第五章 留数理论及其应用,5.3 用留数定理计算实积分,学习要点,利用留数定理计算实积分的步骤：,将实积分化成闭合回路的复积分,利用留数定理,计算留数,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 .,包围在单位圆周内的诸孤立奇点.,解,则,解,令,极点为 :,(在单位圆内),2. 积分区域的转化:,1. 被积函数的转化:,根据留数定理得 :,从而:,解,例4,解：,约当引理,对于充分大的 , 且 时, 有,从而,由留数定理:,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,例6 计算积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点, 所以可取图示路线:,解,封闭曲线C:,由柯西-古萨定理得:,由,当 充分小时, 总有,即,例7,证,如图路径，,令两端实部与虚部分别相等，得,菲涅耳(fresnel)积分,本课我们应用“围道积分法”计算了三类实积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.,四、小结与思考,思考题,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,
