1、第 1 页 共 11 页绝密考试结束前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共 50 分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式如果事件 互斥 ，那
2、么,AB()()PP如果事件 相互独立，那么,()()AB如果事件 在一次试验中发生的概率为 ,那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率PnAk()(1)(0,12.)knknnPCp台体的体积公式 12()3VhS其中 , 分别表示台体的上、下面积， 表示台体的高柱体体积公式2 hVSh其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高13VSh球的表面积公式 24R球的体积公式 其中 表示球的半径3第 2 页 共 11 页选择题部分（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
3、项是符合题目要求的。1已知 是虚数单位，则 ( )i(1)2iA B C D333i1i2设集合 ， ，则 ( )|Sx2|40TxTSR)(A B C D(1， (， (1， ，3已知 ， 为正实数，则( )xyA Blglgl22xylg()lgl22xyxyC Dlllxy l()ll4已知函数 ， ， ，则“ 是奇函()cos()0fAx)R()fx数”是“ ”的( )2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则95A B C D4a5a6a7a6已知 ， ，则R10sin2costn2A B C D33
4、434437设 ， 是边 上一定点，满足 ，且对于边 上任一点 ，恒有C0PA01PBABP则BA B C D93AC8已知 为自然对数的底数，设函数 ，则e()1)(12)xkfe，A当 时， 在 处取到极小值1k()fx1B当 时， 在 处取到极大值C当 时， 在 处取到极小值2k()fxD当 时， 在 处取到极大值1开始S=1，k=1ka?S=S+1k(k+1)k=k+1输出 S结束是否（第 5 题图）第 3 页 共 11 页9如图， ， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， ，1F221:4xCy2CA分别是 ， 在第二、四象限的公共点若四边形 为矩形，B12 12FB则 的离心率是( )2
5、CA B C D32610在空间中，过点 作平面 的垂线，垂直为 ，记 设 ， 是两个不同的平面，对空AB()fA间任意一点 ， ， ，恒有 ，则( )P1()QfP2()fP12QPA平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的（锐）二面角为 45C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的（锐）二面角为 60非选择题部分（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。11设二项式 的展开式中常数项为 ，则 531xA12若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体积等cm于 3c13设 ，其中实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则实数 zkxyxy2
6、04xyz12k14将 六个字母排成一排，且 均在 的同侧，则不同的排法共ABCDEF， ， ， ， ， AB， C有 种（用数字作答） 15设 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，点 为线段F2:4yx(10)P， lABQ的中点若 ，则直线 的斜率等于 AB|Ql16在 中， ， 是 的中点若 ，则 C90MBC1sin3BMsinC17设 ， 为单位向量，非零向量 ， ， 若 ， 的夹角为 ，则 的最1e2 12bxeyR1e26|xbO xyABF1F2（第 9 题图）43233正视图 侧视图俯视图（第 12 题图）第 4 页 共 11 页大值等于 三、解答题：本大
7、题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 （本题满分 14 分）在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成等比数dna101a235a列(I)求 ， ；dna(III)若 ，求 0123|naa19 （本题满分 14 分）设袋子中装有 个红球， 个黄球， 个篮球，且规定：取出一个红球得 1 分，abc取出一个黄球得 2 分，取出一个篮球得 3 分(I)当 时，从该袋子中任任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变31abc， ，量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；(II)从该袋中任取（每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量 为取
8、出此球所得分数若 ，53E，求 59D:abc20 （本题满分 15 分）如图，在四面体 中， 平面 ， ， ，ABCDBCD2A 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 2BDMPMQA3QC(I)证明： 平面 ；/PQBC(II)若二面角 的大小为 ，求 的大小60BABCDPQM（第 20 题图）第 5 页 共 11 页21 （本题满分 15 分）如图，点 是椭圆 （ ）的一个顶点， 的长轴(01)P，21:xyCab0a1C是圆 的直径 ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两点，2:4Cxy1l2 1l2AB交椭圆 于另一点 2l1D(I)求椭圆 的方程；(II
