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上，根据 PQ=QC 列出方程即可当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 的延长线，根据 CP=CQ 列出方程即可【解答】解：（1）如图 1 中，作 AMBC ，PN BC ，垂足分别为 M，N 由题意 AB=AC=8，A=120，BAM=CAM=60，B=C=30 ，AM= AB=4，BM=CM=4 ，BC=8 ，m=BC=8 ，故答案为 8 （2）当 0m8 时，如图 1 中，在 RTPBN 中，PNB=90，B
17、=30，PB=x，PN= xs= BQPN= x x= x2当 8 x16，如图 2 中，在 RTPBN 中，PC=16x ，PNC=90，C=30 ，PN= PC=8 x，s= BQPN= x（8 x）= x2+4x当 8 x16 时，s= 8 （8 x）= 2 x+32 （3）当点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上时，PQC 不可能是等腰三角形当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上时，PQ=QC ，PC= QC，第 12 页（共 20 页）16x= （8 x） ，x=4 +4当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 的延长线时，PC=CQ，即 16x=x8 ，x=8+4 PCQ
18、 为等腰三角形时 x 的值为 4 +4 或 8+4 【点评】本题考查动点问题、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型（2016大连模拟）如图 1，在ABC 中C=90，ACBC，正方形 CDEF 的顶点 D 在边 AC 上，点 F 在射线 CB 上设 CD=x，正方形 CDEF 与ABC 重叠部分的面积为 S，S 关于 x 的函数图象如图 2 所示（其中 0xm ，m x2， 2xn 时，函数的解析式不同）（1）填空：m 的值为 ；（2）求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（3）S 的值能否为 ？若能，直接
19、写出此时 x 的值；若不能，说明理由第 13 页（共 20 页）【考点】四边形综合题菁优网版权所有【分析】 （1）当 0xm 时，结合图形可知 S=x2，把点（ m， ）代入可求得 m 的值；（2）结合图形的变换可知当 mx2 时，点 F 运动到点 B，可求得 BC，当 x=m 时，可得BEFBAC，利用相似三角形的性质可求得 AC 的长，当 mx2，设 AB 分别交DE、EF 于点 P、Q 两点，可用 x 分别表示出 PE 和 QE，S=S 正方形 CDEFSPEQ ，可得到 S与 x 的关系式，当 2xn 时，设 AB 交 DE 于点 H，可用 x 表示出 AP 和 PH，则有S=SABC
20、 SAPH ，可得到 S 与 x 的关系式，从而可求得函数解析式；（3）利用（2）中所求得关系式，分别令 S= ，解相应的方程进行判断即可【解答】解：（1）当 0xm 时，如图 1，则可知点 F 从 C 点运动到点 E 运动到 AB 上，S=x 2，点（m， ）在函数图象上，m 2= ，解得 m= 或 m= （舍去） ，故答案为： ；（2）当 x2 时，可知点 F 从 E 点在 AB 上运动到 B 点，BC=2，在图 1 中，由 EFAC，BEFBAC， = ，且 CF=EF= ，BF=BCCF=2 = ， = ，解得 AC=6，当 0x 时，由（1）可知 S=x2；当 x2 时，设 AB 分
21、别交 DE、EF 于点 P、Q 两点，如图 2，第 14 页（共 20 页）当 CD=CF=DE=EF=x 时，BF=2x，AD=6 x，EFAC ， = ，即 = ，FQ=3（2 x） ，QE=EF FQ=x3（2x）=4x 6，同理可得 = ，即 = ，PD= （6 x） ，PE=DE PD=x （6x）= （4x 6） ，S PEQ = PEPQ= （ 4x6）（4x6）= （4x6） 2，S=S 正方形 CDEFSPEQ =x2 （4x6） 2= x2+8x6；当 2x6 时，即点 F 从 B 点运动到使 A、D 重合，设 AB 交 DE 于点 H，如图 3，当 CD=x 时，则 AD
22、=6x，同理可得 = ，即 = ，DH= （6 x） ，S ADH = DHAD= （6 x）（6x）= （6x） 2，且 SABC = ACBC=6，第 15 页（共 20 页）S=S ABCS APH=6 （6 x） 2= x2+2x；综上可知 S= ，且 0x6；（3）若 S= ，则有三种情况，当 x2= 时，则 x= ，当 x= 时显然不满足条件，当 x= 时， ，也不满足条件；当 x2+8x6= 时，整理可得 10x248x+75=0，该方程判别式=48 2410750，即该方程无实数解；当 x2+2x= 时，整理可得 x212x+39=0，该方程判别式 =12 24390，即该方程
