1、,第六章 排列组合与概率论初步,第六章 排列组合与概率论初步,内容: 6.1排列组合 6.2随机实验、样本空间和随机事件 6.3事件的概率 6.4条件概率 6.5独立性 6.6贝努力(Bernoulli)实验模型,返回,上一页,下一页,退出,6.1排列组合,加法原理 如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法，第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事总共有m1m2mn 种不同的方法,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘 汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有 2班,轮船有3班
2、.那么一天中乘坐这些交通工具 从甲地到乙地共有多少种不同方法? 解:从甲地到乙地有3类方法:第一类,乘火车, 有4种方法;第二类,乘汽车,有2种方法;第三类, 乘轮船,有3种方法.所以,共有4+2+3=9种方法.,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,乘法原理 如果完成一件事情有n个步骤，在第一个步骤 中有m1种方法，第二个步骤中有m2种方 法，在第n个步骤中有mn种方法，那么完 成这件事总共有m1m2mn 种不同的方法,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.2 甲乙两个盒子分别装有10只小球和8 只小球,小球的颜色互不相同,求: (1
3、)从甲乙两个盒子中任取一个小球,有多少种 不同的取法? (2)从甲乙两个盒子中各取一个小球,有多少种 不同的取法?,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,解:(1)从甲乙两个盒子中任取一个小球,有两 类方法:第一类是从甲盒中任取一个,有10种方 法;第二类是从乙盒中任取一个,有8种方法.根据加法原理,取法共有:10+8=18(种). (2)从甲乙两个盒子中各取一个小球,可以分两 步完成:第一步,从甲盒中任取一个,有10种取 法;第二步,从乙盒中任取一个,有8种取法.根据乘法原理,取法种数有:108=80(种).,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组
4、合,排列 定义6.1.1从n个不同的元素中，任取m (mn) 个不同的元素，按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列 排列数 定义6.1.2 从n个不同的元素中取出m (mn)个元素的所有不同的排列个数称为排列数记作 .,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,排列数公式特别地,从n个不同元素中任取n个元素 的排列称为全排列.,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,那么有,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.3 解方程,2.排列,解: 由已知得,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,2.排列,解:由题
5、可得:,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.4 证明,2.排列,证明:,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,2.排列,证明:,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,2.排列,证明:由(1)的结论得,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.5用五面不同颜色的旗，按不同的次序 挂在旗杆上表示信号，可以单用一面、二面 或三面,一共可以得到几种不同的信号? 解:用一面旗作信号有 种，用二面旗作信号 有 种，用三面旗作信号有 种.于是所求信 号总数是,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.6 用0,1,2,3,4,5,6组成满足下列
6、条件的 数各有多少? (1)无重复数字的四位数; (2)无重复数字的四位数偶数; (3)无重复数字的四位数且能被5整除; (4)个位数字大于十位数字的四位数. 解(1)无重复数字的四位数,0不能作首位,所以首位选法有 种,其它三位可以从剩下的6,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,个数中任选,有 种.所以,总共有 种. (2)当首位为奇数时,有 种,末位有 种,所以, 组成的四位偶数有 种;当首位为偶 数时首位不为0,有 种,末位在其它三个偶数 中选,有 种,所以,组成的四位偶数有 种.因此,可选个数为 (3)无重复数字的四位数且能被5整除,0不能作 首位,末位只能从0,5中
7、选.当首位为5时,末位,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,只能为0,所以,有 种;当首位不为5时,选 法为 种.因此共有 种. (4)首位不为0,有 种,末两位数字从余下的数 中选,对于选出的数个位大于十位的几率相等, 所以末两位的选法有 种.因此,共有,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.7 4名女生和3名男生站成一排,求 (1)甲站在中间的不同排法有多少种? (2)甲乙二人不能站在两端的排法有多少种? (3)男生不相邻的排法有多少种? 解(1)甲的位置确定,排法有 种(2)甲乙可以排在中间5个不同的位置,其余 的人排在剩下的位置,排法共有 种
8、,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,(3)先排女生,有 种,然后在4名女生的三个间 隔及两端共5个位置排男生,有 种排法.所以, 共有 种.,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,组合 定义6.1.3从n个不同的元素中,任取m(mn)个 不同的元素,不管顺序并成一组,称为从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合 . 组合数 定义6.1.4从n个不同元素中取出m个元素的所 有不同的组合种数,称为组合数,记作,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,组合数公式,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,组合数的性质 性质1 性质2,3.
