2008IMO中国国家集训队平面几何练习题.doc

1、第 1 页 共 18 页2008IMO 中国国家集训队平面几何练习题1一圆 切于两条平行线 ，第二个圆 切 于 ，外切 于 ，第三个圆O12,l1OAlOAC切 于 ，外切 于 ，外切 于 ， 交 于 ，求证 是 的2AlBAD1EDBQDE外心。 （35 届 IMO 预选题）证明 由 ，知 ，从而有 ，即1AO2B12 AEBO12AEBO三点共线。同理由 ，可得 三点共线。又因为,AEBF,DF，所以 四点共圆，2118080DE,DF，即点 在 与 的根轴上。又因为 在 与 的根轴上，B1OAC1OA所以 是 与 的根轴。同理 是 与 的根轴，因此 为根心，且有BC1AD2AQ，即 是

2、的外心。QDEQCE2非等腰 的内切圆圆心为 ，其与 分别相切于点 ，I,BC1,ABC分别交圆于 ， 中 的角平分线分别交1,AB2,AB1A11,于点 ，证明（1） 是 的角平分线；（2）如果 是C323 ,PQ和 的两个外接圆的交点，则点 在直线 上。 （01 年保加利亚）1232 I P证明 （1）因为 ， ，所以有12AC112AB1，从而有 ，即 是 的角平12211CABA 3121B2312C第 2 页 共 18 页分线。（2）设 的外心为 ，连 ，则 。由于123AO21,IAO12IA13212313121211290CCCBCA，所以 ，于是有3 28090AOIAAIO

3、，即 与 相切于 。同理 与 的外接圆相切于 ，从而290I222I123B在 与 的外接圆的根轴上，即 三点共线。13B ,PQ3已知圆 外一点 ，由 向圆 引两条切线，切点分别为 ，过点 作直线，OXO,AX与圆 交于两点 ，且满足 ，若 交于点 ， 交于点 ，,CDAB,CDFCBG与 的中垂线交于点 ，证明 四点共圆。 （05 年日本）BGH,FG第 3 页 共 18 页证明 因为 是调和点列，且 ，所以 在关于点 的阿波,XDGC90CFDF,XG罗尼斯圆上。连 ，有 。设 的外接圆与 交于点 ，FXGBH则有 ，即 在 的中垂线上，从而有 ，因此 四点共圆。H H,4若 到 的三个

4、顶点 的距离的比都是 ，且 互不相 ,PQABC ,ABC :lmn,l等，则直线 过 的外接圆的一条直径 。若设 的外接圆圆心为 ，则DEABCO。2ODA证明 法一：由于 到 的距离之比为 ，则 在阿波罗尼斯圆 上， ,PQ,AC :ln PQGA其中 与 的交点为 ，且 为调和点列。设 与 交于点 ，则AGKL, OAF，因此 与 相切于点 ，于是 也与 相切于点 。2CFGOF第 4 页 共 18 页同理，由于 到 的距离之比为 ，则 在阿波罗尼斯圆 上，设 与 ,PQ,BC :mn PQMAO交于点 ，于是 与 相切于点 。因为 ，所以 在 与MAHOMAHOFG的根轴上，从而有 三

5、点共线。设 与 交于点 ，则, A,DE，即 为调和点列。2ODFP,DE法二 由于 ，则 的外接圆就是关于点 的阿波罗尼斯圆，ABCQB ,PQ从而 在直线 上，且有 。 2OA5已知圆心分别为 的圆 外切于点 ，并内切于圆 ，切点分别为 ，12,12,D,EF过点 作 的公切线 。设圆 的直径 垂直于 ，使得 在 的同侧，证明D12,lBl1,AEOl三线交于一点。 （第 47 届 IMO 预选题）,AOBEF证明 设 的中点为 ， 为圆 与圆 的位似中心，由于半径 分别垂ABOE1 1,OBD直于 ，所以 ，且有 三点共线。同理 三点共线。l1D,B,FDA设 交于点 ，由于 ，所以 是

