1、函数（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。 4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的
2、问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3知道对数函数是一类重要的函数模型.4了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ） 。（四）幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数 的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用来源:学科网1了解指数
3、函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。定义 定 义 域 区 间对 应 法 则值 域 一 元 二 次 函 数一 元 二 次 不 等 式映射函数 性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性 指数函数 根 式 分 数 指 数指 数 函 数 的 图 像 和 性 质 指 数 方 程对 数 方 程反函数 互 为 反 函 数 的函 数 图 像 关 系 对数函数 对 数 对 数 的 性 质积 、 商 、 幂 与根 的 对
4、 数对 数 恒 等 式和 不 等 式常 用 对 数自 然 对 数对 数 函 数 的 图 像 和 性 质函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论
5、的基本数学思想.函数概念（一）知识梳理1映射的概念设 BA、 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的任意元素，在集合 B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A到 B的映射，通常记为 f: ， f 表示对应法则注意：A 中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1)函数的定义：设 B、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的每一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A到 B的一个函数，通常记为 Afy),(2)函数的定义域、值域在函数 Axfy),(中， 叫做自变量
6、， x的取值范围 叫做 )(xf的定义域；与 x的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合 xf)(称为函数 )(xfy的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1 （1） ， ， ；AR|0By:|fxy（2） ， ， ；*|2,xN|,N2:fxyx（3） ， ， |0
7、|yR:fxy上述三个对应 是 到 的映射AB例 2若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到4,31,cba,ABBAA的函数有 个B例 3设集合 ， ，如果从 到 的映射 满足条件：对 中的每个元素,0M2,10,NMNfM与它在 中的象 的和都为奇数，则映射 的个数是（ ）xN()fxf8个 12个 16个 18个()A()B()C()D答案：1.（2） ；281,64,81；3. D考点 2：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2)(xf， 3)(xg；（2） f， ;01,（3） 12)(nxf， 12)()nxg（ nN
8、*） ；（4） ， ；（5） 12)(xf， 12)(tt答案（1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数） ，则用待定系数法；（2）若已知复合函数 )(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 )(xf题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 1已知二次函数 )(xf满足 564)12(2xf ，求 )(xf（三种方法）例 2 （09 湖北改编）已知 f= 2，则 )(f的解析式可取为 题型 2：求抽象函数解析式 例 1已知函数 )(
9、xf满足 xff3)1(，求 )(f考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为 0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于 0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例 1.（08 年湖北）函数 )(xf )4323ln(122xx的定义域为( )
10、A. ,2)4,(;B. ),0,4；C. 1,0(),4;D. 1,0,答案： D题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域例 1 （2007湖北）设 xxf2lg，则 xff2的定义域为（ ）A. 4,0,； B. 4,1,； C. ,1,； D. 4,2,答案：B.例 2已知函数 )(xfy的定义域为 ba， ，求 )2(xfy的定义域例 3已知 2的定义域是 ， ，求函数 的定义域例 4已知 的定义域是（-2，0） ，求 的定义域(-30）的函数，m3a22 a+1.解之，得 00 时，抛物线开口向上，函数在 上单调递减，在 上单调递增， 时，2,(ab),x；abcxf4)(2min（2