9、)求 面积取最大值时直线 的方程AB1l22 （本题满分 14 分）已知 ，函数 aR32()3fxax(I)求曲线 在点 处的切线方程；()yfx1()f，(II)当 时，求 的最大值02， |xOyBl1l2PDA（第 21 题图）第 6 页 共 11 页数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。1B 2C 3D 4B 5A 6C 7D 8C 9D 10A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。11-10 1224 13 2 14480 15 1 16 17263三、解答题：本大题共 5 小题，共 72
10、分。18本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。（）由题意得 213()a即 240d故 或所以 或1*naN， 46*naN，（）设数列 的前 项和为 因为 ，由（ ）得 ， 则nS0d1d1na当 时， 1 2123|nS当 时， 2n 1| 0aa综上所述，21231| 012nnaa ， ，19本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。（）由题意得 取 2，3，4，5，6故 ，1()P，63，25(4)18，59P第 7 页
11、共 11 页1(6)3P所以 的分布列为（）由题意知 的分布列为1 2 3Pabccab所以，235()aEbcabc225 351)()()3 9cDab解得 ， ，故ac2:3:1abc20本题主要考查空间点、线、面位置关系、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。方法一：（）取 中点 ，在线段 上取点 ，使得 ，连结 ， ，BDOCDF3FCOPFQ因为 ，所以 ，且 3AQ/A14QAD因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 是 的中位线，PSMPBM所以 ，且 /12又点 是 的中点，所以 ，且 MAD/OA14A从而 ，且 /OPFQ所以四
12、边形 为平行四边形，故 /FQ又 平面 ， 平面 ，所以 平面 BCDBC/PBCD（）作 于点 ，作 于点 ，连结GGHMH因为 平面 ， 平面 ，所以 ，AAG又 ， ，故 平面 ，又 平面 ，所以 BMB2 3 4 5 6P1819第 8 页 共 11 页又 ， ，故 平面 ，所以 ， GHBMCGHBMCGHBMCH所以 为二面角 的平面角，即 D60设 D在 中， ，Rtcos2cs，inC2sinsBG在 中， RtDM3iDH在 中， tCcostaninC所以 a3从而 ，即 6060BD方法二：（）如图，取 中点 ，以 为原点， ，OOP所在射线为 ， 轴的正半轴，建立空间直
13、角坐标系 yz xyz由题意知 ， ， (02)A， ， (02)B， ， (02)， ，设点 的坐标为 ，因为 ，所以 C0xy， ， 3AQC00321()4xy， ，因为 是 的中点，故 又 是 的中点，故 MD(21)， ， PBM(P， ，所以 0032(4PQxy， ，又平面 的一个法向量为 ，故 BC(1)a， ， 0PQa又 平面 ，所以 平面 D/PBCD（）设 为平面 的一个法向量()mxyz， ， M由 ， 知 ，0021CM， ， (021)， ， 00(2)xyzz取 ，得 1y0()yx， ，又平面 的一个法向量为 ，于是BD(10n， ，第 9 页 共 11 页，
14、020| 1|cos=9yxmn，即 （1）203yx又 ，所以 ，故 ，BCD0BC0000(2)(2)xyxy， ， ， ，即 （2）20xy联立（1） ， （2） ，解得 （舍去）或 02xy062xy所以 0tan3xBDCy又 是锐角，所以 621本题主要考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。（）由题意得 12ba所以椭圆 的方程为 1C214xy（）设 ， ， 由题意知直线 的斜率存在，不妨设为 ，则直线 的1()Axy， 2()B， 0()D， 1l k1l方程为 k又圆 ，故点 到直
15、线 的距离 ，2:4CxyO1l21dk所以 223| kABd又 ，故直线 的方程为 12l2l 0xy由 消去 ，整理得 ，204xky2(4)8kx第 10 页 共 11 页故 0284kx所以 21|PDk设 的面积为 ，则 ，ABS2843|kABPD所以 ，2 22 23161443Skk当且仅当 时取等号102所以直线 的方程为 1l 1yx22本题主要考查导数的几何意义、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力。（）由题意 ，故2()36fxa(1)3fa又 ，所以所求的切线方程为 1 4yx（）由于 故2()()02fx，(i)当 时，有
16、，此时 在 上单调递减，故0afx(fx，ma()3a，(ii)当 时，有 ，此时 在 上单调递增，故10fx(fx02，ma()1，(iii)当 时，设 ， ，则01xa2xa， 212()3)(f列表如下：x0 1()x， 112()x， 2x2()， 2()f+ 0 - 0 +第 11 页 共 11 页()fx3a单调递增 极大值 1()fx单调递减 极小值 2()fx单调递增 31a由于 ， ，1()2()fa2()1a故 ， 0x1()40fxf从而 ，12()ff所以 1max()2()ffx， ，（1）当 时， 030又 ，21 (34)()2()1(23) 01afxfa a故 1maxff（2）当 时， ，且 3(2)f(2)0f又 ，21 (34)()131afxfa所以当 时， 故2431()2fxfma()a当 时， 故413a1()2fxfmax()31f综上所述， max30()12()44faa， ，
