1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,2.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角.,3.在立体几何中,“直线和平面所成的角“是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：( 0o, 90o ,范围： 0o, 90o ,空间两个平面有平行、相交两种位置关系.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平
2、面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的,(1) 半平面的定义,一、二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2) 二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立式：,(3) 二面角的画法和记法：,面1棱面2,点1棱点2,二面角 l ,二面角AB,二面角CAB D,直立式,3、举出二面角的实例，并画出二面角。,平卧式,二面角画法,由上可知：各二面角的“张角”不同，那么如何度量二面角的大小呢？,A,O,l,B,(4)
3、二面角的平面角,A,B,O,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图， ，则AOB成为二面角 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,8,质疑二:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？,=,等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。）,A,B,A,B,二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。,结论：二面角是用它
4、的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。,.,A,B,0。，180。,(4) 二面角的平面角,二面角的范围为：,注1： 当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角大小为0。，当完全展开是规定二面角的大小为180； 平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.,定义法垂线法作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则AOB 为二面角 -l- 的平面角,(5) 二面角的平面角的作法：,A,B,补充,练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,O,E,O,
5、二面角A-BC-D,14,正方体AC中,（定义法）,（垂线法）,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D-AB-D和A-AB-D； （2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D-AB-D和A-AB-D； （2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的 平面角,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D-AB-D和A-AB-D； （2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABC
6、D-ABCD中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D-AB-D和A-AB-D； （2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,例1 在正方体AC1中，E为BC中点，,F,E,G,H,（1）,（2）,1、求二面角AB1CB的正弦值;,2、求二面角EB1D1C1的正切值。,A .,O,解：,则AD l .,sinADO=, ADO=60.,即二面角 l 的大小为60 .,在RtADO中，,AO AD,练1： 已知二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到l的距离为 4. 求二面角 l 的大小.,D,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，,就是二面角 l 的平面角.,back,
7、练 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,C,D,H,G,600,300,3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,一、计算二面角的关键是 作出二面角的平面角，其作法主要有： (1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角 (2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角 二、求二面角的思路是“一作、二证、三算”,如何检测所砌的墙面和地
8、面是否垂直？,二、平面与平面垂直的判定,文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,面面垂直的判定定理,符号语言：,A,B,图形语言：,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,课堂练习：,1.如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.（ ）,3. 如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线, 则.（ ）,一、判断：,4.若m，m ，则.( ),2.如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，则.（ ）,1.过平面的一条垂线可作_个平面与平面垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.,二、填空题：,3.过平
9、面的一条斜线，可作_个平面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平面与垂直.,一,无数,无数,一,证明：,C,D,A,B,在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，AB在上，则BCD.,a,back,证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC平面PBC,练习,例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。,求证：平面PAC平面PBD。,证明：,2.如图所示：在RtABC中，ABC=900 ,P为ABC所在平 面外一点，PA平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直， 为什么？,归纳小结：,(1)判定面面垂直的两种方法：,定义法,根据面面垂直的判定定理,(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据；,(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来 解决.,
