1、相似三角形一、知识概述(一)相似三角形1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形温馨提示：当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个) 三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个( 或几个) 三角形叫做相似三角形，即定义中的 两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛2、相似三角形对应边的比叫做相似比温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如ABCAB
2、C 的对应边的比，即相似比为 k，则ABCABC 的相似比 ，当且仅当它们全等时，才有 k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似温馨提示：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABC ADE ；这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理它不但本身有着广泛的
3、应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似温馨提示：有平行线时，用上节学习的预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角 )时，可考虑利用判定定理（ 1）或判定定理（2）；已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须是
4、成比例两边的夹角对应相等2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似温馨提示：由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定理 3 判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛如图，可简单记为：在 RtABC 中，CDAB，则 ABCCBDACD(三) 三角形的重心1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、重点难点疑点突破1、
5、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边( 或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；
6、对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：(1)“平行线型” 相似三角形，基本图形见上节图“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型” 相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型” 相似三角形，如图若图中1=2，B= D( 或C= E)，则ADE ABC，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型” 是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺
7、序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形三、解题方法技巧点拨1、寻找相似三角形的个数例 1、(吉林) 将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：(1)图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；(2)图中有相似(不包括全等 )三角形吗？如果有，就把它们一一写出来分析： (1)在ABC 内，有五个三角形，加上 ABC 与AFG，共有七个三角形(2)这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题由于“不包括全等” ，图中还剩五个非直角三角形，考虑到题设中两个三角形摆放的随意性，1 不一定等于2，而B=C=45，
8、 3、4 都为钝角，又排除 ABD 与 ACE 相似，还剩三个三角形，这三个三角形相似解： (1)共有七个三角形，它们是ABD、ABE、ADE、ADC、AEC、ABC与AFG (2)有相似三角形，它们是ABEDAE ，DAEDCA，ABEDCA( 或ABEDAE DCA)点拨：解决这类计数问题，一定要依据图形与定理，全面、周密思考，做到不重不漏，这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成；有兴趣的同学可继续探索一下本题中 BD、DE、EC 三条线段有何关系？2、画符合要求的相似三角形例 2、(上海) 在大小为 44 的正方形方格中，ABC 的顶点 A、B 、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画
9、出一个A 1B1C1，使得A 1B1C1ABC(相似比不为 1)，且点A1、B 1、C 1 都在单位正方形的顶点上（1） （2）分析：设单位正方形的边长为 1，则ABC 的三边为，从而根据相似三角形判定定理 2 或 3 可画A1B1C1，易得点拨：在 44 的正方形方格中，满足题设的A 1B1C1 只能画出以上三个，若正方形方格数不加限制，则和ABC 相似且不全等的三角形可以画无数个3、相似三角形的判定例 3、(1)如图，O 是ABC 内任一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，求证：DEFABC；(2)如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DF=3CF，写出图中所有相
10、似三角形，并证明分析：(1)根据题设，观察图形易见，DE 、EF 、FD 分别是 AOB、BOC、COA 的中位线，利用三角形的中位线性质可证DEF 与ABC 的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且 BE=CE，DF=3CF ，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似点拨：第(1)题，若点 O 在ABC 外，其他条件不变，结论仍成立；第(2)题也可用判定定理 2，先证ABEECF，得出AEF=90后，再证其中任意三角形与AEF 相似，显然，以上证法较简便4、直角三角形相似的判定例 4、求证：若一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三
11、角形的一条直角边和斜边上的高成比例，那么这两个直角三角形相似已知：如图，RtABC 和 RtABC中，C=C=90，CD、CD分别是两个三角形斜边上的高，且 CDCD=ACAC 求证：ABCABC 分析：判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外，还可使用“斜边和一直角边对应成比例的两直角三角形相似”这一定理证明ABCABC，只要再证一锐角对应相等即可证明：CD、CD分别是ABC、ABC的高，ACD、ACD是直角三角形5、三角形重心问题例 5、已知ABC 的重心 G 到 BC 边上的距离为 5，那么 BC 边上的高为( )A5 B12C10 D15解析：因为 G 为ABC 的重心，所
12、以 DGDA=1 3，因为 GEBC，AFBC ，所以GEAF，所以 GEAF=DGDA=13，因为 GE=5，所以 AF=156、相似三角形的综合运用例 6、如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 垂直于 AB 的直线交 BC 于 E，交 AC 延长线于 F求证：(1)ADF EDB；(2)CD 2=DEDF分析：(1)ADF 与EDB 都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2)注意到 CD 是斜边 AB 的中线，AD=BD=CD，由结论(1) 不难得出结论(2)证明：(1)DFAB，ADF=BDE=90，又F A=BA，F=B ，ADF EDB(2
13、)由(1)得 ，ADBD=DEDF 又CD 是 RtABC 斜边上的中线，AD=BD=CD故 CD2=DEDF点拨：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1) 得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的CDEFDC请同学们完成这一证明例 7、如图，AD 是ABC 的角平分线，BEAD 于 E，CF AD 于 F求证： 分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比” ，由题设易证ABEACF，BDECDF，从中不难找到这个中
14、间比证明：AD 是ABC 的角平分线，1=2BEAD，CFAD， 3= 4=90 ，ABEACF，点拨：当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；例 8、如图，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 AB、BC 上的点，BM=BN，BPMC 于点 P求证：(1)PBNPCD；(2)PNPD分析：要证 PNPD ，即证DPN=90，由已知BPC=90，而BPC 与DPN 有公共部分CPN，因此只要证明4= 5 即可这就必须先证明出结论 (1)在PBN 与PCD 中，易证1=3，以下只要证明夹1、3 的两边对应成比例证明：(1)在正方形 ABCD 中， ABCD，A
15、BC=90BP MC，PBMPCB点拨：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出1=2 及PBMPCB 等重要结论一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符号“”表示，读作“相似于” 。3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(
16、1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形 直角三角形全等三角形的判定 SAS SSSAAS（ASA） HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么
17、这两个直角三角形相似。7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。cdabb或合比性质： dccadcb（比例基本定理） bandbmcanbnmdb :)0(等 比 性 质(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。8.相似三角形的传递性如果ABCA 1B1C1，A 1B1C1A 2B2C2，那么ABCA 2B2C2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三
18、角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。在利用定理证明时要注意 A 型图的比例 ，每个比的前项是同DBECA一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成 的错误。2、相似三角形的基本图形.平行线型：即 A 型和 X 型。.相交线型 3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明三角形相似及比例式或等积式。4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形） “抽”出来的办法处理。CEDBACADB.CBDEA