11、）a0) ，(1)x1,x2,则0)(/afb0)(/afb(3) (0(0(0(1时， 1aff综上所述：a= - 1 或 a=2例 2已知 y=f(x)=x2-2x+3,当 xt,t+1时，求函数的最大值和最小值。答案： 32,minmax tytyt时 1i2时 ,0minmaxytyt时 232itt时例 3已知函数 的最大值为 ，求 的值 1sin4ayxa分析：令 ，问题就转二次函数的区间最值问题it解：令 ， ，s1,t ，对称轴为 ，2()(2)4ayt2at（1）当 ，即 时， ，得 或 （舍去） 12a2a2max1()4y2a3（2）当 ，即 时，函数 在 单调递增，)t
12、 1,由 ，得 max4y03（3）当 ，即 时，函数 在 单调递减，122a21()(2)4ayt,由 ，得 （舍去） maxy综上可得： 的值为 或 103考点 3一元二次方程根的分布及取值范围例 1已知关于 x的二次方程 x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求 m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求 m的范围。思 维 分 析 ： 一 般 需 从 三 个 方 面 考 虑 判 别 式 区 间 端 点 函 数 值 的 正 负 对 称 轴 与 区 间 相 对 位 置 。abx2解：设 f(x)=x2+2mx+2m+1
13、(1)由题意画出示意图 16506)1(2mmff（2） 21210)(mf练习：方程 在（- 1，1）上有实根，求 k的取值范围。kx23宜采用函数思想，求 的值域。 )1(23)(xf )25,169【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例 2 已知函数 与非负 轴至少有一个交点，求 的取值范围22()()fxaxxa解法一：由题知关于 的方程 至少有一个非负实根，设根为10a12,x-10yx0y则 或 ，得 120x120x924a解法二
14、：由题知 或 ，得 ()f()102f924a指数与指数函数（一）知识梳理1指数运算； ； ； ； ；mna1mna0rsrsa(0,)asQ、 (rsra(0,)sQ、()rsb(,)rsQ、2.指数函数： （ ） ，定义域 R，值域为（ ）.当 ，指数函数： 在定xay0,1,01axay义域上为增函数；当 ，指数函数： 在定义域上为减函数.当 时， 的 值xay越大，越靠近 轴；当 时，则相反.（二）考点分析例 1已知下列不等式，比较 ， 的大小：（1） (2)mn2mn0.2.mn变式 1：设 ，那么 （ ）()2baA.a a b B.a b aaC.a a b D.a b a例 2
15、函数 在0，1 上的最大值与最小值的和为 3，则 的值为（ ）xyA B.2 C.4 D.114例 3已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称，记)(xf xay01axy若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）1)2()(fxfxg )(xgy2,1aA B C D ,2,0)21,0(对数与对数函数（一）知识梳理1对数运算：； ； ；log()loglaaaMNNlogllogaaaMNllognaaM； ； ；llnaaloga llba换 底 公 式 ： ll1abca推 论 ：2对数函数：如果 （ ）的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以 为底的 的对数，记作0
16、,1bNbN（ ，负数和零没有对数） ；其中 叫底数， 叫真数.bNalog,aa当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.1xylogx01（二）考点分析例 1已知函数 ， ，且()l(1)af(log()a)a（1） 求函数 定义域xg（2） 判断函数 的奇偶性，并说明理由.()f例 2已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 314,()logaxfx(,)aA. B. C. D.0,10,),)731,7例 3若 ，且 ，求实数 的取值范围.log(4a1a变式 1：若 ，则 的取值范围是 （ ）0l2aA B C D),2(),1()1,2()21,0(幂函数（一）知识梳理
17、1、幂函数的概念一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数yx()Rx2、幂函数的图像及性质 2yx3y12y1yx定义域 R R R |0x|0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数 的图像在第一象限的分布规律是：yx(,)R是 常 数所有幂函数 的图像都过点 ；是 常 数 (1,)当 时函数 的图像都过原点 ；0yx(0,)当 时， 的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 ） ；1 2c当 时， 的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如 ）2,3yx 1当 时， 的的图像在第一象限是
