1、第 二 章 静 电 场习 题 解 答2.1 一 个 平 行 板 真 空 二 极 管 内 的 电 荷 体 密 度为 ， 共 阴 极 板 位 于 x 0，阳 极 板 位 于 x d， 极 间 电 压 为 ， 如 果 40V， d lcm、 横 截 面 ， 求 ：(1)x 0和 x d区 域 内 的 总 电 荷 量 ；(2) x d/2和 x 区 域 内 的 总 电 荷 量 。解 ： (1)(2) 4/32/0()9U0U21Scm4/32/00()0.479ddQUxSdnC4/32/0/2().9ddx2. 两 点 电 荷 q1 8C， 位 于 z轴 上 z 4处 ， q2 一 4C， 位 于
2、y轴 上 y 4处 ， 求 （ ， 0， 0）处 的 电 场 强 度 。解 ： 利 用 N个 点 电 荷 的 电 场 公 式 计 算 ， 即31033004(,4)(4,0)8221(,)32NiiiirEq2.3 有 两 根 平 行 的 、 长 度 均 为 l的 均 匀 带 电 直线 ， 分 别 带 等 量 异 号 的 电 荷 土 q， 它 们 相 隔距 离 为 l， 试 求 此 带 电 系 统 中 心 处 的 电 场 。解 ： 如 所 示 ， 由 于 对 称 性 ， 两 根 线 上 对 称位 置 的 两 线 元 ， 在 中 心 O处 产 生 的 x轴 电 场抵 消 ， 两 根 导 线 y轴
3、 电 场 为 ： 12020 02(cos)4/()l lyyErqql l2.4三 根 长 度 均 为 l的 均 匀 线 电 荷 密 度 为的 线 电 荷 构 成 的 等 边 三 角 形 ，计 算 三 角 形 中 心 处 的 电 场 强 度 。解 ： 如 图 所 示 ， 设 等 边 三 角 形 位 于 yz平 面 ，其 中 心 点 为 P， 中 心 点 到 各 边 之 间 的 距 离 为 线 电 荷 在 P点 产 生 的 只 有 y分 量 ，大 小 为 ：(/2)30(/6)bltgl123lll111201 100(cos)43()(3/6)lyl lErl2.4续 ：由 于 电 场 对
4、称 性 ， 线 电 荷 ， 产 生 电 场只 有 y分 量 ：所 以 总 电 场 为 ： 123100034yylllEE2l3l2123200cos14lly2.5真 空 中 半 径 为 a的 一 个 球 面 ， 球 的 两 极 点处 分 别 设 置 点 电 荷 +q和 -q， 试 计 算 球 赤 道 平面 上 电 位 移 矢 量 的 通 量 。解 ： 由 点 电 荷 Q产 生 的 电 通 量 为 ，穿 过 赤 道 面 的 电 通 量 为 ： 23/20()()1qSaDdSrq34QR2.6一 半 径 a的 薄 导 体 球 壳 在 其 内 表 面 涂 覆 了 薄 层 绝缘 膜 。 球 内
5、充 满 总 电 荷 为 Q的 电 荷 ， 球 壳 上 又 充 了 电荷 量 Q。 已 知 内 部 的 电 场 为 ， 设 球 内 介 质为 真 空 。 计 算 ： (1)球 内 电 荷 分 布 ； (2)球 的 外 完 表 面电 荷 分 布 ； (3)球 壳 的 电 位 ； (4)球 心 的 电 位 。解 ： (1)利 用 高 斯 定 理 的 微 分 形 式 可 求 出 球 内 的 电荷 分 布 ， 即 电 荷 体 密 度(2)由 上 面 已 求 出 的 球 内 电 荷 分 布 ， 可 以 得 到 总 电 荷 ：故 球 的 外 表 面 电 荷 分 布 (面 密 度 )为 324000 461(
6、/)rraE4/rEae3220046arQdVd02Qa2.6续(3)球 壳 的 电 位 ：(4)球 心 的 电 位 ： 204aoaQEdrdra40012(/)5aaaoiEdrrrda2.7计 算 在 电 场 中 把 带 电 量 为 -2uC的电 荷 从 (2,1,-)移 到 (8,2,-1)时 电 场 所 做 的 功 ：(1)沿 曲 线 ；(2)沿 连 接 该 两 点 的 直 线 。解 ： (1) 有 dx=4yd， 则221(4)1428WFlqElydxqyduJAxyEe22.7续(2)在 z=-1的 平 面 上 ， 直 线 方 程 为 ：有 dx=6dy，则 21(64)12
7、8WqElydxyquJA21648xy2.9内 、 外 半 径 分 别 为 a和 b的 同 心 导 体 球 壳 之间 的 介 质 的 介 电 常 数 随 离 球 心 的 距 离 r变 化 的规 律 是 ， 其 中 K为 常 数 。 若 以 外 球壳 为 电 位 参 考 点 ， 且 球 壳 间 某 点 的 电 位 为 内导 体 电 位 的 一 半 时 ， 求 该 点 的 值 。解 ： 根 据 高 斯 定 理 可 求 出 球 壳 间 电 场 为 ：球 壳 间 某 点 ( )的 电 位 为 ：2/4Eqr1/r0 00r 2rr 0r(1/)(r)()ln44bbbddKbqqKa2.9续由 ，
8、得 ：所 以 该 点 的 介 电 常 数 为 ：01/(1)Krab0/2ra020(r)1(a)lnln44(1)()rbKqqbKa2.10续(2)由 定 理 可 知 ：在 r=a分 界 面 处 ：在 r=b分 界 面 处 ： 0(1)P3002()()()0aaPEr 03 302 2()()()(1)bbrPEabar定 理 ：介 质 体 内 部 的 束 缚 电 荷 体 密 度 等 于 自 由 电荷 体 密 度 的 。证 明 ： P0(1)000()(1)PDEE2.1已 知 半 径 为 r， 介 电 常 数 为 的 介 质 球 ， 带 电 荷q， 求 下 列 情 况 下 空 间 各
9、点 的 电 场 、 束 缚 电 荷 分 布和 总 的 束 缚 电 荷 。 (I)电 荷 q均 匀 分 布 于 球 体 内 ； (2)电 荷 q集 中 于 球 心 上 ； (3)电 荷 q均 匀 分 布 于 球 面 上 。解 ： 由 于 电 荷 对 称 分 布 ， 可 以 用 高 斯 定 理 求 解 。(I)电 荷 q均 匀 分 布 于 球 体 内 030,4rrE030,4qrrE2202030030()()11,()41(1)4rrPPqrrqr2.1续(2)电 荷 q集 中 于 球 心 上00 0 0022()()(1)44PrrqqnErr,P024Er 0204qErP0033 200 03 20141()4PQdVSdVdSrrAA2.1续 00 0 0022()()(1)44PrrqqnErr(3)电 荷 q均 匀 分 布 于 球 面 上
