1、1高等数学第十六此习题答疑 2013.6.20P.323 总习题 十二6、求下列极限（2）1139273lim48.()nn【解】注意到，其中23111 23.39273973.().()n nns2123121(2)3():1.()nknnnnss（3）式中右边的前 项为一 的等比数列之和，故有1,3aq2111()1 ()3323()(lim0.(4)44nnnn nn nnnss所以11 3li39273 44lim8.()li24.8.(5)#nnnnssn 注； 111li()li()lim()li023233nnxxn 9、求下列数项级数的和（1）2!n2【解】利用 100.(1)
2、!nxxnee 221110001.(2)!()!()!nnnnnnee其中 0! 1110.(3)!()!n mnnn 令因此有21.(4)#!ne课外题（1）求函数项级数 的收敛区间与收敛域。13()nnx【解】1）收敛半径 R1 113()3()limlilim()n nn na 观察其中 在 时的趋向情况；13()n若 为奇数a则 ，于是有13()4,3(1)2nn2limlilimli()2nnnnn 若 为偶数b则 ，于是有13(),3(1)4nn11limlilimli0()4nnnnn 3表明： 的极限不存在，也就是说，级数 是发散的。1limna 13()nnx（2）验证 满
3、足微分方程363()()!()!nxxy xxe【验证】 363()1()!()!nyx x25312531 3!6()!()!n nx14324322345632130) . .!(1()! . .!()!(1 ,()#!n nnnnxxxxy xye 高数上册 P.298 习题 7-13、在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解。（2） 2()0,ln()xyyyx【验证】所谓的微分方程的解，即是解函数代入微分方程使之成为恒等式。今4222323222ln()ln1 ;(1)1 (1)()(1)( (1)()1()(1)yxydyxy yyxyxyxyxxyyyyxx
4、3(1)于是有23222 3322 32()() ()()()(111() 0y yxy yxyyx表明： 满足题给的微分方程，为题给微分方程的解。ln()y4、在下列各题中，确定函数关系中所含的参数，使函数满足所给的初始条件（2） 2100(),1.xxyCey【解】因为 ，故有2210212()0()xyCe因此方程的特解为 #xyeP.290 例 7、求微分方程0yx满足初始条件 0,1.xxy【解】这里涉及到二阶齐次线性微分方程的求解定理（下册 P.290 定理）：若有5()0yPxQy且 可在 内展开为 的幂级数，那么在 内,RxxRx方程必有形如0nya的解。今 ，当然在整个数轴上
5、（即 ）满足定理的条件，因此(),()PxQxx所求的解可在整个是轴上展开成 的幂级数，即010nnyaxax求解函数实际上就是求出级数中每一项的系数： 01,.,.na先将初始条件代入：因为 故有0,xy21 00.(1)naaa又因为 故有0,xy112 10.(2)nx于是所求的特解为，22.(3)nnyxaxax相应地有12 .(4)nyax对（4）式两边均对 求导，得 22(1).(5)nnyx当然（3）、 （4）与（5）均应该满足题给方程 的，所以可将（3）、 （4）与（5）式代入题给0yx6方程，得2101202223413432 5 2(1),.().06()()1(6)nnn
6、 n nnxaaaxxaxax （6）式是对任意的 均成立的恒等式，因此上式左端各项的系数必须全为零，于是有022133244 1212:0.(7)8: .(9).:()0,(34,.)(9()n nnnxaaax （9）式就是系数的递推公式，由 ，由此可得1a2031532.();()a3041642.(1)()a4561251752068671972 .(2)()3.().14()aaaa7643811082 1.(15)()097643aa 总结一下系数数值的规律：036325821473 .(,1.)(002.7)11.4.(18)()3(2)3.743pmaaaam7这样由微分方程及