23、无实数解；综上可知 S 的值不能为 【点评】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程及分类讨论等确定出正方形所运动到的位置与对应的函数图象中对应的点是解题的关键，在（2） 、 （3）中确定出 AC 和 BC 的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问难度较大如图 1，在 Rt ABC 中，C=90，B=30，点 P、Q 同时从点 C 出发，以相同的速度分别沿射线 CA、射线 CB 运动，作CPQ 关于直线 PQ 的轴对称图形（记为 CPQ ）当 P点到达 A 点时，点 P、Q 同时停止运动设 PC=xCPQ 与ABC 重叠部分
24、的面积为S，S 关于 x 的函数图象如图 2 所示（其中 0xm ，mxn 时，函数的解析式不同）且当 x=m 时，S= 第 16 页（共 20 页）（1）填空：n 的值为 3+ ；（2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【分析】 （1）0xm，mxn 时，函数的解析式不同可知当 x=m 时，C 在 AB 上，根据图 2 得出 x2= ，求得 x=3，由四边形 PCQC是正方形，得出 PCBC，进一步得出PCA=B=30 ，解直角三角形得出 AP= PC= ，从而求得 n=AC=3+ ；（2）分两种情况分别讨论即可求得【解答】解：（1
25、）0xm ，m xn 时，函数的解析式不同，当 x=m 时， C在 AB 上，如图，即 x2= ，x=3 ，四边形 PCQC是正方形，PCBC，PCA=B=30 ，在 RTAPC 中，AP= PC= ，n=AC=3+ ；故答案为 3+ ；（2）当 0x3 时，CPQ 在ABC 内，S= x2；当 3x3+ 时，如图AC=3+ ， PC=x，AP=3+ x，PD= AP=3 +3 x，DC=x （3 +3 x）=（ +1）x 3 3，CE= DC= x3 ，S DC E= （ +1）x3 3（ x3 ）= （x3） 2，S= x2 （x3） 2= x2+（4 +6）x6 9，S= 第 17 页（
26、共 20 页）【点评】本题考查了动点问题的函数图象，此题涉及的知识有：正方形的性质，直角三角函数，三角形面积以及四边形面积等，有一定的难度（2016大连）如图 1，ABC 中，C=90，线段 DE 在射线 BC 上，且 DE=AC，线段DE 沿射线 BC 运动，开始时，点 D 与点 B 重合，点 D 到达点 C 时运动停止，过点 D 作DF=DB，与射线 BA 相交于点 F，过点 E 作 BC 的垂线，与射线 BA 相交于点 G设BD=x，四边形 DEGF 与ABC 重叠部分的面积为 S，S 关于 x 的函数图象如图 2 所示（其中 0x1，1xm，mx3 时，函数的解析式不同）（1）填空：B
27、C 的长是 3 ；（2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围【考点】四边形综合题菁优网版权所有【分析】 （1）由图象即可解决问题第 18 页（共 20 页）（2）分三种情形如图 1 中，当 0x1 时，作 DMAB 于 M，根据 S=SABC SBDFS 四边形 ECAG 即可解决如图 2 中，作 ANDF 交 BC 于 N，设 BN=AN=x，在 RTANC 中，利用勾股定理求出 x，再根据 S=SABC SBDF S 四边形 ECAG 即可解决如图 3 中，根据 S= CDCM，求出 CM 即可解决问题【解答】解；（1）由图象可知 BC=3故答案为 3（2）如图 1 中，
28、当 0x1 时，作 DMAB 于 M，由题意 BC=3，AC=2 ，C=90 ，AB= = ，B=B ，DMB=C=90，BMDBCA ， = = ，DM= ，BM= ，BD=DF，DMBF，BM=MF，S BDF = x2，EGAC， = ， = ，EG= （x+2） ，S 四边形 ECAG= 2+ （x+2）（1 x） ，S=S ABCS BDFS 四边形 ECAG=3 x2 2+ （x+2）（1 x）= x2+ x+ 如图中，作 ANDF 交 BC 于 N，设 BN=AN=x，在 RTANC 中，AN 2=CN2+AC2，x 2=22+（3 x） 2，x= ，当 1x 时，S=S ABC SBDF =3 x2，第 19 页（共 20 页）如图 3 中，当 x3 时，DMAN， = ， = ，CM= （3x） ，S= CDCM= （3 x） 2，综上所述 S= 第 20 页（共 20 页）【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考压轴题
