1、高频题 -易错题 专项练习1一 元 二 次 方 程一、知识结构：一元二次方程 二、考点精析考点一、概念(1)定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： )0(2acbxa难点： 如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0” ；未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B 123x 021xC D 02cba变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。322k例 2、方程 是关于 x 的一元
2、二次方程，则 m 的值为 13mx。针对练习：1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。782x2、若方程 是关于 x 的一元一次方程，01m求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 2。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用： 利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y42y高频题 -易错题 专项练习2例 2、关于
3、 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 422axa。例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方02cbbc程必有一根为 。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba,42mxc, 0582my则 m 的值为 。针对练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。012kx2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。2 31x求 k 的值； 方程的另一个解。3、已知 m 是方程 的一个根，则代数式 。012x m24、已知 是 的根，则 。a3a625、方程 的一个根为（ ）2cxbA B 1 C D 1cba6、若 。yxyx3
4、24,035考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法： mxmx,02对于 ， 等形式均适用直接开方法ax2 22nb典型例题：例 1、解方程： =0; ;0822165x;09132x例 2、若 ，则 x 的值为 。22169xx针对练习： 下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.32202x13092高频题 -易错题 专项练习3类型二、因式分解法 :021x21,x或 方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， 方程形式： 如 ， ，22nbxmaxcxabxa02x典型例题：例 1、 的根为（ ）35xA B C D
5、 23,251x52x例 2、若 ，则 4x+y 的值为 。044yxyx变式 1： 。222,6baba变式 2：若 ，则 x+y 的值为 。3yx变式 3：若 ， ，则 x+y 的值为 。14282x例 3、方程 的解为（ ）062xA. B. C. D.21x321x321x21x例 4、解方程： 04x例 5、已知 ,则 的值为 。0232yyx变式：已知 ,且 ,则 的值为 。22x0yx针对练习：1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2 )(21xqpx .)4(286 352aba )()(yxyx高频题 -易错题 专项练习4方程 可变形为07)13(2x 0)7
6、13)(xx正确的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以 与 为根的一元二次方程是（）A B06x062xC D2yy3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）023yxA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 25、方程： 的解是 。126、已知 ，且 ， ，求 的值。062yxx0yyx367、方程 的较大根为 r，方程11982的较小根为 s，则 s-r 的值为 。0820x类型三、配方法 02acba
7、 224acbx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、 试用配方法说明 的值恒大于 0。32x例 2、 已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx例 3、 已知 为实数，求 的值。xyyx013642yx例 4、 分解因式： 2高频题 -易错题 专项练习5针对练习：1、试用配方法说明 的值恒小于 0。47102x2、已知 ，则 .2x13、若 ，则 t 的最大值为 ，最小值为 。93xt4、如果 ,那么 的值为 41241bacba cba32。类型四、公式法条件： 0,02c且公式： ,abx404,2acb且典型例题：例 1
8、、选择适当方法解下列方程： .632x.863x0142x 01432x52131xx例 2、在实数范围内分解因式：（1） ； （2） . 3x1842x2254yx说明：对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，cba一般情况要用求根公式，这种方法首先令 =0，求出两根，再写成cbxa2= .cbxa2 )(21x分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例 1、 已知 ，求代数式 的值。0232x123x高频题 -易错题 专项练习6例 2、如果 ，那么代数式 的值。012x723x
9、例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。a012x 1523a例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.0651,22yx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式 acb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 x012xk。例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )2mA. B. C. D.10m011例 3、已知关于 x 的方程 02kx(1