7、两个初始条件确定的 的值就可以确定所有系数的值。于是方程012,a的解函数为 47 311 1. .#363(1)3(2)3.764myxx xmm高数下册 P.160例 2、计算三重积分 ，其中 是由椭球面 所围成的空间闭区域。2zdxy 221xyzabc【解】空间闭区域 可表示成22(,)1,xyzzcab由于被积函数 仅是 的函数，所以，2(,)f“先二后一 ”的积分方法比 较简洁。为此，作一垂直于 轴的平面 ，与 相交的平面为 （见题图z,()zczzD所示），三重积分先在 上对 积分，再 对 积zD)xy分。注意到2222(,)1(,) 11)()zxyxyabczzabcc则有2
8、2zcDIzdxydxy其中 222(1)(1)1()zzD zzababccc于是有822 243532 1(1)14#c cczIzdxyabdabzdzabcIP.161例 3、利用柱面坐标计算三重积分 ，其中 是由曲面 与平面 所zdxy 2zxy4z围成的闭区域。【解】先来求椭圆抛物面 与平面 的交线：2zxy4z244zxy因此 在 平面上的投影为O22(,)(,)02,xyDy在柱面坐标中， ,zxdvz今 2:4,:02:z于是有24201(6)26250 03(16)(8)4#3IdxyzdzdzdI 疑问：交错级数的收敛条件：（1） 1(,2.)nu（2）lim0问：如果只
9、要一条不成立级数就不收敛吗？疑惑来源： 11111()ln)()ln()()ln)()ln)nn nn 9最终结论：条件收敛；可是， 单调递增的，这样一来不是不符111()ln)()ln)nn1ln()合条件，不应该发 散吗？【解答】：（1）对的，莱布尼茨定理中有一条件不满足，级数必定发散。（2）疑惑的解决考察的交错级数的确是条件收敛的。你判断的错误在于：是随着 的增大而单调递增的。但是你忽视了 的！ 1ln()n 1ln()0而在交错级数的标准形式 中，必须是 的！所以 是1()nu0nul单调增的，但是 却是单调减的！因此考察的交错级数是满足莱布ln()尼茨定理的两个条件的，因此级数是收敛
10、的。例证：1,ln()lln20.6931;2, 086.45;311ln()l()02但是 l()ln()基础物理第十六次习题答疑 2013.6.20P.170 第九章 习题9-30、固定于 轴上两点 的两个正点电荷，电量均为 。y,yaq10（1（ 假设将带正电 、质量为 的粒子从原点沿 轴方向稍许移动一下，则在无穷远qmx处粒子的速度为多少？（2（ 上述粒子在 轴上任意位置的速度为多少？x（3（ 如果将这粒子从无穷远处以（1）中速度的 沿 轴向原点射出，则这个粒子能运12x动到离原点多远处？【解】（1） v利用能量守恒定律处理1） 在坐标原点 处qO动能 0,OT电势能 001212()
11、()44OqqWUaa总能为 0().()OET2） 在坐标原点 处q动能 ，电势能 ，总能21TmvW21.()Emv由能量守恒定律知：20 00141()()().(3)4OqqqEvaaam（2） xv因为 2222 2111 .(4)xxxx xqqmvqUvmvaa由能量守恒得22002 200011()()442 1 ().(54Ox xxqqEvaxavmmxa（3）当 时，粒子离原点的距离 m11 20011()()424mxmqqEEaxa2265.(6)maxP.193 第十章 习题10-18、图示中电容器开始时都不带电，按 图中所示接法 连接后，开关 是开启的，S（1）求
12、 两点电势差 ； ab、 abU（2）开关 合上后，求 点的电势；S（3）开关 合上时，流经 的电荷为多少？ S【解】（1） abU当开关 开启时，上面与下面的两个电容器均是S串联，等效电容均为1632()CF因此极板上电量的绝对值均为641010()qUC于是 点的电势分别为ab、41661020202();3330.7().1ababqVUV（2） 合上后的S此时，左边上下与右边上下两个电容均为并联， 等效电容均为122369()CF在外加电势差 不变的情况下，0V1()AaBU因此 为 b 0210().2ba V（3） 合上时流经 的电荷SSQ此时， 电容极板上的电量的绝对值为6F64
