1、空间向量练习题1. 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD的中点，PA底面 ABCD，PA 2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，3(,),2C3(,)2DP（0，0，2）, 3(1,0).2E（）证明 因为 (,)BE，平面 PAB 的一个法向量是 0(,1n，所以 0n和共线.从而 BE平面 PAB.又因为 BE平面 PBE，故平面 PBE平面 PAB.()解
2、易知 3(1,02)(,0PBE， ） ， 13(0,2)(,0)2PAD设 11(,)nxyz是平面 PBE 的一个法向量，则由 1,nBE得1120,30.xyz所以 111,2.(2,0).yxzn故 可 取设 22(,)n是平面 PAD 的一个法向量，则由 2,0PAnD得2200,13.xyz所以 22,3.zxy故可取 2(3,1).于是， 1212 15cos, .nA故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 15arcos.2. 如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点。（）求证：AB 1面 A1BD；（）求二面角 AA
3、1DB 的大小；（）求点 C 到平面 A1BD 的距离；（）证明 取 中点 O，连结 为正三角形， C 在正三棱柱 1B中，平面 AB 平面 1CB，AD平面 C取 1中点 1O，以 为原点， 1O，的方向为 xyz， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 (0)B， ， ， (0)D， ， ， (23)A， ， ， (0)， ， ， 1(20)B， ， ，1(23A， ， 2， ， 1B， ，D， 14，1B， 1A A平面 （）解 设平面 1D的法向量为 ()xyz， ，n(3)， ， (02)A， ， n， 1 ，10A， 2xyz， 03yxz， 令 z得 (3)， ，n为平面 1AD
4、的一个法向量由（）知 1AB 平面 ，1为平面 的法向量cosn， 113642AB二面角 1D的大小为 arcosxzABCD1A1C1BOFy（）解 由（） ， 1AB为平面 1D法向量，(20)(23)BC， ， ， ， ，点 到平面 1的距离 12CdAB3.如图，在四面体 ABCD 中，O 、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDD（1）求证： 平面 BCD；（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值；（3）求点 E 到平面 ACD 的距离 证明 连结 OC,.BODAOBDC， 在 中，由已知可得 1,3.C 而 2A， 22OA 90,oC即 . ,BD 平面 B
5、CD (2)解 以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1,0)(,0)13,3,),(1,0)(1,30).2CAEBACDcos, 4CDB， 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2解 设平面 ACD 的法向量为 (,)nxyz则ACDOBE yzxACDOBE yzx(,)1,0)3nADxyzC， 30yz，令 ,得 (,13)n是平面 ACD 的一个法向量又 1(,),2E点 E 到平面 ACD 的距离 3217ECnh4.已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.（）证明：
6、CMSN ；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.证明：设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。则 P（0,0,1） ，C （0,1,0） ，B（ 2,0,0） ，M （1,0, 12） ，N （ ,0,0） ，S（1, 12,0）.4分（） 1(,),(,0)2MSN,因为 ，所以 CMSN 6 分（） 1(,0)2C,设 a=（x，y，z ）为平面 CMN 的一个法向量，EOGFA1B1C1CBA则10,22.xyzx令 ， 得 a=(,1-).9 分因为12cos,3aSN所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45。
7、12 分5. 如图，在三棱柱 1ABC中，已知 1,2,BC13C学， ， ， ， ，网，AB侧面 1C，（1）求直线 C1B 与底面 ABC 所成角正切值；（2）在棱 （不包含端点 1,)上确定一点 E的位置,使得 1E(要求说明理由 ).（3）在（2）的条件下,若 2A，求二面角 1AB的大小.解：（1）在直三棱柱 1ABC中， 1A和 1在平面 A上的射影为 .1为直线 1与底面 所成角. 22,， 1tan2BC即直线 1CB与底面 A所成角正切值为 2. 4（2）当 E 为中点时， 1E. 11,ECB 14590B，即 1B 6又 AC平 面 ， 11EC平 面 1ABEBEA 1EBA和， ABE平 面， 1 8（3）取 1EB的中点 G， 1AE的中点 F，则 G 1AB，且 12FAB，AF连结 1,，设 11BO，连结 ,，则 OG E，且 2AE11BGEF为二面角 1的平面角. 011 2,22AOF， 45OF 二面角 1EB的大小为 45 12