10、)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92mxm例 5、 为何值时，方程组 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？m.3,62ymx高频题 -易错题 专项练习7针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92kx2、当 取何值时，多项式 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？4323、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .02mx4、 为何值时，方程组k.0124,2yxk（1）有两组相等的实数解，并求此
11、解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解. 5、当 取何值时，方程 的根与 均为有理数？k 042342 kmxx考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程 0321mx有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。 例 2、 不解方程，判断关于 x 的方程 根的情况。322kx例 3、如果关于 x 的方程 及方程 均有实数根，问这两方程022kx02kx是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，
12、出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？高频题 -易错题 专项练习83、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少 ，第三年比第二年减31少 ，该产品第一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收21回，还要盈利 ，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到30.1， ）61.4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50
13、 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A 、 B 两地间的路
14、程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提： 对于 而言，当满足 、 时，02cbxa0a才能用韦达定理。主要内容： 2121,应用： 整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三0782x角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.36例 2、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 ，012xk 21,x高频题 -易错题 专项练习9（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两
15、实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1 。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 ， ， ，求 ba01a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。22例 5、已知 是方程 的两个根，那么 .,x34针对练习：1、解方程组 )2(51,32yx2已知 ， ，求 的值。472a47b)(aba3、已知 是方程 的两实数根，求 的值。21,x092x 637231xx4、已知关于 X 的方程
16、,问：是否存在实数 m，使方程的两个实数m22根的平方和等于 56，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由。一元二次方程复习一）一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的)0a(cbxa2最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 这三个0axcax0bax222 ；方程都是一元二次方程。求根公式为 42二） 。a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是)0(cbxa2高频题 -易错题 专项练习10系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、 当 0 时方程有 2 个不相等的实数根；ac4b22、当 0 时方程有两个相
17、等的实数根；3、当 0 有两个负根不相等C0两根同号 b0 负根绝对值较大(正根绝对值较小 )b0)0有两个不相等的实数根 C0 一根为 0 另一个根为负根C=0一根为零 b0 有两个相等的负根b01 有两个不相等的负实数根 x 1.x20x1+x202 有两个不相等的正实数根 x 1.x20x1+x2003 负根的绝对值大于正根的绝对值 x 1.x204 两个异号根正的绝对值较大 x 1.x2005 两根异号，但绝对值相等 x 1.x206 一个负根，一个零根 x1.x2 0x1+x20x1+x2008 有两个相等的负根 x 1.x20x1+x20x1+x20010 有两个相的等的根都为零
18、x 1.x20x1+x200高频题 -易错题 专项练习1311 两根互为倒数 x 1.x2112 两根互为相反数 0x1+x2013 两根异号 0 14 两根同号 0x1.x2015 有一根为零 0 16 有一根为 1 0x1.x20 a+b+c=017 有一根为-1 0a-b+c=018 无实数根 00mx2120 ax2+bx+c (a0)这个二次三项式是完全平方式 021 方程 ax2+bx+c 0 (a0)（a、b、c 都是有理数）的根为有理根，则 是一个完全平方式。22 方程 ax2+bx+c 0 (a0)的两根之差的绝对值为： ax2123 0,方程 ax2+bx+c 0 (a0)