6、 的垂心，于是,EFC,FCC，这表明 在直线 上。CDABl设 与直线 交于点 ，下面证明点 在直线 上。设 与圆 的第二个交点lP1O1为 ，则 是圆 的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证 三点共线，只要证N1,AP。因为 ，所以只要证 。设 与 交于点 ，1OADPC1NODCNDlBK第 5 页 共 18 页则 ，从而只要证 ，即证 是调和点列。连 交 于点CAKNDCPKD,PKAPBC，则 是调和点列，因此有 是调和点列。X,FB,6设 是梯形， ，在其两腰 上分别存在点 ，使得 A ,ABC ,Q，证明点 到梯形两对角线的交点的距离相等。 ,APCQ,PQ（20 届全俄）证明 设

7、 与 的外接圆交于点 ，则有D1，所以点 在 上。又1180180180BDBA1Q BC因为 ，所以 。设 与 的外接圆 CQDPABQP半径分别为 ， ，则 ，因此 与 的交点 是12,R1122sinRC DO的外接圆与 的外接圆的位似中心，设 与 的外接圆的圆心APBCPDAPBCD分别为 ，则 在 上，且 是 的中垂线，于是有 。12,O1212OQOQ7圆 均与圆 外切，切点分别为 ，并且它们还分别与 的两3SS1, AB条边相切，证明 三线共点。 （20 届全俄）11,AB第 6 页 共 18 页证明 设 的内切圆的圆心为 ，半径为 ， 的半径分别为ABCIR123,SSAA，则

8、 。设 为 上的一点，且满足123,r11, rrHAHRIS PI，则 ，从而有 在一条直线上。同理 与PSIR,rP A1, 1,BP均三点共线，即 三线共点。1,C11,BC8给定一个半圆周，其直径为 ，圆心为 ，一直线与半圆周相交于点 ，且 AO,CD与 的延长线交于点 ，其中 。设 的外接圆 ABM,DMC ,ABO的第二个交点为 ，证明 是直角。 （21 届全俄）12,OK证明 法一 连 交 于点 ， 交 于点 ，因为 1OAP2OAQ12,OKPQ，且 在 上，所以只要证 三点共线。由于 是 的直径，因此12OKPQ,QMPA与 相切。同理 也均与 相切。过 作 的平行线，与 的

9、延A,CBDDC长线交于点 ，则 ，所以 ，即 与EEPCE第 7 页 共 18 页均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即 三点QBD ,PQM共线。法二 设 交于点 ， 交于点 ，则 为 的垂心。连 ，,ACN,ADBCHNABH分别交 于点 ，则 及 为调和点列，所以 是 关于,BXY,Y的极线，于是 。同理 ，且 是 的垂心。由蒙日定理得OAMHO过点 ，于是有 。设 与 交于点 ，则KNK T，所以 四点共圆， ，于HTCA, 90HKOT是有 三点共线。,法三 延长 至 ，则OS90SDM四点共圆90,DBKMDA。因为 关于 对称，所以有AC,PO18180B

10、CBKBOCAB。KAKAK9设点 是凸四边形 的对角线的交点，过 的重心与 的重心引O DD一条直线，过 的垂心与 的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。 （6C届全苏）证明 设 的重心分别为 ，则四边形,AOBCDAO ,KLMN是平行四边形，并满足 分别平行于 ， ，KLMN KLN ,CB=3ABD从而有 。设 的垂心分别为 ，则D, ,均三点共线，且四边形 是平行四边形，,;,;, ;ACBM KLN并满足 分别垂直于 。设 ，不妨假设 ，则 KLN ,ACD OB90第 8 页 共 18 页，所以有 ，即 。同理 90OBL cos 90cosKLAC cotKLAC，于是有

11、。因此平行四边形 与 相cotKND NBD MN 似，若把其中的一个平行四边形旋转 ，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有 。 ,ML10已知四边形 是等腰梯形，ADBC，把 绕点 旋转某一角度得到ACABC，证明线段 的中点在同一条直线上。 （23 届全苏）ABC,B证明 将 平移 得 ，则 的中点经位似变换DEFG,D变为 。连 交 于 ，由于 ，因此有,2HD ,EGAKBA，从而EAF。11190908222EFGCBA因为直角梯形 的腰 的中点到两个直角顶点的距离相等，所以 ，EDE即 在以 为圆心，以 为半径的圆上，从而有 ，于是可得,ACAA三点共线。 G