13、21010()qC而 电容极板上的电量的绝对值为36423()电荷的调节过程是：上左的 右面的负极板原带电荷是 ，开关 合上后带电荷是6F410CS，上右的 左面的正极板原带正电荷是 ，开关 合上410C3 410S后带正电荷是 ，那就是说，上面中 间的两极板原来的电荷之和为4100；而今两极板的电荷之和为 ，这些负电荷只4446103()C能来自下面两个电容器中间的两个极板，下左的 右面的负极板提供F，下右的 左面的正极板提供 ，因此，通 过开关 的41CF4210S13电荷从下到上的是负电荷，电量是 。4310()CP.209 第十一章 习题11-18、图示电阻网络中每个电阻均为 ，试求
14、与 两端之间的等效电阻。10xy【解】利用电路的对称性、基尔霍夫定律与欧姆定律求解本题利用对称性假设各支路电流如题图所示利用节点定律（即基尔霍夫第一定律）对节点 列出方程：a123.()ii对题图中左边的回路列出回路方程：132132()0.()iririi又对节点 列出节点定律：x.（1）+（2）得213.(4)ii将（4）代入（1），得： ，于是有3.5i5.(6)3i而 ，同时有2117(2).()33xyUriirir.8xyiR由（7）与（8）式，得157104().9#35xyirr11-21、图示的两个电路中。当开关 闭合时，分别求通S过开关 的电流。S【解】 当开关 闭合时，(
15、)a14上面 并联；下面 也并联(6,3)(3,6)等效电阻均为 2因此有3618().abcbdcUV于是 1286(),3IAI对节点 应用节点定律：c1231263().2IIA注：此时 ，为什么在 之路中还会有电流 呢？那是因为 ，0bcUbc30I0bcR的极限未必为 0！（下面会作严格的证明）当开关 闭合时，电路为一复杂电路，需用基尔霍夫定律来处理：()S注意到电路的对称性，纵向的 电阻上通过的电流相等，设为 ； 电阻上通31I6过的电流也相等，设为 ；横向的 电阻上通过的电流设为2I 3节点方程： 123130.()II回路方程（上回路）： 212360.(4)II回路方程（右回
16、路）： 1 .5I由方程 与 构成三元线性方程组，且方程数为 3，可用克拉姆法则处理：(3)4、 (5)系数行列式为 21 131 230()7.(6)0rD 3312(1)12().()于是通过横向电阻 的电流为R15312()7DIA补证： 中档横向电阻 时，在 中通过的电流为 3()a30R3()A将 中的基尔霍夫方程组作一相应的改造：b123 .()604.5II系数行列式为231 331333116660()202(4)rR RDD 3333116(6)322.()(4)IDR这就是图 中，中间横向支路通过的电流。330031limliR Aa11-22、（1）图示电路中，当开关 开
17、启时，求 两点间的电势差；Sb、（2）当开关 闭合时， 点的最终电势是多少？流经 的电量为多少？bS【解】（1）开关 开启时的SaU此时左边电路通，而电阻串联时电流相同，电阻两端的电压与电阻成正比，因此361().12aUV此时右路不通，相当于 的电池对8串联的电容充电，而电容串联时，由于两电容极板上的电量相同，因此电16容器极板间的电压与电容成反比，因此36218()3bFUV于是有().abb（2）当开关 闭合时的 及流经 的电量 S SSq此时 3186().4baFUV65666532().4107.2().603.()F FVUC 注意到，在开关 开启时， 电容器的下极板是“ ”极板
18、，而 电容S 3F器的上极版是“+”极板，且电量相等（那是因为串联电容器相连的两极板的电荷是靠自身调节而来的的，因此第一个电容器负极板上的电量总是与第二个电容器正极板上的电量相等，符号相反），即总电量为 0；如今总电量为5557.210.8.41()q C总也即当开关 闭合时，电源从电路的左边通过开关 流到右边的电量为S S5.4()C总12-24、如图所示，两根 导线 沿半径方向引到铁环上的 两D、点，并在远处与电源相接，求环心 的磁感应强度O【解】考察点为圆环的圆心 ，对该点的磁感应强度 OB有贡献的电流为圆弧电流，而直线电流没有贡献，理由是：考察点在直线电流流经点上。不妨设圆弧 对圆心
