1、第 12 章 动能定理 143143第 12 章 动能定理一、是非题(正确的在括号内打 “”、错误的打“”)1圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。 ( )2理想约束的约束反力做功之和恒等于零。 ( )3由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。 ( )4弹簧从原长压缩 10cm 和拉长 10cm，弹簧力做功相等。 ( )5质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。 ( )6三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出，一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。 ( )7动能定理的方程是矢量式。 ( )8弹
2、簧由其自然位置拉长 10cm，再拉长 10cm，在这两个过程中弹力做功相等。( )二、填空题1当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 。2在理想约束的条件下，约束反力所做的功的代数和为零。3如图 12.19 所示，质量为 的均质杆 ，一端铰接在质量为 的均质圆轮的轮1mOA2m心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动，若轮心的速度为 ，则系统的动能ov。T202014vm4圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为 ，另一端连接一重量为 的重物，如图kP12.20 所示。初始时弹簧为自然长，当重物下降为 时，系统的总功 。hW21khOv Ak P h O 图 12.19 图 12.
3、205如图 12.21 所示的曲柄连杆机构，滑块 A 与滑道 BC 之间的摩擦力是系统的内力，设已知摩擦力为 F 且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为 。Fr46平行四边形机构如图 12.22 所示， ， ，曲柄 以角速度rBO21 B21/AO1转动。设各杆都是均质杆，质量均为 m，则系统的动能 T = 。 65m理论力学1441447均质杆 AB，长为 l，质量为 ，A 端靠在墙上，B 端以等速率 沿地面运动，如mv图 12.23 所示。在图示瞬时，杆的动能为 。29v r O B C A B O1 A O2 图 12.21 图 12.228在图 12.24 中，均质摆杆 OA，质量为 ，
4、长 ；物块 B 的质量为15kgmml.，由杆 OA 通过套筒带动在水平面内运动。设图示瞬时，杆 OA 的角速度215kgm， ，则杆 OA 的动能为 ，滑块 B 的动能为 。rads/09mh. J2. J075.6图 12.23 图 12.24三、选择题1若质点的动能保持不变，则 C 。(A) 其动量必守恒 (B) 质点必做直线运动(C) 质点必做匀速运动 (D) 质点必做变速运动2汽车靠发动机的内力做功， D 。(A) 汽车肯定向前运动 (B) 汽车肯定不能向前运动(C) 汽车动能肯定不变 (D) 汽车动能肯定变3如图 12.25 所示，半径为 、质量为 的均质滑轮上，作用一常力矩 ，吊
5、升一R1mM质量为 的重物，则重物上升高度 的过程中，力矩 的功 = A 。2mhMW(A) (B) (C) (D) 0hMR2mg2gh4均质圆盘质量为 m，半径为 R，在水平面上作纯滚动，设某瞬时其质心速度为 ，0v则此时圆盘的动能是 B 。(A) (B) (C) (D) 201v2034v203mv20mvAB v A 60 30 O B h A 第 12 章 动能定理 1451455如图 12.26 所示，三棱柱 B 沿三棱柱 A 的斜面运动，三棱柱 A 沿光滑水平面向左运动。已知 A 的质量为 ，B 的质量为 ；某瞬时 A 的速度为 ，B 沿斜面的速度为 。1m2 1v2v则此时三棱
