1、39七、动态分叉1平衡点的失稳动态分叉：指系统结构不稳定，即总有一个小扰动与该系统不是拓扑等价（或不拓扑共轭） 。两种情况：平衡点是非双曲的局部分叉；出现鞍点连接全局分叉。常见动态分叉有：（1） 鞍点分叉： ， ：无平衡点； ：退化奇点； ：两个鞍点；21up00p0p图 1. 鞍点分叉（2） Hopf 分叉： ， ：原点为稳定平衡点； ：出现稳定闭轨；)(21212upu 0p0p图 2. Hopf 分叉（3）同宿分叉： ， 附近有鞍点 和不稳定焦点 ； ：出212121upu 0p)0,()0,1(p现同宿轨道； ：出现闭轨；0p图 3. 同宿分叉40（4）异宿分叉： ， ：有连接鞍点 的
2、异宿轨道； ：出现分叉。2121upu0p)0,1(0p图 4. 异宿分叉2Hopf 分叉对于单参数 维自治系统 ，设平衡点为 ，将其表示为n),(puf 0u（1）)(,(gpAuf其中 ，其余 个特征值具有负实部，并且已将其化)0() ，jp 2n到二维中心流形上，下面求中心流形上的 PB 范式。为此，引入线性变换将方程（ 1）化为（2）),()()(212 11 pvgupu令 则有1jv（3）),()vh取近恒等的非线性变换 简化二次项。),(vq（4）3)()1(21Ovqv注意到 ，以及对于足够小的位移 ，则上式成为2h )2(1)(Ovq（5）)2hqvv可见，若 成立，则二次项
3、可以约去。为此，定义同调算子0)(q（6）vad它是一个线性映射。（1）二次项的简化41记 ，根据式（6）得到,22vspanH 222)()( vvv)()( 2222 )()()( vvv因此，同调算子在该基下的矩阵为（7）)(20)()( pppL对于充分小的参数 ，由于 故 满秩，其零空间是空集，因此，对于足够小的 ，所有的)(L p二次项都可消去。下面简化三次方项。（2）三次项的简化记 ，同样根据式（6）得到,3233vvspanH 333 2)()( vvv2222 )()()( 2222)()( vv3333 )()()(v同调算子在该基下的矩阵为（8） )(300)(2)(2)
4、( ppppL注意到 ，表明 不满秩，其秩为 3。 的基解向量为 ，因此)(Re2)()(L)0(*L)0,1(约化后的三次项为 。vph2342（3）高阶项的简化考察第 次项的基函数 ，计算nmnmv（9）vad)(因此 为对角矩阵。 具有零空间的条件是（ ）)(pL0L 0)(Re2)0(（10）1n可见当 和 同为偶数时上式成立，因此所有偶数次项可经 PB 变换逐步消去。m（4）简化结果（11）)5()(2Ovpv令 可将上式化为实数形式21)( jzjbap，（12） )5()()( 21212121 Ozapzb上式的极坐标形式为（13）23)(brr将上式在 处 Taylor 展开
5、得0p（14） 23brdacr式中 ，以及00pp，。这)()(16)(16 212121212212 hhhhha 里 和 分别为方程（3）实数形式的非线性项。23讨论考虑 和 时的非退化情况，此时特征值实部具有横截性（当 时横穿虚轴） 。根据方程0ca 0p（14）第一式得到相应的二维系统平衡点和极限环为 ，其稳定性由acr/0，决定。23rcph43a. 若 ，则 渐近稳定；若 ，则 不稳定。0pr0prb. 对于 ， 。若 ，则该极限环渐近稳定超临界 Hopf 分叉；若ac/ch2a，则该极限环不稳定亚临界 Hopf 分叉。图 5 给出了这两种情形的相轨迹和分叉a，图。 0p0ac图
6、 5. Hopf 分叉问题定理 1：（Poincare-Andronov-Hopf 定理）若二维系统 满足),(),(pugApuf（1） )0(),0(pf，（2） 具有共轭复特征值A 0)(0)()( ，jp（3） 0adpc，则该系统的平衡点在 时失稳，出现如图 5 所示的 Hopf 分叉。说明：条件 表示通有 Hopf 分叉（对小扰动持久） ，否则发生退化 Hopf 分叉，平衡点产生多个极限0a环。八、周期运动的分叉考虑单参数 维自治系统 ，该系统闭轨为 ，周期 。设 Poincare 映射 的不动点n),(pufT),(puP是 ，下面用 Poincare 映射方法来研究闭轨 的分叉
7、。将 Taylor 展开pu ),(puP（15）)2()2)(,),(),( OAOPDpuP pppu 式中 ， 的特征值为)1(nRAA44 )(ker1)(1)()(1)( 0001, 分 叉映 射 的分 叉倍 周 期 分 叉静 态 分 叉不 稳 定渐 近 稳 定 ， HopfSacNimrppuprrrrprnr1 静态分叉（ ）：对应有一个零特征值，而其余特征值均有负实部。)(0r取 ，否则作平移即可。引入代数方程0pu，（15）PQ),(),(显然 Poincare 映射 不动点正是该方程的解。根据 ，存0 )1()0(,()( npuRIAQDB在如下等价关系：(a) 某一 ，