9、组合,例6.1.8 计算,解:,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.9 证明 证明:,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.10 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从50件产品中任意抽出3件: 一共有多少种不同的抽法? (2) 如果50件产品中有2件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 如果50件产品中有2件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,解:(1) 所求的不同抽法的种数,就是从50件产
10、 品中取出3件的组合数即一共有19600种抽法. (2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种,从48件 合格品中抽出2件的抽法有 种,因此抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法种数是,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,(3)从50件产品抽出的3件中至少有1件是次品 的抽法,就是包括1件是次品的和2件是次品的 抽法.而1件是次品的抽法有 种,2件是次 品的抽法有 种,因此,至少有1件是次品的 抽法的种数为,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,例6.1.11由13个人组成的课外活动小组,其中5 个只会跳舞,5个只会唱歌,3个人既会唱歌又会 跳舞,若从中选出4个会跳舞
11、和4个会唱歌的人 去表演节目,共有多少种不同的选法? 解:此题从既会唱歌又会跳舞的3人进行分类. 第一类:若3人都不参加,共有 种; 第二类:若3人都跳舞或都唱歌,共有 种,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,第三类:若3人中有2人跳舞或都唱歌,共有 种 第四类:若3人中有1人跳舞或都唱歌,共有 种 第五类:若3人中有2人跳舞第3人唱歌或有2人 唱歌第3人跳舞,共有 种,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,第六类:若3人中有1人跳舞1人唱歌,共有 种 由分类计数原理得不同选法有:所以,共有1875种不同选法.,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列
12、组合,例6.1.12 从4个男同学和5个女同学里选出2个 男同学和2个女同学分别担任班长、团支书、 学习委员、组织委员,一共有多少种不同的选 法? 解:从4个男同学中选出2个男同学的方法有 种;从5个女同学中选出2个女同学的方法有 种;对所选出的4个同学进行分工的方法有 种,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,因此不同的选法一共有 例6.1.13有6本不同的书： 分成3堆,一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少 种分法? (2) 等分成3堆,有多少种分法? (3)把(2)中的两堆书再分给甲乙丙3人,有多少 种分发?,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,解:(1
13、) 从6本书中取3本书有 种方法,从剩下 的3本书中取2本的方法是 种,最后,从1 本中 取1本的分发有 .即所求分法是 (2)等分3堆,每堆2本,先取2本,再取2本,最后取 2本的分发有 ;由于等分,不分顺序,所 以有 种重复.所以分发有,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.1排列组合,(3)把(2)中的3堆书分给甲乙丙3人,有 种分发. 所以,分发有,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,概率论中讨论具有如下特点的试验: (1)在相同条件下可重复进行; (2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有结果; (3)进行一次试验之前不能
14、确定会出现哪一个 结果. 具有上述3个特点的试验称之为随机试验,常 用E表示.,1.随机实验,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况. 将一枚硬币抛3次,观察正面H,反面T出现的情况. 将一枚硬币抛3次,观察出现正面的次数. 抛一颗骰子,观察出现的点数. 记录某寻呼台一昼夜接到的寻呼次数. 从一批电脑中,任取一台观察无故障运行时间.,1.随机实验,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合 称为E的样本空间,记为 , 中的元素即E的 每个结果.称为样本点,记为 例
15、6.2.1给出6.2.1中的随机试验 的样本 空间. 解:,2.样本空间,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,2.样本空间,注意:样本空间的元素有试验的目的所决定.,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,我们称试验E的样本空间 的子集为E的随机 事件,简称事件.一般用大写字母A,B,C等表示.随机事件的两个极端: (1)必然事件:每次试验中它总是发生. (2)不可能事件:每次试验中它总不发生.,3.随机事件,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,事件是一集合,因此,事件间的关系与运算可以 按集合之间的关系与运