6、柱 B 的动能 T = D 。(A) (B) 21v21()v(C) (D) 21()22cosinvO M R 1v 2v A B 图 12.25 图 12.266如图 12.27 所示，两均质轮质量为 ，半径均为 ，用绕在两轮上的绳系在一起。mR设某瞬时两轮的角速度分别为 和 ，则系统的动能 T = D 。12(A) 21mR(B) 2R(C) 2 2121m(D) 21mR四、计算题12-1 摆锤质量为 m，摆长为 ，如图 12.28 所示。求摆锤由点 A 至最低位置点 B，以0r及由 A 点经过最低位置点 B 到点 C 的过程中摆锤重力所做的功。解：根据重力做功的公式，摆锤由点 A 至
7、最低位置点 B，摆锤重力所做的功为)cos1()cos(00mgrrgWA摆锤由 A 点经过最低位置点 B 到点 C 的过程中摆锤重力所做的功为 ininC12-2 重量为 的刚体在已知力 的作用下沿水平面滑动，力 与水平面20N5NFF夹角 。如接触面间的动摩擦系数 ，求刚体滑动距离 时，作用于刚30.2f30ms体各力所做的功及合力所做的总功。解：计算滑动摩擦力 NmgfFNd 5)sin50(.)sin( o刚体滑动距离 时，滑动摩擦力所做的功为30s)1305JWdd O 1 R R 2 图 12.27理论力学146146主动力 所做的功为F)(4.12903cos053cos JFW
8、其它力不做功。合力所做的总功为)(.WdF、12-3 弹簧原长为 ，刚度系数为 ，一端固定，另一端与质点 相连，0l1960Nmk/M如 图 12.29 所 示 。 试 分 别 计 算 下 列 各 种 情 况 时 弹 簧 力 所 做 的 功 。 (1) 质 点 由 至 ； (2) 1质点由 至 ；(3) 质点由 至 。M33M1 O r0 C B A gm O 2cm 2cm 3cm l0 M1 M2 M3 x 图 12.28 图 12.29解：根据弹力做功的公式，计 算 下 列 各 种 情 况 时 弹 簧 力 所 做 的 功 。（ 1） 质 点 由 至 ， 弹 簧 力 所 做 的 功 为1M
9、2)(06.2)5.02.(196)(21 JkW（2）质点由 至 ，弹 簧 力 所 做 的 功 为23 )(.).(.)( 2223（3）质点由 至 ， 弹 簧 力 所 做 的 功 为31 0.)0.(2196)(223 k12-4 计 算 图 示 各 物 体 的 动 能 。 已 知 物 体 均 为 均 质 ， 其 质 量 为 ， 几 何 尺 寸 如 图 12.30 所m示 。 (a) O A l (d) R C v (b) O R C (c) O R 图 12.30解：（a）杆子作定轴转动，它的动能为2226131mllJTO第 12 章 动能定理 147147（b）圆盘绕 O 点作定轴转
10、动，它的动能为222431mRJT（c）圆盘绕 O 点作定轴转动，它的动能为2221（d）圆盘在水平面上作纯滚动，它的动能为2222 43)(11 CCC mvRmvJvT 12-5 如图 12.31 所示，与弹簧相连的滑块 ，可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和弹M簧都在同一铅直平面内。已知滑块的重量 ，弹簧原长为 ，弹簧刚度系0NW15cl数 。求滑块 从位置 A 运动到位置 B 过程中，其上各力所做的功及合力的40Nmk/M总功。解：根据重力做功的公式，滑块 从位置 A 运动到位置 B 过程中，重力所做的功为)(10.Jh、根据弹力做功的公式，滑块 从位置 A 运动到位置 B 过程中，弹力所做
11、的功为)(22kW、而 ， ，代入上式，可得mA16.05.103.2 mB05.1.0)(3.)6(4)( 2JkA、合力的总功为03.15J、12-6 长为 、质量为 的均质杆 以球铰链 固定，并以等角速度 绕铅直线转动，l O如图 12.32 所示。若杆 与铅直线的夹角为 ，试求杆的动能。 B 20cm10cm O A M O A x x dx 图 12.31 图 12.32解：将杆分成许多微段，先计算微段的动能dxlmxxdlxvlmdT2sin)sin(212整个杆子的动能为6sii0llll理论力学14814812-7 摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。为测定动摩擦系数，把料