8、其它 ；)0(A1)(r rss，1)(b) 矩阵 有零特征值，其余均有负实部（正实部导致发散，不存在） ；B(c) 非线性方程 具有奇异点。0),(upP静态分叉：对应有一个零特征值，而其余特征值均有负实部，分叉类型取决于 Poincare 映射导算子在奇异点处的值。例 1：分析映射 的分叉。2),(upuP解：在 处特征值为 1，不动点由 得到。若 ， 为0,),(pu 0),(2upP0ppu不动点。由 ，知 ，出现鞍结分叉。不 稳 定稳 定，1uP不 稳 定稳 定， ，pu例 2：分析 的分叉。该映射在 处出现跨临界分叉。2),(p)0,(,pu例 3：分析 的分叉。该映射在 处出现叉
9、形分叉。3u上述映射的分叉结果分别如图 6 所示。45pu0pu0图 6. 鞍结分叉、跨临界分叉和叉形分叉2.倍周期分叉（ ）1)0(r例 4：分析 的分叉。3upPu解：（1） ，不动点： ，在)( )2(0)2( 2pup，处出现叉形分叉。2,0(（2）二次迭代映射 ，在 处出现 的不动点叉形分叉。除 外32)(uuP),(2P0u还有另一条不动点曲线 经过。 的不动点就是映射 的周期 2 点，因此在 处出现p2P),(的倍周期分叉，如图 7 所示。P0-2u =+p图 7. 映射的周期倍化分叉图 图 8. 与 Poincare 映射的 Flip 分叉对应的周期倍化分叉说明：（1）闭轨的倍
10、周期解位于一 Mobius 带上，其稳定流形为 3 维，因此二维自治系统闭轨不会产生倍周期分叉；（2）与 Poincare 映射的 Flip 分叉对应的周期倍化分叉在 Poincare 截面上出现一对倍周期点，依次可能产生 倍周期分叉（ ） 。m1)0(mr3. Naimark-Sacker 分叉（ ）r此时存在一对模为 1 的共轭复根，其 Poincare 映射在不动点具有二维中心流形，将 Poincare 映射投影到二维中心流形上，得到二维 Poincare 映射（16）12),(Rpvgv，46这里 ，其 Jacobi 矩阵满足 N-S 分叉的条件0),(g（17）1)0(4,321rm
11、r ；，将二维映射（16）在原点附近 Taylor 展开（18） ),(),()(,( 321 nnn vhvpvg下面将式（18）化为范式形式。(a) 简化二阶项取变换 并代入到式（18）中得到),(2vqv（19） ),(),(22121 nnnnn vhvqp导致（20） ),(),(),()( 21221 nnnnnvvp由于 ，因此将 代入式1OpO， )3(,(,21Ovqvqn（20）得到（21）)3(,(),(),()( 2221 Ohvqvpv nnnnn 若 ，则可所有二阶项。因此定义线性映射算子0,2 nhqp（22）),()vvq选取一组基函数 ，计算该映射在这组基下的
12、矩阵。,22spaH222 22)(1)vvv映射（22）的矩阵表示为 )(000)(1)(1)( 2ppp由于 ，在 处该矩阵满秩，因此所1)()(1)0()( 32 ）（）（， 有二阶项都可消去。(b) 简化三阶项（23）),(),(33vqvq47取一组基函数 ，经计算,3233vvspanH333 2222 32)(1()vvvv映射的矩阵表示为 )(000 0)(1)()(1)(1)( 322 ppppp当 时， ，只有 第二列为零，因此映射的 Normal Form 是0p)(1)(42， )(（24）4, 2Ovpcvh通过极坐标变换 可将上式化为实数形式，将该实数形式的范式在
13、处作 Taylor 展开则有ire2 0p（25）)3(),(10231pphardra 为 的不动点，对应原系统闭轨 。0r1 不 稳 定且渐 近 稳 定 ， )0(0apdb不动点 是不变集，为 Poincare 截面上的闭曲线，是原系统相轨线穿越 Poincare 截面时的adp/痕迹。c该闭曲线在 形成 维环面，系统相轨线在该环面上缠绕形成沿环面的运动，当 等于无理nR1 m数时，产生沿环面的概周期运动，这个概周期运动在该环面上是处处稠密的。 环面运动稳定，0a环面运动不稳定。0ad当参数 逐渐增加，闭轨失稳而产生渐近稳定的环面运动，这种现象称为 Naimark-Sacker（或周期运p动的 Hopf 分叉） 。若系统的闭轨来源于 Hopf 分叉，则又可称为二次 Hopf 分叉。定理 2：设环面上的方程为 。如果 和 是有理相关的，则环面上该方程的每一条21， 12相曲线都是闭合的。但是，如果 和 是有理无关的，则该方程的每一条相曲线在环面 上是处处稠2T密。说明：如果将每一对点 以及 “粘结”在一起，则坐标 平面上的)0,(1)2,1),0(2),212正方形： ， 可看作环面 的地图。全平面也可以当作地图，但此时环面上每一201 T48点在地图上有无穷多个像，如图 9 所示。 1212图 9. 环面运动及其相应的地图