16、算来处理.事件间的关系,4. 事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,4. 事件间的关系与运算,(2)事件的和,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,(3)事件的积,4. 事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,(4)事件的差(5)互不相容事件(6)对立事件,4. 事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,4. 事件间的关系与运算,事件的运算 设A,B,C为事件,则有:,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事
17、件,4. 事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,例6.2.2,4. 事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,例6.2.3,4. 事件间的关系与运算,解:,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,定义6.3.1,1. 频率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,定义6.3.2 我们把事件A的频率的稳定值定义 为A的概率,记为P(A),这一定义称为概率的统 计定义. 性质:,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,等可能概型(古典概型) 一类随机试验的特点
18、: (1)试验的样本空间中只有有限个元素. (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同. 这类随机试验我们称为等可能概型古典也称 概型 定义6.3.3,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,例6.3.1,2. 概率的定义,解:,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,例6.3.2 在100件产品中,有65件合格品,5件次 品,从中任取2件,计算: (1)2件都是合格品的概率; (2)2件都是次品的概率; (3)1件是合格品1件是次品的概率. 解:,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6
19、.3 事件的概率,例6.3.3 一只袋中装有8只球,其中5只白球,3 只红球,从袋中取球,每次随机的取一只.考虑 两种取球方式(1)一次取一只球,观察其颜色后 放回,搅匀后再取一球,这种取球方式叫放回抽 样.(2)一次取一只球不放回袋中,下一次从剩 余的球中再取一球.这种取球方式叫不放回抽 样.分别考虑上面两种情况求: (1)取到的三只球都是白球的概率. (2)取到的三只球有两白球一红球的概率.,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,解:令A,B分别表示事件“取到的三只球都是白 球”，“取到的三只球有两白球一红球”. (1)放回抽样的情况: 在袋中取3球,每次都有8
20、只球可抽取.共有 种取法,即样本空间中样本点总数有 .A中样 本点的个数有 ,B中样本点的个数为,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,(2)不放回抽样 样本空间中样本点总数 ,A中样本点个 数为 ,B中样本点个数为,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,例6.3.4 设有N件产品,其中有D件次品,现从 中任取n件,问其中恰有 件次品的概率 是多少? 解:令A为“从N件产品中取k件次品”,从N件产 品中取n件,样本空间中样本点总数为 ,A中 样本点个数为 ,于是,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,例6.3.
21、5解:,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,例6.3.6 从0,1,2,9十个数字中任取3个不同 数字,求3个数字中不含0或5的概率. 解:,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概率,对立事件的概率 如果两个互不相容事件A,B中必有一个发生, 且只有一个发生,则称A与B互为对立事件.有 以下等式成立:例6/3/7 在30件产品中,有15件一级品,15件二 级品.从中任取3件,其中至少有1件为二级品的 概率是多少?,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.3 事件的概
22、率,解:,2. 概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.4 条件概率,在“已知事件B发生”的条件下,事件A发生的概 率.记为P(A|B). 例6.4.1 将一枚硬币抛两次,设事件A为“两次 出现同一面”,事件B为“至少有一次为反面T”, 求已知事件B发生的条件下事件A发生的概率. 解:,1. 条件概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.4 条件概率,定义6.4.1例6.4.2 一盒中混有100只新旧乒乓球,各有红 白两色,分类如下表示,随机抽取一只,取得的 若是红球,求该球为新球的概率?,1. 条件概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.4 条件概率,解:设事件A为“从盒中随机取到