12、车置于斜坡顶 处，让其无初速度地下滑，料车最后停止在 C 处，如图 12.33 所示。已知A，试求料车运行时的动摩擦系数 。12hs、 f解：料车在坡顶 处无初速度地下滑最后停止在 C 处，在该过程中重力和摩擦力均要做功，由动能定理，可知它们做功的和等于零。料车在坡顶 处下滑到 C 处，重力所做的功为Wh、式中 为料车的重力。而料车在坡顶 处下滑到 C 处，摩擦力所做的功为WA221cosfsf、而 ，即摩擦力所做的功为121cossh 21ff、由动能定理可知，合力的功为零，即0)(sfWhW、解得21sf12-8 如图 12.34 所示，一不变力偶矩 作用在绞车的均质鼓轮上，轮的半径为 ，
13、Mr质量为 。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为 的重物，此重物沿倾角为 的斜面上1mm升。设初始系统静止，斜面与重物间的摩擦系数为 。试求绞车转过 后的角速度。f A h 1s 2s B C M B A v g2 yF NFd g1m x 图 12.33 图 12.34解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。绞车转过 ，重物向上滑动的距离。在此过程中，作用在鼓轮上的力偶矩 所做的功为 ，滑动摩擦rs MMW力所做的功为 ，重物重力所做的功为 ，而其cos2grfmsFWd sin2grfm、它的力均不做功。故绞车转过 后，系统所受的全部力做功的和为)sinco(2frMi初始系统静止
14、，系统的动能 。设绞车转过 后的角速度为 ，则重物沿斜面上01T升的速度为 ，此时系统的动能为r21222 )(4rmrmrT由动能定理 ，有iW1第 12 章 动能定理 149149)sinco()2(412fgrmMrm解得绞车转过 后的角速度为)()is212fr12-9 两均质杆 和 各重为 ，长为 ，在点 由铰链相连，放在光滑的水平面ACBPlC上，如图 12.35 所示。由于 和 端的滑动，杆系在铅垂平面内落下。设点 初始时的高C度为 ，开始时杆系静止，试求铰链 落地时的速度大小。hh A P B NFN A C B v 图 12.35 解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。设点
15、 由高度 下落到地面时的速度为Ch，而此时 和 两点的速度均为零。即 落到地面时，杆 和 的速度瞬心分别为vABAB和 两点。杆 和 的角速度为ClvBCA由于开始时杆系是静止的，即系统初始时的动能 ，铰链 落到地面时，系统的动能01T为22223vgPJTBCA点 由高度 下落到地面时，系统所受的全部力做功为ChhWi2由动能定理 ，有iT12Pvg3解得铰链 落地时的速度Ch12-10 两均质杆 和 用铰链 相连，杆的 端放在光滑的水平面上，杆的 端ABOBAO为固定铰支座，如图 12.36 所示。已知两杆的质量均为 ，长均为 ，在杆 上作用一mlAB不变的力偶矩 ，杆系从图示位置由静止开
16、始运动。试求当杆的 端碰到铰支座 时，M杆 端的速度。A理论力学150150 AO B M gm NF xF y g v A O B A v v P AO B A Avv P 图 12.36解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。运动过程中，杆 绕定轴转动，杆B作平面运动。由点 、B 的速度方向，可知杆 的速度瞬心如图所示。点 B 的速度ABAB为 OPvAB由于 ，所以 。当杆的 端碰到铰支座 时， 、B 、 三点共lOPOA PA线。点 的速度为 lAB2初始时杆系是静止的，即系统初始时的动能 。杆的 端碰到铰支座 时，系统的动01TAO能为2221OBABPJT 2234)()3( ml
17、llml 杆的 端碰到铰支座 时，系统所受的全部力做功为AO)cos1()cos2( glMlgMWi由动能定理 ，有iT12)s(342mll解得两杆转动的角速度为 gll )co1(21解得杆的 端碰到铰支座 时，杆 端的速度AOAmlMlv)s(312-11 如图 12.37 所示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重为 W1，长为 r，连杆重为W2，长为 l，滑块重为 W3，曲柄及连杆均可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩 M，当 AOB = 时，A 点的速度为 ，求当曲柄转至水平向右位置时 A 点的速度。90v第 12 章 动能定理 151151A B O v v A B O M v
