1、高一数学竞赛试题时间：8:30-11:00 总分：150 分一、填空题（本大题共 15 小题，每小题 5 分，共 75 分）1、如图，P 为O 外一点，过 P 点作O 的两条切线，切点分别为 A，B，过 PA 的中点 Q 作割线交O 于C，D 两点，若 QC1，CD3，则 PB_。2、若函数 为偶函数，则2lnfxax。a3、函数 的图像如图所示，则 0， 0， 0。2axbfcbc4、已知 ，则 21fx11123.25.3205ffffff。5、函数则 的单调递减区间为 。22loglfx6、若方程 有负实数根，则 的取值范围是 。2104xeaa7、设函数 ，则满足 的 的取值范围是 。
2、3,xf2faf8、设集合 ，则集合 A 的所有非空子集元素和的和为 。1,2.6A9、设函数 的图像与 的图像关于 对称，且 ，则 yfx2xayyx241ffa。10、已知实数 满足 ，则 。, 31012yy11、已知函数 满足： ，则 fx ,4ffxfxyf2016f。12、已知定义在 R 上的奇函数 ，满足 ，且在区间 上是增函数，则fff,， 的大小关系是 。 （从大到小书写）25f1,80f13、设 ，满足 ，则这样的函数个数共有 个。:32,fxfxyo14、设函数 ，2,14,xaxf若 ，则 的最小值为 ；1af若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 。fxa15、已
3、知函数 。设222, 8fxxgxax其中 表示 中的较大值,1 2ma,min,HxgHfm,pq表示 中的较小值,记 得最小值为 得最小值为 ,则 。in,pq1xA2HxBA二、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）16（12 分） 、如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CBCE.(1)证明：DE；(2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形。17（12 分） 、某地区上年度电价为 ，年用电量为 ，本年度计划将电价降到0.8/kwh元 akwh之间，而用户的期望电价为 ，经测算，下
4、调电价后，新增加0.5/0.75/kwhkh元 元 0.4/元用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（反比例系数为 ） ，该地区电力的成本价为 。k0.3/kwh元写出本年度电价下调后，电力部门的收益 与实际电价 的关系式；yx设 ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增加 。0.2ka 0218（12 分） 、求函数 的最小值；1fx求函数 的最小值；2f求函数 的最小值；3xx归纳上述规律，写出函数 的最小值。 （直接写结1231451fxx果，不用写过程）19（13 分） 、设函数 ，集合2fxab,AxfBxf证明： ；当 时，求集合 B。AB1,320（13 分
5、） 、在一次数学竞赛中，共出甲，乙，丙三题。在所有 25 个参赛的学生中，每个学生至少解出一题，在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍，只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多 1，只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，问共有多少学生只解出乙题？21（13 分） 、设 为实数，函数 在区间 上的最大值记为 ，求 的最小值。a2fxa0,1ga高一数学竞赛答案（仅供参考）一、填空题1、 提示：由切线长定理得 QA2QC QD1(13)4，解得 QA2.故 PBPA2QA4；42、 提示： 为奇函数，所以 ；lngxax0ln,1ga3、 提示：由定义域得
6、，由函数值符号得 ，由函数零点得 ；,0c0b4、 提示：由 ；091ffx5、 或 提示：根据复合函数单调性： 或 ；,2, 2log1x2log1x6、 提示：令 ，转化到方程 在 上有根；1,4xte04ta,t7、 提示：即 ；2,31fa8、 提示： 在所有子集中均出现 次，故 ;6,2345,652512345672或列举出所有子集；9、 提示：设 在 上，则 在 上，代入即可；2,xyfx,yxxa10、 提示：构造函数 ，奇函数且单调递增；320111、 提示：令 ，同理可得121,xyf得 112,3,4,42fff周期为 6。5,67,424ff或令 ，可得 ，两式联立可得
7、11yxfx得 1fxffx；3,fxff即 周 期 为12、 提示：由奇函数和在区间 上是增函数，得函数在 为增函数，8025 0,22,由 ，得 ；转化即可4fxfx488ffxfxf， 进 而 得 ， 周 期 为13、10 提示：令 ，则 ，分三对一，三对二，三对三讨论，分别为 3,6,1，共 10 种；tt14、(1) (2) 1,2,提示：中结合两个函数图像，分 讨论20a和15、 提示： 顶点坐标为 ， 顶点坐标16()fx(,4)(gx，并且 与 的顶点都在对方的图象上，图象如(2,4af)gx图， A、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以 A-B=。()(12)6a二、解答
8、题16、证明：(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以 DCBE. 由已知得 CBE E，故D E.(2)设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上。又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD，所以 ADBC，故A CBE。又CBEE，故A E，由(1)知， DE，所以ADE 为等边三角形。17、 0.350.7.4kyaxx由 得 ，所以00.212.5.7ax .60.75x18、0 1 2 419、对任意 ，于是 故00,xAfx都 有 00fxfx0,BA所 以由 得1,321,1,33abab解 得
9、由 ，2230xfxxx得 ：因为 所以 是上述方程的根，所以AB1,223得 ,3,x所 以20、设解出甲，乙，丙三题的学生的集合分别为 A,B,C 用图表示，相应的人数如图在所有 25 个参赛的学生中，每个学生至少解出一题，得：25abcdefg在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍，得：2ff由只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多 1，得：1adegABCabcdefg由只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题得：abc由得： 2f代入得： 25bcdeg代入得：224bcde35g 得： 6bc由 得： 0c1342,即由消 得： 950,fb52所 以 9所以 。 5,692bN又 所 以21、当 时， 在 上单调递增，所以0ayfx,11gafa当 时，122 8,1424aaffff当 时， ，所以0a102ff1gfa当 时， ，2124agf当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，1ayfx0,2,12ax所以 24gf当 时， 在 上单调递增，所以2ayfx0,11gafa综上： 2124aga当 时， ；当 时2a232g2a；当 时， ，所以当3ga1g。min2,32aga