23、一只新球”,B 为“从盒中随机取到一只红球”例6.4.3 甲乙两市位于长江下游,根据100多年 的记录知,一年中雨天的比例,甲市为20%,乙 市为18%,两市同时下雨为12%.求,1. 条件概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.4 条件概率,(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率; (2)甲乙两市至少一市下雨的概率. 解:分别用A,B表示事件“甲市下雨”和“乙市下 雨”,由题可得,1. 条件概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,6.4 条件概率,概率的乘法公式:推广:,2. 乘法公式,返回,上一页,下一页,习题,6.4 条件概率,例6.4.4 n张彩票中有一张中奖票,(1)已知前 面k-1个
24、人没摸到中奖票,求第k个人摸到的概 率;(2)求第k个人摸到的概率. 解(1)是在条件“前面k-1个人没摸到”下的条件 概率,(2)是无条件概率,设,2. 乘法公式,返回,上一页,下一页,习题,6.4 条件概率,2. 乘法公式,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,定义6.5.1 设A,B是两事件,如果满足等式则称事件A,B相互独立. 定理6.5.1 设A,B是两事件,且P(B)0.若A,B相 互独立,则P(A|B)=P(A),反之亦然. 定理6.5.2 若事件A,B相互独立,则下列事件也 相互独立:,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,证明:只证明第一个.,返回,上一页,下一页
25、,习题,6.5 独立性,推广:,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,例6.5.1 同时抛两个均匀的正四面体一次,每 一个四面体的面分别标有1,2,3,4.令A为事件 “第一个四面体出现偶数”,B为事件“第二个四 面体出现奇数”,C为事件“两个四面体同时出 现偶数或同时出现奇数”,验证A,B,C的独立性. 解:由已知得,这是古典概型,有,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,例6.5.2 甲乙两人各进行一次射击,如果两人 击中目标的概率都是0.4,求两人都击中目标的 概率. 解:设A表示事件“甲射击一次,击中目标”,B表示事件“乙射击一次
26、,击中目标”.所以,所求事件是AB,根据题意,A与B相互独立.,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,例6.5.3 有一名射手,平均每射5发子弹能命中 4发子弹,求: (1)连射n发子弹都未命中的概率; (2)要使至少能命中1发子弹的概率达到0.99以 上,需要射多少发子弹. 解,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,(2)设要使至少能命中1发子弹的概率达到0.99以 上,需要射n发子弹,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,例6.5.4 在一个系统中元件能正常工作的概率 称为元件的可靠度.如图,有4个独立工作的元 件构成一个串并联系统,且每个元件的可靠度 为s,求此系统的可
27、靠度. 解:,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,返回,上一页,下一页,习题,6.5 独立性,例6.5.5 3个人独立破译一组密码,他们能译出 的概率分别是1/2,1/3,1/6.求将此密码译出的 概率. 解:,返回,上一页,下一页,习题,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,我们把只出现两种结果 的随机试验称为 贝努里实验或贝努里模型. 将一贝努里实验E在相同条件下独立重复n次, 每次结果A出现的概率P保持不变,我们把这样 的n次独立重复试验称为n重贝努里实验. 例6.6.1 某射击手射击一次击中目标的概率是 0.6,问射击4次击中3次的概率.,返回,上一页,下一页,习题,6.
28、6贝努里(Bernoulli)实验模型,解:,返回,上一页,下一页,习题,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,定理6.6.1 在n重贝努里实验中,事件A在n次试 验中发生k次的概率为,返回,上一页,下一页,习题,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,例6.6.2 一批产品的废品率为0.2,有放回的取4 件,求恰好取的2件废品的概率. 解:每次的结果是相互独立的,有放回的取4件, 相当于4重贝努里实验,返回,上一页,下一页,习题,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,例6.6.3 一部自动化机器,在一个周期内生产 10个零件,任意一个零件成为废品的概率为 0.02,要至少产生
29、出一件废品的概率不小于0.6 ,需要几个周期? 解:设要n个周期,在n个周期生产10n个零件是 相互独立的.用A表示“在10n个零件中至少有 一件废品”,用 表示“在10n个零件中全部合 格”,返回,上一页,下一页,习题,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,即至少需要46个周期,返回,上一页,下一页,习题,第六章 排列组合与概率论初步,习题6.1(P145) 1、2、3、4 习题6.2(P149) 1、2、3 习题6.3(P154) 1、2、3、4、5、6、7 习题6.4(P156) 1、2、3、4、5 习题6.5(P159) 1、2、3、4、5、6 习题6.6(P160) 1、2、3、4、5,习题:6.1-6.6,返回,上一页,下一页,退出,