19、有相等的两个实数根。24 0 ac4b21例题 m 为何值时，方程 有两个相等的实数根；无实数根；0mx3有两个不相等的实数根；有一根为 0；两根同号；有一个正根一个负根；两根互为倒数。高频题 -易错题 专项练习142例题k 为何值时关于 x 的方程 (m 为有理数)的根0k4m23x42 为有理数。3例题不论 m 为何值时 都可以分解成二个一次因式的积13x224例题 已知方程 的两根一个大于 1，另一个根小于 1，求 m 的值的082x42范围。5例题已知方程 ax2+bx+c 0 (a0)的实数根为 m、n 求下列对称式子的值 ； ； ； ； ； 。n1mn32n6 例题已知实数 a、b
20、 满足 , 且 求 的值。a2baba7 例题已知 其中 p、 q 为实数。求 的值。.052pP01q22q1p高频题 -易错题 专项练习158 用配方法求下面关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c 0 (a0)9 已知 是一个完全平方式，若 a0 试证明：axcxbxa方程 无实数解。0cby210 已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根， （1）求 k 的取值范0kx42围。 （2）化简 k11、求非对称性式子的值（解题思想是逐次降次）例 1 已知 的 值 。求 2030132 XX例 2 设 a、b 是方程 的两个实数根，求 的值。92ba212 用适当的方法解下列方程(说明选
21、用的理由） 41x92 1x2 02y632 014x32高频题 -易错题 专项练习16六） “归旧”思想在解一元二次方程中的应用“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n） 2=p (m0,p 0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为 mx+n= ，分别解这两个一元一次方程就得到p原方程的两个根。
22、用简明图表可表示为：直接开平方法：形如（mx+n） 2=p (m0,p0) 两个一元一次方程。归 旧根 据 平 方 根 的 定 义配方法：最适用于二次项系数为 1，一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形如 x2+2kx+m=0（当然一般的形如 ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合适的方法） 。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n） 2=p (m0,p 0) 的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程 形如（mx+n） 2=p (m0,p0)的方程归 旧通 过 配 方因式分解法：这种方法平时用的最多，最
23、适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a 1x+c1)(a2x+c2)=0 方程，从而“归旧”为 a1x+c1=0 、a 2x+c2=0 ，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。用简明图表可表示为： 因式分解法：一元二次方程 两个一元一次方程归 旧通 过 分 解 因 式公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。由此可见以上四种解法都是
24、运用了归旧的数学思想，把新东西转换成熟悉的旧的东西 去解决。归旧思想在初中数学中还有许多运用：如解二元一次方程归旧为一元一次方高频题 -易错题 专项练习17程，分式方程归旧为整式方程，二元二次方程组归旧为二元一次方程组或代入消元归旧为一元二次方程，平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线归旧为三角形问题等，由此可见熟练掌握归旧数学思想，对增强解题能力，改善知识结构，提高数学素养大有裨益。一元二次方程应用题总复习一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的
25、方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注：列方程解应用题的关键是: 找出等量关系二、一元二次方程，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：一）求互相联系的两数：连续的整数：设其中一数为 x，另一数为 x+1连续的奇数：设其中一数为 x，另一数为 x+2连续的偶数：设其中一数为 x，另一数为 x+2和一定的两数（和为 a）：设其中一数为 x，另一数为 a-x差一定的两数（差为 a）：设其中一数为 x，另一数为 x+a积一定的两数（积为 a）：设其中一数为 x，另一数为 a/x商一定的两数（商为 a）：设其中一数为 x
26、，另一数为 ax（a/x）例：两个相邻偶数的积是 168，求这两个偶数。解：设其中一数为 x，另一数为 x+2，依题意得：x（x+2）168x2+2x-168=0（x-12）（x+14）0x1=12，x 2 =14当 x12 时，另一数为 14；当 x-14 时，另一数为-12.答：这两个偶数分别为 12、14 或-14、-12.二）求直角三角形的边：面积 S 一定，两直角边和（和为 a）一定：设其中一边为 x，另一边为 a-x，则1/2x（a-x）=S面积 S 一定，两直角边差（差为 a）一定：设其中一边为 x，另一边为 x+a，则1/2x（x+a）=S高频题 -易错题 专项练习18斜边 c
27、 一定，两直角边和（和为 a）一定：设其中一边为 x，另一边为 a-x，则x2+（a-x）2=c2斜边 c 一定，两直角边差（差为 a）一定：设其中一边为 x，另一边为 x+a，则x2+（x+a）2=c2例：一个直角三角形的两条直角边相差 3cm，面积是 9cm，求较长的直角边的长。三）求矩形的边：例：利用一面墙（墙的长度不限），用 20m 长的篱笆，怎样围成一个面积为 50m2 的矩形场地？四）赛制循环问题：单循环：设参加的球队为 x，则全部比赛共 1/2x（x-1）场；双循环：设参加的球队为 x，则全部比赛共 x（x-1）场；【单循环比双循环少了一半】五）利滚利问题：年利息本金年利率年利率
28、为 a%存一年的本息和：本金（1+年利率） ，即本金（1+ a%）存两年的本息和：本金（1+年利率） 2， 即本金（1+a%） 2存三年的本息和：本金（1+年利率） 3， 即本金（1+a%） 3存 n 年的本息和：本金（1+年利率） n， 即本金（1+a%） n例：我村 2006 年的人均收入为 1200 元，2008 年的人均收入为 1452 元，求人均收入的年平均增长率。人均收入的年平均增长率为 10%。六）传染问题：（几何级数）传染源：1 个【 每一轮 1 个可传染给 x 个】【前后轮患者数的比例为 1：（1+x）】患者： 第一轮后：共（1+x）个第二轮后：共（1+x）（1+x），即（1
