1、定积分的背景面积和路程问题之路程问题,估计变速运动的路程,已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？,问题： 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：m/s)是时间 t 的函数：,请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .,分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s=255=125(m)但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距
2、离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：,由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5 s内滑行距离的过剩估计值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 ：,不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表示s，误差都不超过：,为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段
3、时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：,汽车在5s内滑行距离的不足估计值 ：,无论用s2还是 表示汽车的滑行距离s，误差都不超过,结论 滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.,变式练习,汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=-t2+2,（单位：km/h),那么它在0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程s是多少？（将行驶的时间1h平均分成10份）,解析 分别用v(0)， v(0.1)， v(0.2)，v(0.9)近似替代汽
4、车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值,= v(0)+ v(0.1)+ v(0.2)+ +v(0.9) 0.1=1.715(km).,分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)， v(1)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h， 0.80.9h,0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值,= v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+v(1) 0.1=1.615(km),无论用 还是 估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-1.615=0.1（km）,1. 在“近似替代”中，函数f(x
5、)在区间xi,xi+1上的近似值等于（ ）A.只能是区间的左端点的函数值f(xi)B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1)C.可以是区间内的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1）D.以上答案均正确解析 以直代曲，可以把区间xi,xi+1上的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1）作为小矩形的高.,C,2.已知自由落体的运动速度v=gt，则估计在时间区间0,6内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为（ ）A.14g B.15g C.16g D.17g解析 由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在16.2g,19.8g之间.,D,3.求曲线
6、与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，其估计误差不超过_.解析 分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：所以S-s=0.3.,0.3,4.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为v(t)=t+2，估计该物体在区间0,2内运动的路程.若将区间10等分，则其不足估计值为_.解析：把区间0,210等分，取小区间的左端点的函数值作为小区间的平均速度，可得不足估计值为：s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)0.2=5.8.,5.8,5.求由曲线y=1+x2与直线x=0,x=2，y
7、=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（将区间10等分）,解析 把区间0,210等分，以每一个小区间的左、右端点的函数值作为小矩形的高，得到面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：s=(1+02)+(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02) +(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)0.2=4.28,S=(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02)+(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)+(1+2.02)0.2=5.08估计误差不会超过S-s=0.8.,1.曲边梯形的定义：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求值,2.求面积和路程问题的步骤：,我们把由直线 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲线 y = f(x) 所围成的图形叫作曲边梯形.,回顾本节你有什么收获？,