18、 v NF 1W 2 3 y x 图 12.37 解：选整个系统为研究对象，受力及运动分析如图所示。在运动的初始时刻，曲柄作定轴转动，连杆作瞬时平动，滑块作平动。当曲柄转至水平向右位置时，由 及 方向，AvB根据速度投影定理可知 ，即 点为连杆的速度瞬心。通过上面分析，我们可以先计0Bv算两位置系统的动能：232123221 61)( vgWvgWrJTO 2)(AABAlJv在曲柄由AOB = 位置转至水平向右位置的过程中，各力做功之和为902Mi由动能定理 ，有iWT122636121 vgWvgA解得 A 点的速度为213)(3A12-12 带式输送机如图 12.38 所示，物体 A 重
19、量为 W1，带轮 的重量均为 W，CB、半径为 R，视为均质圆盘，轮 B 由电动机驱动，其上受不变转矩 M 作用。系统由静止开始运动，不计传送带的质量，求重物 A 沿斜面上升距离为 s 时的速度和加速度。 C A B M 1W xF y xF y C A B v 图 12.38解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。重物 A 沿斜面上升距离为 s时，带轮 转过的角为 。此过程中，各力做功的代数和为CB、 Rs理论力学152152sWRMsWi )in(in11初始时系统是静止的，即系统初始时的动能 。重物 A 沿斜面上升距离为 s 时，0T假设重物 A 的速度为 ，则系统的动能可表示
20、为Av2122212 CBAvgJgT由动能定理 ，有i12（1）sWRMvA)in(121解得重物 A 沿斜面上升距离为 s 时的速度为gA1)i/(如果对（1）式两边同时对时间求导数，可得重物 A 沿斜面上升距离为 s 时的加速度为gWRMaA1sin/12-13 如图 12.39 所示两个相同的均质滑轮，半径均为 R，重量均为 W，用绳缠绕连接。如动滑轮由静止落下，带动定滑轮转动，求动滑轮质心 C 的速度 与下落距离 h 的v关系并求点 C 的加速度 。Ca O h Cv C A B W xF y O A BF x y Ca C B W 图 12.39解：分别选整体和两滑轮为研究对象，受
21、力和运动分析如图所示。设动滑轮由静止落下距离 h 时，动滑轮质心 C 的速度为 ，此时两轮的角速度分别为 和 ，角加速度CvOC分别为 和 。OC（1）对于均质滑轮 应用定轴转动微分方程，有ABOOFRgWJ21对于均质滑轮 ，根据平面运动微分方程，有BACC2Fag选绳索为动系，对均质滑轮质心 应用点的复合运动加速度合成定理有第 12 章 动能定理 153153COCRa其中： ，联立求解可得 ， 。由于系统初始静止，两轮均BAFg54g52由静止开始且以等角加速度转动，所以在任意时刻，两轮转动的角速度相等，即有CO（2）对于整个系统，应用动能定理，有WhJvgWOC22211（1）选绳索为
22、动系，对均质滑轮质心 应用点的复合运动速度合成定理有 )(COCBRv这样，（1）式可写为hggRg OO2222 4141)(1解得5hRC动滑轮质心 C 的速度 为v8gvC12-14 均质杆 的质量为 ，其两端悬挂在两条平行等长的绳子上，如图AB4km12.40 所示。杆 处于水平位置，设其中一绳突然断了，试求此瞬时另一绳的张力。解：选均质杆 为研究对象，受力及运动分析如图所示。绳断开瞬间， ， ， 端只有切0ABvA向加速度 ，法向加速度 。以点 为基点，Aa2Can由 作质心 的加速度合成图。杆OyOx作平面运动，应用平面运动微分方程，有BTyFmga212llAB补充运动学方程，有
23、ABOyla2联立求解，可得另一绳的张力为图 12.40DCBA mgOAaO ATFayx理论力学154154)(8.941NmgFT12-15 均质杆 可绕水平轴 转动，另一端铰接一圆盘，圆盘可绕铰 在铅垂平内OA A自由旋转，如图 12.41 所示。已知杆 长为 l，质量为 ，圆盘的半径为 ，质量为 。A1R2m摩擦不计，初始时杆 水平，且杆和圆盘静止。试求杆 与水平线成 角时，杆的角速OA度和角加速度。解：以系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。系统初始静止，其动能。当杆 与水平线成 角时，杆 的角速度为 。因圆盘作平动，故系统的动01TA能为2221AOvmJT将 ， 代入上式