29、+x） 2个第三轮后：共（1+x） 3，即（1+x） 3 个第 n 轮后：共（1+x） n 个例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有 81 台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？三、应用举例一）数字型1、 两个数的和是-7，积是 12，则这两个数是多少？2、5 个连续正数，前 3 个数的平方比后两个数的积小 1，这 5 个连续整数分别是多少？高频题 -易错题 专项练习193、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两
30、位数小 4，求这个两位数是多少？二）百分数应用题（含增长率方面的）题型1、 某企业 2004 年初投资 100 万元生产适销对路的产品，2004 年底将获得的利润与年初的投资和作 2005 年的投资，到 2005 年底，两年共获利润为 56 万元，已知 2005年的年获利比 2004 的年获利率多 10 个百分点（即 2005 的年获利率是 2004 年的年获利率与 10%的和） ，求 2004 年和 2005 年获利率各是多少？2、 某工厂一月份生产某种机器 100 台，计划二、三月份共生产 280 台。设二、三月份每月的平均增长率为 X，求增长率为多少？3、 某市土地沙漠化严重，2005
31、年沙漠化土地面积为 100Km2，经过综合治理，希望到2007 年沙漠化土地面积降到 81 Km2，如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同，求每年的沙漠化土地的降低百分率。三）传染病毒应用题1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有 81 台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？2、 中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有 169 只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？四）银行利率应用题1、
32、 某人将 2000 元按一年定期存银行。到期后取出 1000 元，并将剩下的 1000 元及利息再按一年定期存入银行，到期后取得本息共计 1091.8 元。求银行一年定期储蓄的利率是多少？五）销售利润方案类题（1）经济类一1、某商店将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可售出 200 件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高 0.5 元其销售量就减少 10 件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为 640 元？ 解：设每件售价 x 元，则每件利润为 x-8， 销售量则为 200-（x-10）/0.5*10=200-20(x-10) 所以
33、每天利润为 640 元时，则有 （x-8)200-20(x-10)=640 则有 x2-28x+192=0 高频题 -易错题 专项练习20即（x-12)（x-16)=0 所以 x=12 或 x=16。 即当每件售价为 12 元或 16 元时，每天利润为 640 元2、 神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25 人，人均旅游费用为 100 元，如果人数超过 25 人，每增加 1 人，人均旅游费用降低2 元，但人均旅游费用不得低于 70 元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用 2700 元，请问该单位这次共有多少员工去旅游了。3、
34、苏宁服装商场将每件进价为 30 元的内衣，以每件 50 元售出，平均每月能售出 300 件，经过试销发现，每件内衣涨价 10 元，其销量就将减少 10 件，为了实现每月 8700 元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳 1200 人,经调研,如果票价定为 30 元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加 1 元，售出的门票数就减少 30 张，如果想获得 36750 元的门票收入，票价应定为多少元？5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减库存，商场决定采取适当的减价措施，经
35、调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多销售出 2 件，1)若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ （2）经济类二（经济类试题一元二次方程的实际应用）近年来方程的应用与相关经济类试题呈逐渐增多的趋势现举例说明：例 1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？分析：设每件衬衫降价 x 元，则每件衬衫
36、盈利 (40x) 元，降价后每天可卖出(20+2x) 件，由关系式：总利润= 每个商品的利润售出商品的总量，可列出方程例 2：某商厦今年一月份销售额为 60 万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到 96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？ (精确到 0.1%)分析：设三、四月份平均每月增长的百分率为 x，二月份销售额为 60(110%)万元，三月份的销售额是二月份的(1+x)倍，即三月份销售额为 60(110%)(1+x)万元，四月份的销售额是三月份的(1+x) 倍，则
37、四月份的销售额为 60(110%)(1+x)2 万元，其等量关系为：四月份销售额=96 例 3：某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为 a 元，则可卖出 (35010a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%，商店计划要赚 400 元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？分析：本题中涉及到的数量关系列表如下：进价 售价 单件利润 售出数量 利润21 a a 21 35010a 400高频题 -易错题 专项练习21例 4(本题满分 10 分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息 :请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品
