1、 行列式计算 7 种技巧 7 种手段编者:Castelu【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为 det(A).本质上,行 列 式 描 述 的 是 在 n 维 空 间 中 ,一 个 线 性 变 换 所 形 成 的 平 行 多 面体 的 体 积 ,它 被 广 泛 应 用 于 解 线 性 方 程 组 ,矩 阵 运 算 ,计 算 微 积 分 等 .鉴 于 行 列 式 在 数 学各 领 域 的 重 要 性 ,其 计 算 的 重 要 性 也 不 言 而 喻 ,因 此 ,本 人 结 合 自 己 的 学 习 心 得 ,将 几 种常 见 的 行 列 式 计
2、算 技 巧 和 手 段 归 纳 于 此 ,供 已 具 有 行 列 式 学 习 基 础 的 读 者 阅 读一 .7 种 技 巧 :【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧 1:行列式与它的转置行列式的值相等 ,即 D=DT121211221212nnnnnnaaa 技巧 2:互换行列式的任意两行 (列),行列式的值将改变正负号121212211212nnnnnnaaa 技巧 3:行列式中某一行(列) 的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面112112122 212
3、12nninnnnnbabaab 技巧 4:行列式具有分行(列) 相加性1121121121121212nnnttttttttttttnnnnnnnaaaaabcbcbccaaaaa 技巧 5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数 k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变 12111211212n nssstststtttntt tnn nnaaaakkaaaa 技巧 6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积11111110mmnmnnnnaabcb 技巧 7:拉普拉斯按一行(列)展开定理 行列式等于它的任一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 1 1
4、(,2)(,2)n nik kjDaAaAn 二 .7 种 手 段 :【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段 1:对于 2 阶行列式和 3 阶行列式 ,可以直接使用对角线法则进行计算,11212aa13221231231231231231233 aaaaa手段 2:对于 4 阶以上的行列式 ,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件 )定义: 121212121()12 nnnnppppnnaaa 运用数学软件 Matlab
5、 按定义计算 4 阶行列式: syms a b c d e f g h i j k l m n o p A=a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,pA = a, b, c, d e, f, g, h i, j, k, l m, n, o, p det(A)ans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*
6、h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段 3:上三角行列式,下三角行列式 ,主对角线行列式,副对角线行列式, ,12120ninaa 12110ninnaa,1212()nn 其 余 未 写 出 元 素 均 为 零1(1)22()nnn 其 余 未 写 出 元 素 均 为 零手段 4:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零 0aeibfjcgkdhl手段 5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00aeibfjcgkdhl手段 6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零 0akeibfjcgdhl手段 7:范
7、德蒙德(Vandermonde)行列式1221112()nijijnnxxx三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的 7 种技巧和 7 种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用 7 种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用 7 种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用 7 种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用 7 种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用计算下列行列式的值:习题 1:120438解答: 120412(4)30(1)032(1)8(4)138手段 1习题 2:0bfda
8、ce解答: 123412341234()123412343124300 ,()(),0()ppppbfdaacepbfdaabcdace观 察 行 列 式 中 元 素 的 位 置 及 由 级 排 列 中 各 数 不 能 相 等 知因 此手段 2习题 3:1234567890解答: 21431156785709093c技巧 5,手段 4习题 4:33xx解答:41221344233333133010ixxxcxxxrxxrx技巧 2,技巧 3,技巧 5,手段 3习题 5:121342314234abab解答:12134231423423123141231414 324 4 4,ababababa
9、bab按 第 一 列 展 开 12314212311231424242342341414 12,0,( bababbDaa由 于 行 列 式 和 有 两 行 元 素 成 比 例 因 此 值 为 3 23424142 212414323441421323434 )()( )()( baabbbaba 3141iiibab技巧 7,手段 1,手段 6习题 6:444443333322222(1)()()()111aaa解答:432122225 333344444432143212222,11()()()()()11()()()(3)()()aaaDaaa将 行 列 式 上 下 翻 转 后 再 左
10、右 翻 转 不 难 得 3344441!8技巧 2,手段 7习题 7: 12211000nnxxaa解答: 11112231221121,0()01,nnnnn nnnnDxxaxDxaxaxDa 按 第 一 列 展 开 得 的 递 推 公 式将 上 述 各 式 的 两 边 分 别 乘 以 后 全 部 相 加 并 化 简 得 :技巧 7,手段 3习题 8:()abcd 其 余 未 写 出 元 素 均 为 零解答: 22()212(1)2(1) 221,3,2,0010()()nnn nnnnDnabcdbDacdDadbDabDadbc 将 中 的 第 行 依 此 与 第 行 行 第 行 对 调再 将 第 列 依 此 与 第 列 列 第 列 对 调 得技巧 2,技巧 6数学之家荣誉出品