12、11已知 为 内一点，由 分别向 作垂线，垂足分别为MABCM,BCA。由 分别向 作垂线，证明这三条垂线交于一点 。若,AB , M的外心为 ，则 三点共线，且 是线段 的中点。OO第 9 页 共 18 页证明 法一 连 ，并延长至 ，使得 是线段 的中点。设 的中点为MOOMA，则 为由 所确定的四边形的外接圆的圆心，因此 。又因为O,ACB OBC ，所以有 。同理可得 。,BCA法二 分别延长 至 ，使得 分别是,ADEF,A的中垂线，所以 ，即 是 的外心。同理， 分,MDEFEM,BC别是 的外心。由于由 分别向 作的垂线就是由, ,BC,分别向 作的垂线，因此也就是 的中垂线，而

13、 ,ABC,DEFD的中垂线交于一点，且就是 的外心，即点 。又因为 是EFM与 的位似中心，且位似比为 ，所以 三点共线，且 是线段2,O的中点。M12已知 分别是 的边 上的点， 相交于点 ，证明,PQABC,BPCQD和 的内切圆外切的充分必要条件是四边形 有内切圆。 （99 年保加利ABD A亚）第 10 页 共 18 页证明 充分性：由 和 的内切圆外切，可得 。作ABDCDBCA的内切圆，过 作该圆的切线 ，交 于 。由于 ，ACQMQ11因此有 ，即 。1DB1必要性：设 和 的内切圆与 分别切于点 ，因为AA1,N，所以有 。C1DN13已知单位面积的凸四边形 及其内一点 ，证

14、明这 5 个点构成的三角形中BCP必有一个的面积不超过 ，并证明这个上界是最小的。2证明 假设两条对角线交于点 ，不妨假设 点在 中。假设OOBC的面积分别为 ， 分别为,PACBDPA1234,S,PAD， ，因为abcd,CDsinsincoscscoscos2，1coini2 所以有 。若 均大于 ，则1234PABCDSS1234,S21，3434PABCDPABCDS矛盾。第 11 页 共 18 页当等腰梯形 满足 平行于 ， ，高为 ， 在对ABCDBC21,ADBC2P称轴上，且到 的距离为 1。此时 ，1PPDSS，所以 是最小的。2PABCDS214已知 的重心为 ， 证明

15、分别关于 的角平分G1,ABCG,ABC线对称的三条直线交于一点 ； 若 在三条边 上的投影分别为 ，P2, ,DEF证明 为 的重心。PEFA证明 设 的三条中线分别为 ， 关于1A,LMN,G的角平分线对称的三条直线分别与 交于点 ，设,BC,BCA1， ，则aAbc。同理可得11211 11ABLCSLLcAb。由塞瓦定理，可得 ，于是有2211;CMNabAca1BCMAN，由塞瓦定理的逆定理可得 交于一点。11BL 11,AL第 12 页 共 18 页注 用塞瓦定理的三角表示（角元塞瓦定理）更容易得到。设 与 交于点 ， ，由正弦定理可得2DPEFKCAL，由于 均四点共圆，sins

16、inLCBA,;,;,EPFBDCPE所以 ，由正, ,FEPEFPAK弦定理得 ，sinsinsinsiK KA 于是 是 的中点，进而可得 是 的重心。KDA15已知 的边 上有两个点 ，证明 与 的内切圆半径相等ABC,PQCBQ的充分必要条件是 与 的内切圆半径相等。Q证明 先证明一个引理：设 的边 上的高为 ，内切圆半径为 r, 则ABh。2tant2hr设 的内心为 ，作 的平行线 与圆 相切，且分别与 交于点ABCICDEI,ABC，则,DE第 13 页 共 18 页。cotcottant2222tant2coBDECBCrrhr BCC 设 的内切圆半径分别为 ，则,APCBQ

17、PC1234,r1212 tanttant2hrAPCBQCr。3434tant 2hrABr16已知圆内接五边形 满足 的内切圆半径等于 的内切圆半径， CDEAED的内切圆半径等于 的内切圆半径，证明 。 （98 年保加利亚）ABD证明 设 的内切圆半径分别为 ，外接圆半径,ABCEDAC1234,r为为 ，不含其它顶点的弧 分别为 ，则有R ,E,abcde第 14 页 共 18 页， 12 coscoscoscosrabaedeR。34 sred ab两式相减得 ，从而有 ，cscsbcco22bd舍去一种情况后可得 。代入第一个式子得 ，bossae类似地可得 。因此有 。aeABC