18、“凸型”曲线（如 ）3c当 时， 的的图像不过原点 ，且在第一象限是“下滑”曲线（如 ）1yx(0,) 4c3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当 时，幂函数 有下列性质：0（1）图象都通过点 ， ；(,0)1,（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内， 时，图象是向下凸的； 时，图象是向上凸的；10（4）在第一象限内，过点 后，图象向右上方无限伸展。(,)当 时，幂函数 有下列性质：0yx（1）图象都通过点 ；(1,)（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近；向右无限地与 轴无限地接近；yx（4）在第一象限内，过点 后， 越大，图象下
19、落的速度越快。(,)无论 取任何实数，幂函数 的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。x（二）考点分析考点 1：利用幂函数的单调性比较大小例 1已知 ，试比较 的大小；01,0.2例 2已知点 在幂函数 的图象上，点 ，在幂函数 的图象上(2)()fx124()gx问当 x 为何值时有：（） ；（） ；（） ()fg()fx()fgx函数图象（一）知识梳理1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）
20、 ；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j要把表列在关键处，要把线连在恰当处 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数 ()yfxa的图
21、像可以把函数 ()yfx的图像沿 轴方向向左 (0)a或向右(0)a平移 |个单位即可得到；1）y=f( x)h左 移y=f(x+h)；2）y= f(x) h右 移y=f(xh)；、竖直平移：函数 a的图像可以把函数 ()yfx的图像沿 轴方向向上 (0)a或向下(0)a平移 |个单位即可得到；1）y=f( x) h上 移y=f(x)+h；2）y= f(x) h下 移y=f(x)h 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j。对称变换：、函数 )f的图像可以将函数 f的图像关于 y轴对称即可得到；y=f(x) 轴y=f(x)、函数 ()yfx的图像可以将函数 ()yfx的图像关于 x轴对
22、称即可得到；y=f(x) 轴y= f(x)、函数 ()yfx的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原 点y= f(x)、函数 )(yfx的图像可以将函数 的图像关于直线 对称得到。y=f(x) xy直 线x=f(y)、函数 )2(xafy的图像可以将函数 的图像关于直线 ax对称即可得到；y=f(x) a直 线y=f(2ax)。翻折变换：、函数 |(|f的图像可以将函数 ()yfx的图像的 轴下方部分沿 x轴翻折到 轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留 )yfx的 轴上方部分即可得到； y=f(x) cbaoy xy=|f(x)| cbaoy x、函数 (|)yfx的图像可
23、以将函数 ()yf的图像右边沿 y轴翻折到 轴左边替代原 y轴左边部分并保留 )f在 轴右边部分即可得到 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j y=f(x) cbaoy xy=f(|x|) cbaoyx伸缩变换：、函数 ()yafx0的图像可以将函数 ()yf的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (1)a或压缩（ 01）为原来的 倍得到；y=f(x)ay=af(x)、函数 ()yfax0的图像可以将函数 ()yfx的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（ 1）为原来的 a倍得到。f(x) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =f(x)ay=f( )（3）识
24、图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析例 1 （08 江苏理 14）设函数 3()1()fxaxR，若对于任意的 1,x都有 0)(xf成立，则实数 a的值为 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若 x0，则不论 a取何值， f0 显然成立；当 x0 即1,x时， 3fx0 可化为， 23设 23g，则 412xg， 所以 gx 在区间 10,上单调递增，在区间 1,2上单调递减，因此 max1，从而 a4；当 x0 即 ,时， 31fx0 可化为 a231x， 412xg0g在区间 1,0上单调递增，因此 ma4ngx，从而 a4，综上 4【答案】4点评：该题属于实际
25、应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；例 2 （ 2009 广 东 卷 理 ） 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 v乙甲 和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01t和 ，下列判断中一定正确的是（ ）A. 在 1t时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在 0t时刻，两车的位置相同D. 时刻后，乙车在甲车前面答案 A解析 由图像可知，曲线 甲v比 乙 在 0 t、0 1t与 x轴所围成图形面积大，则在 0t、