38、的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1 元，这两种商品每天可各多销售 100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降 m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？六）函数与方程1.某工厂生产的某种产品质量分为 10 个档次. 第 1 档次（最低档次）的产品一天能生产 76件，每件利润 10 元.媒体搞一个档次，每件利润增加 2 元，但每天产量减少 4 件.(1)若生产第 x 档次的产品一天的
39、总利润为 y 元（其中 x 为正整数，且 1 x 10），求出 y关于 x 的函数关系式；(2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1080 元，求该产品的质量档次 .七）信息题1、某开发区为改善居民住房条件，每年都要建一批住房，这样人均住房面积逐年增加，该开发区 2005 年至 2006 年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，请根据下列两图提供信息解答问题：（1）该区 2005 年和 2006 年这两年，哪一年比上年增加的住房面积多？多增加多少平方米？（2）预计到 2008 年年底，该区人口是总数将比 2006 年年底增加 2 万人，为使到 2007年年底该区人均住房面积
40、达到 22m2/人，试求 2006 年，2008 年两年该区住房总面积的年平均增长率。201817万人2005 20062006 年m2/人O O2004 200420052018.617信息 1：甲、乙两种商品的进货单价之和是 5元；信息 2:甲商品零售单价比进货单价多 1 元，乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少1 元信息 3：按零售单价购买甲商品 3 件和乙商品 2 件，共付了 19 元.高频题 -易错题 专项练习222、某开发区为改善居民住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加人均住房面积=（该区住房总面积/该区人口总数）（单位： m2/人） ，该开发区 2004 年至 20
41、06年每年年底人口总数和人均住房面积的统计如图 1，图 2请根据图 1，图 2 提供的信息解答下面问题：（1）该区 2005 年和 2006 年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多多增加多少平方米？（2）由于经济发展需要，预计到 2008 年底该区人口总数比 2006 年底增加 2 万人，为使到 2008 年底该区人均住房面积达到 11m2/人，试求 2007 年和 2008 年这两年该区住房总面积的年平均增长率为多少？八）、背景题1、某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A kWh,那么这个月这户只需要交 10 元电费；如果超过 A kWh，则这个月除了仍要交 10 元用
42、电费外，超过部分还要按每度 元交费。10A（1）该厂某户居民 2 月份用电 90 kWh，超过了规定的 A kWh，则超过部分应交电费多少元（用 A 的代数式表示）。（2）下表是这户居民 3 月、4 月份用电情况和交费情况：月份 用电量/ kWh 交电费总数/元3 60 254 45 10根据上表的数据，计算电厂规定的 A kWh 是多少？2、 【实际背景】预警方案确定:设 如果当月 W6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农” 0W 当 猪当【数据收集】 今年 2 月5 月玉米、猪肉价格统计表 月 份 2 3 4 5玉米价格( 元/500 克) 0.7 0.8 0.9 1猪肉价格( 元/500
43、克) 7.5 m 6.25 6【问题解决】高频题 -易错题 专项练习23(1)若今年 3 月的猪肉价格比上月下降的百分数与 5 月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求 3 月的猪肉价格 m；(2)若今年 6 月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照 5 月的猪肉价 格 比 上 月 下 降 的 百 分 数 继 续 下 降 ， 请 你 预 测 7 月 时 是 否 要 采 取 措 施 防 止 “猪 贱 伤农 ”；(3)若今年 6 月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的 2 倍，而每月的猪肉价格增长率都为 a，则到 7 月时只用 5.5 元就可以买到 500 克猪肉和
44、 500 克玉米请你预测 8 月时是否要采取措施防止“猪贱伤农” 九）、古诗问题例：读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？十）、象棋比赛例：象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.十一） 、几何类题（1）等积变形例 1 将一块长 18
45、 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理。图 2QP CBA图 图 3高频题 -易错题 专项练习24（2）动态几何问题例：如图 4 所示，在ABC 中，C90，AC 6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向
46、点 B 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使 PCQ 的面积为 8 平方厘米？（2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.（3）梯子问题例：一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？（4） 、航海问题例：如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于