24、，得213lmJOOAlv212)6(OAl杆 从水平位置转动到与水平线成 角的过程中，系统所受的全部力做功为Asinsi21glmlgWi由动能定理 ，有iT12sisi)26( 2121 lllmOA（1）解得杆的角速度为sin3621lgOA将（1）式对时间求导数，得杆的加速度为cos21lm12-16 如图 12.42 所示，半径为 ，质量为 的圆轮 I 沿水平面作纯滚动，在此轮上r1绕一不可伸长绳子，绳的一端绕过滑轮 II 后悬挂一质量为 的物体 M，定滑轮 II 的半径3为 ，质量为 ，圆轮 I 和滑轮 II 可视为均质圆盘。系统开始处于静止。求重物下降 h2r2m高度时圆轮 I
25、质心的速度，并求绳的拉力。 OxF A 1mg O A 2g y M TF 3mg a 2r I M C 1r I y g 2 1 x 3 N s v v 第 12 章 动能定理 155155图 12.41 图 12.42解：分别选整体和物体 M 为研究对象，受力及运动分析如图所示。系统初始静止，其动能 。重物下降 h 高度时设重物下降的速度为 ，则圆轮 I 和滑轮 II 转动的角速01T v度分别为 ， ，圆轮 I 质心的速度为 。此时系统的动能为2rv2r21rC32121 vmJvmTC3463重物由静止开始下降 h 高度的过程中，系统所受的全部力做功为ghWi3由动能定理 ，有iT12
26、mvm3221)463(（1）解得重物的速度为321843ghv圆轮 I 质心的速度为321mC将（1）式对时间求导数，得到重物的加速度为321843ga对重物 M 应用质点运动微分方程，有aFmT解得绳的拉力为 321384)(mggT12-17 如图 12.43 所示机构中，滚轮和鼓轮均为均质体，质量分别为 ，半径均12m、为 R，斜面倾角为 ，如不计绳子的质量和滚动摩擦，滚轮 C 在斜面上作纯滚动。今在鼓轮上作用一力偶矩 M。试求： (1) 鼓轮的角加速度；(2) 轴承 O 的约束反力。解：不妨设系统初始是静止的，这样初始系统的动能 。在鼓轮上作用一力偶矩01TM 后，设鼓轮转过 角后其
27、转动角速度为 ，滚轮质心 C 的向上运动速度为 ，22RvC滚轮转动角速度 ，系统的动能为21RvC212211 )43(RmJmTOC鼓轮转过 角的过程中，系统所受的全部力做功的代数和为理论力学156156sin1gRmMWi由动能定理 ，有iT12 si)43( 121上式两边同时对时间求导数，可得212)3(sinRmg对鼓轮应用刚体定轴转动微分方程，有FMJTC2解得绳子拉力为RgT)3(sin21对鼓轮应用质心运动定理，有0cosTOxFin2ygm解得轴承 O 的约束反力为RgMTx )3()2sins6cs11i(22gFOy12-18 如图 12.44 所示的系统中，物块及两均
28、质轮的质量为 ，轮半径为 。轮 上mRC缘缠绕一刚度系数为 的无重弹簧，轮 在地面上作无滑动地滚动。初始时，弹簧无伸长，kC此时在轮 上挂一重物，试求当重物由静止下落为 时的速度和加速度，以及轮 与地面h间的摩擦力。 M O C yF 1mg 2 1 x g NF s v M O y 2 x m T OyF 1 x NF s Cv mg 2 M C k v g 1 N s T m C 图 12.43 图 12.44解：分别选整体和轮 为研究对象，受力及运动分析如图所示。系统初始静止，其动C能 。重物下降 h 高度时设重物下降的速度为 ，则圆轮 I 和滑轮 II 转动的角速度分01T v别为 ，轮 C 质心的速度为 。此时系统的动能为Rv2RvC12222 31mvJmTO重物由静止开始下降 h 高度的过程中，系统所受的全部力做功为第 12 章 动能定理 15715722)(1khgkghmWi 由动能定理 ，有iT12（1）223v解得重物的速度为mkhg3)(2将（1）式对时间求导数，得到重物的加速度为a4对轮 C 应用刚体平面运动微分方程，有FRJsC1解得 6342mgkhaFs