26、1时刻，甲车均在乙车前面，选 A. （2）. (2009 山东卷理)函数xey的图像大致为 ( ).答案 A解析 函数有意义,需使 0xe,其定义域为 0|x,排除 C,D,又因为221xxxeye,所以当 0x时函数为减函数,故选 A .【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.例 3已知函数 )(Rxfy满足 )1()(xff，且当 1,x时， 2)(xf，则 )(xfy与xy5log的图象的交点个数为 （ ） A、2 B、3 C、4 D、5解析：由 )1()(xff知函数
27、)(xfy的周期为 2，作出其图象如右，当 x=5 时，f(x)=1,log 5x=1;当 x5 时，f(x)=10，1，log5x1, )(xfy与 x5log的图象不再 有交点，故选 C巩固设奇函数 f(x)的定义域为 R，且对任意实数 x 满足 f(x+1)= -f(x)，若当 x0,1时，f(x)=2 x-1,则 f(6log21)= .例 4 （2009 江西卷文）如图所示，一质点 (,)Py在 O平面上沿曲线运动，yxO 1-1151x y 1O A xyO11B xyO1 1 C x y 1 1 D O速度大小不 变，其在 x轴上的投影点 (,0)Qx的运动速度 ()Vt的图象大
28、致为 ( )A B C D答案 B解析 由图可知，当质点 (,)Pxy在两个封闭曲线上运动时，投影点 (,0)Qx的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A错误；质点 在终点的速度是由大到小接近 0，故 D错误；质点 (,)Pxy在开始时沿直线运动，故投影点 (,0)Qx的速度为常数，因此 C是错误的，故选 B.题型 3：函数的图象变换例 5 （2008 全国文，21）21 （本小题满分 12 分）设 aR，函数 23)(xaxf（）若 2是函数 )(fy的极值点，求 a的值；（）若函数 ()02gxx， ， ，在 x处取得最大值，求 a的取值范围解：（） 2()36()faa因为 x
29、是函数 )yfx的极值点，所以 (2)0f，即 6(2)0a，因此 1a经验证，当 1时， 2是函数 yx的极值点 4 分（）由题设， 322()6(3)()gxaax当 ()x在区间 0， 上的最大值为 (0)g时，2g，即 24 故得 65a 9 分反之，当 时，对任意 0x， ，OttO)VttO()VttO()Vtt26()(3)(2)5gxx 23(10)5x3(25)x0 ，而 0，故 g在区间 0， 上的最大值为 g综上， a的取值范围为 65， 12 分点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。例 6 （2009 四川卷文）已知函数 )(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶
30、函数，且对任意实数 x都有)(1)(fxxf，则 25的值是 ( )A. 0 B. 1 C. 1 D. 25答案 A解析 若 x0，则有 )()(xfxf，取 ，则有：)21()()21()12() fffff （ )(xf是偶函数，则)(ff）由此得 0)(f于是 0)21(5)(2135)()23(5)(231)()25 fffffff题型 4：函数图象应用例 7函数 ()yfx与 ()g的图像如下图：则函数 ()yfxg的图像可能是（ ） y=f(x)oy xy=g(x)oy x oyxoyxoy xoy xAB C D解析：函数 ()yfxg的定义域是函数 ()yfx与 ()g的定义域
31、的交集 (,0)(,)，图像不经过坐标原点，故可以排除 C、D。由于当 x 为很小的正数时 ()0f且 ()x，故 ()0f。选 A。 点评：明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负” 。例 8已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图， 求 b 的范围。解法一：观察 f(x)的图象，可知函数 f(x)的图象 过原点，即 f(0)=0,得d=0，又 f(x)的图象过(1，0)，f(x)=a+b+ c 又有 f(1) 0 ，即a+bc0 +得 b0，故 b 的范围是( ，0)解法二：如图 f(0)=0 有三根 0，1，2，f(x)=ax 3+
32、bx2+cx+d=ax(x1)(x2)=ax 33ax 2+2ax，b=3a，当 x2 时，f(x )0，从而有 a0，b0。点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。题型 5：函数图像变换的应用例 9已知 10a，方程 |log|xax的实根个数为（ ）A2 B3 C4 D2 或 3 或 4根据函数与方程的关系，知方程 |l|ax的根的个数即为函数 |xay与函数 |log|xya的图像交点的个数该题通过作图很可能选错答案为 A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当 10ea时，图像的交点个数为 3 个；当 16a时，图像的