19、张的圆心角为 ，设圆弧 :CDO1对圆心 张的圆心角为 ；流经圆弧 的电流为 ，流经圆弧 的电流E2:CD1I:CED17为 ，于是，由 在 点产生的磁感应强度为 ，方向是2I1IO0101,24OIIBR垂直纸面向里；而由 在 点产生的磁感应强度为 ，方向2 ,:是垂直纸面向外，同时注意到：铁环是匀质的，故有:12,CDER而这两段圆弧是并联，故:12122CEDIIR于是120#OB12-32、半径为 的长导体圆柱，内部有两个直径 为 的圆柱形空腔，如 图所示。电流aaI从纸面流出并均匀分布在导体的截面上。试求 点与 点的磁感应强度。1P2【解】先计算内有两空腔的长直导体中的均匀分布的电流
20、密度 的大小j22()IIIjaS利用叠加原理计算 点与 点的磁感应强度：1P2（1） PB内有两空腔的电流=无空腔的电流+ 上空腔反向电流+下空腔反向电流三者电流密度大小相等。任何一场点的磁感应强度由三者产生的磁感应强度的矢量和令无空腔电流产生的磁感应强度为 ，上空腔反向电流产生的磁感应强度为OB下空腔反向电流产生的磁感应强度为 。1;B 2于是对 点而言，有P1822 20001001(); ();2()28()I I aaBajBjjarrrr2202002 ()() 8()Ijjaarrr11 22200001202()()().(1)(4PPBajjjrrrIr方向：沿着题图中 方向
21、。x（2） PB由题图可见，对 点而言，上下空腔 电流产生的磁感应强度大小相等，它 们的合2矢量方向沿着- 轴方向（见题图所示），其大小为y2 2 0 01 2()2cos( );4(aj jarrB Bar而此时由无空腔电流产生的磁感应强度的大小与在 点产生的一样（但方向不同），1P2 2000()2IajBjrr其方向沿着 轴方向（见题图所示），于是有y2222 22 000 02 (4) ()4()IjaPajrIrarrIB方向：沿着题图中 方向。y1912-33、如图所示，一无限 长圆 柱形导体管外半径为 ，1R管内空心部分的半径为 ,空心部分的轴与圆柱2R的轴平行，且相距为 。现有
22、电流 沿导体管内 aI流动，电流均匀分布在管的横截面上。求（1）圆柱轴线上磁感应强度 的大小；B（2）空心部分轴线上磁场 的大小；（3）空心部分各点磁场 的大小。【解】（1）圆柱轴线上磁感应强度 的大小B与 12-32 题相同的处理方法：有空腔的导体管电流=无空腔的导体管电流+空腔的反向电流产生的，两者的电流密度相同，仅方向相反电流密度大小为21()IjR无空腔导体管的电流 方向：垂直纸面向外（即 方向）；22111,()IRIjz空腔反向电流 方向向里（即- 方向）。2221,()IIjR z由于无空腔正向电流在其轴线上不产生磁感应强度（由安培环路定理很易证明这一点），因此空腔轴线上的场强仅
23、由空腔反向电流产生，即22200 011() .(1)()(O IRIRBjRjjjaaa方向：沿+ 轴方向（见题图所示，由右手螺旋法则确定）y（2）空心部分轴线上磁场 的大小20同样的理由，空腔反向电流在其轴线上不产生场强，因此空心部分轴线上的场强仅由无空腔的有效电流产生（因为产生场强的电流仅是无空腔电流中半径为 的那部a分电流有贡献），即12 200 02211()().()(O aIIBjajjRR方向：沿+ 轴方向（见题图所示，由右手螺旋法则确定）y（3）空心部分各点磁场 的大小空腔内任意一点 ，且P12,OrP设无空腔电流在场点 产生的场强 ，空腔反向电流产生的场强为 ，则有1B2B
24、 2 200 0111 1221()()(.(3)(IrIBjrrRR 2 200 022 211()()(.(4)(IIjrr二者的方向见题图所示，它们的夹角为图中 的补角，即:2,B它们的合矢量由平行四边形的相加法则求出：2112 cos.(5)BB同时有2222 111cos.(6)ararr将（6）式代入（5）式，得222 111222200112211()()()arBBIrIBarRR注意到 02211()IBr21因此有 222 1112222000122211122 2()()()().7arBBIrIIarRRRar表明：空腔内一点的磁场的大小与位置无关！而且还可以证明，其方向也与场点的位置无关。证明如下：注意到： 12112, ,BOPBP而 2同时， ，因此有 01221()IrR 1212POBOPB:又因为 21111DDPO也就是说 轴，于是有1/By021()IajR表明：在空腔内的磁场不仅大小与场点位置无关，而且方向也与场点位置无关，是一常矢量！