18、ED17已知凸四边形 ， 交于点 ， 交于点 ， 为四边形 , P,ABCQO内一点，且有 ，证明 。 （05 年保加利 ABCDOPQ180OD亚 BMO 选拔）证明 设 ，则 ， BOPDQsinsin ,AODQQOD从而有 。类似地，有 ，因此有sinAisBP。同理，由isBPOQD，可得sinin ,CBQO，因此有si i,snCDBPCDOAA。设 与 交于点 ，由梅涅劳斯定理，insQPDB QL第 15 页 共 18 页，于是有 。积1,1AQDPCLBPALCsinsin1AODCB化和差并化简后得 ，于是可得cos2=co2OD（其中另一种情况不存在） ，从而有O。 1

19、80AB18 为 的中点，在 的同侧作全等的四边形 ，使它们都有内GA ,ABCDEFG切圆，圆心分别为 ，证明 三线共点。 （30 届加拿大训练题）,I,OCEGI证明 作位似变化 ，则有 ，于是,2 HABCDMNG ,2 HGFEDNMA 是 的中点， 是 的中点。设 交于点 ，由 ，且 CANEG,OIK1O，可得 是四边形 的内切圆的圆心。由牛顿定理，可得 三点共线。GK ,C19已知圆 按顺时针的顺序内切于圆 ，设圆 的1234,O14ijij外公切线长为 ，证明依次以 为边长，以 为对角线构成的凸四边形是圆ijl12341,ll1324,l内接四边形。证明 设圆 的半径分别为 ，

20、圆 与圆 的切1234, 1234,Rr1234,O点分别为 ， ，ABCD23,OabOcd， ，因为 ，所1223,O341412Rarb以有第 16 页 共 18 页，即2 2222 211cos1cos4sinlOrababab。同理可得 的表达式。由托勒密定理的逆定理知，只要2sinab2341324,ll证 。代入 的表达式，只要证13421324llij，即 。sinsinsiin222 ABCDACBD20设 是 内一点， 分别是 的外心，证明MABC,DEF,M，并确定等号成立的条件。DEFS第 17 页 共 18 页证明 设 与 分别交于点 ， 的外心为 ，,MABC,EF

21、D1,ABCDEFO外接圆半径为 ， 。因为 在圆 的内部，由欧拉关于垂足三角形的面积公式，ROdO有 。等号成立当且仅当12244ABCBDEFDEFRdSSS ，即 为 的外心。此时有 为 的垂心，且 是锐角三角形。0dMABCABC21 直角 中， 是斜边 的中点， ， 交 于点 ， POM的延长线交 于点 ，证明 。 （07 年第四届东南地区数学奥林匹PO克）证明 作 的外接圆 ，延长 ，与圆 交于点 ，连 ，并与 的延长ABCEDAP线交于点 。因为 ，所以只要证 。又因为 是 的NEDBB中点，因此只要证 。M设 是以 为圆心， 为直径的半圆上的任意两点，过点 作圆 的切线，2,A

22、BO交直线 于点 ，直线 与直线 分别交于点 ，证明 。 （07DPO,C,MN年第四届东南地区数学奥林匹克）统一证明 过 作 的垂线，与直线 交于点 ，则 是 的中点。于是这两ABPOQP个问题都等价于：已知过圆 的圆心 的直线上的两个点 满足 ，过 作圆 的割线O,O，过 作圆 的切线 ，若 与直线 分别交于点 ，证明PCDQPCAD,MN。MN实际上这个问题还可以更一般化：设一条直线 与一条二次曲线交于点 ， 的l ,ST第 18 页 共 18 页中点为 ， 为 上的两个点，且满足 ，过 作圆 的割线 ，过 作O,PQlOPQOPCDQ圆 的割线 ，若 与直线 分别交于点 ，证明 。EF,CDl,MN证明 以 为坐标原点， 为 轴建立平面直角坐标系，二次曲线的方程设为x。当 时得 ，该二次方程的两个解220axbycdxeyfy20adxf就是点 的横坐标。因为 的中点为 ，所以 ，即二次曲线的方程化为,STSTO。设 ，则 ， 的方程为22xycef,0PpQPCDEF，因此过 的二次曲线系为120kpkx。特别地，当 取某个特2 12axbycefykxykxp 殊值时，该方程就是两条直线 的方程。当 时得,CEDF0，该二次方程的两个解就是点 的横坐标。由于二次方2210xfkxp,MN程没有一次项，所以 的横坐标的和为 ，从而有 。,MNO