33、交点个数为4 个；当 21a时，图像的交点个数为 2 个。选项为 D。点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题” ，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。例 10设 2()|fx，若 0ab，且 ()fab，则 a的取值范围是（ ）A (0,)B (,C (0,4D (0,2)解析：保留函数 2xy在 x 轴上方的图像，将其在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方区即可得到函数2()|fx的图像通过观察图像，可知 ()fx在区间 (,2上是减函数，在区间 2,0上是增函数，由 0ab，且21oy x()fab可知 20ab，所以 2()f
34、a， 2()fb，从而 22ab，即 24a，又2|4，所以 。选项为 A。点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数 2xy的图像和性质，进而得到 2()|fx的图像和性质。2.10 函数与方程（一）知识梳理1函数零点概念：对于函数 )(Dxfy，把使 0)(xf成立的实数 x叫做函数 )(Dxfy的零点。函数零点的意义：函数 的零点就是方程 f实数根，亦即函数 的图象与 x轴交点的横坐标。即：方程 0)(xf有实数根 函数 )(xy的图象与 轴有交点 函数 )(fy有零点。零点存在性定理：如果函数 )(xfy在区间 ,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)
35、(bfa，那么函数 )(xfy在区间 ),(ba内有零点。既存在 )(c，使得 0)(cf，这个 c也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 )(af bf0的函数 )(xfy，通过不断地把函数 )(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 )(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间 a， b，验证 a bf0，给定精度 ；（2）求区间 (， )的中点 1x；（3）计算 1xf：若 )(= 0，则 就是函数的零点；若 af 1xf ，则令 b= 1x（此时零点 ),(10xa）
36、 ；若 )(1 ，则令 a= （此时零点 b） ；（4）判断是否达到精度 ；即若 |ba，则得到零点零点值 a（或 b） ；否则重复步骤 24。（二）考点分析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设 a 为常数，试讨论方程 )lg()3l()1lg(xa的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx 与 y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标 0x，显然在区间(1，3)内，由此可排除 A，D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j至于选 B 还是选 C
37、，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较 0与 2的大小。当 x=2 时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此 0x2，从而判定 0x(2，3)，故本题应选 C。（2）原方程等价于 xaxa)3(1即 3152xa构造函数 )31(2xy和 ay，作 出它们的图像，易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：当 a或 4时，原方程有一解；当 13时，原方程有两解；当 或 时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要
38、计算 0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例 4若函数 )(xfy在区间a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A若 0，不存在实数 ),(bac使得 0)(cf；B若 )(f，存在且只存在一个实数 ,使得 )(f；x0321321oyxXY 2 3 423 瑨 灴 眯睷 愮敬 瑮浵 挮浯 愯牧 灡 敨 O 5xayC若 0)(bfa，有可能存在实数 ),(bac使得 0)(cf； D若 ，有可能不存在实数 使得 ；解析：由零点存在性定理可知选项 D不正确；对于选项 B，可通过反例“ )1()(xxf在区间2,上满足 0)2(f，但其存在三个解 1,0”推翻；同时
39、选项 A 可通过反例“1)(xf在区间 ,上满足 )2(f，但其存在两个解 1,”；选项 D正确，见实例“2在区间 上满足 )(f，但其不存在实数解” 1.（2009 福建卷文）若函数 x的零点与 4xg的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则 fx可以是A. 41fx B. 2(1)f C. xfe D. fxIn答案 A解析 41fx的零点为 x= 41, 2(1)fx的零点为 x=1, 1xfe的零点为 x=0, 2fxIn的零点为 x= 23.现在我们来估算 4xg的零点，因为 g(0)= -1,g( 2)=1,所以g(x)的零点 x(0, 1),又函数 fx的零点与 2x的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有4f的零点适合，故选 A。
