1、高等数学教案 第五章 定积分1第五章 定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数 yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线 xa、xb、
2、y0 及曲线 yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b中任意插入若干个分点ax0 x1 x2 xn1 xn b 把a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 它们的长度依次为 x1 x1x0 x2 x2x1 xn xn xn1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 在每个小区间xi1 xi 上任取一
3、点 i 以x i1 xi 为底、f (i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i1 2 n) 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即Af (1)x1 f (2)x2 f (n )xn iixf1)(求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边高等数学教案 第五章 定积分2梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记maxx1 x2 xn 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为
4、niixfA10)(lm2 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S 求近似路程 我们把时间间隔T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔t i 在每个小的时间间隔t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔t i 内某点 i 的速度 v(i) 物体在时间间隔 ti 内 运动的距离近似为 Si v(i)ti 把物体在每一小的时间间隔 ti 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干
5、个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n1 t nT 2 把T 1 T 2分成 n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n1 t n 各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n 在时间间隔t i1 t i上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i 时刻的速度 v( i)来代替 t i1 t i上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即 S i v( i)t i (i1 2 n) 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即 niit
6、1)(求精确值 记 max t 1 t 2 t n 当 0 时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程 niitvS1)(lm设函数 yf(x)在区间 a b上非负、连续 求直线 xa、xb、y 0及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0x1x2 xn1xn b 把区间 a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 记x ixixi1 (i1 2 n)(2)任取 ixi1 xi 以 xi1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为高等数学教案 第五章 定积分3(i1 2 n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为ixf) iixfA1(3)记 ma
7、xx1 x2 xn 所以曲边梯形面积的精确值为 iif10)(lm设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S (1)用分点 T1t0t1t2 t n1tnT2 把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小时间段 t 0 t1 t1 t2 tn1 tn 记 ti titi1 (i1 2 n)(2)任取 iti1 ti 在时间段 ti1 ti内物体所经过的路程可近似为 v(i)ti (i1 2 n) 所求路程 S 的近似值为 niitv1)(3)记 maxt1 t2 tn 所求路程的精确值为 iivS10)(l
8、m二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数 f(x)在a b 上有界 在a b 中任意插入若干个分点a x0 x1 x2 xn1 xnb 把区间a b 分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 xn1 xn 各小段区间的长依次为x1x1x0 x2x2x1 xn xn xn1 在每个小区间x i1 xi上任取一个点 i (xi1 i xi) 作函数值 f ( i)与小区间长度 xi 的乘积高等数学教案 第五章 定积分4f ( i)xi (i1 2 n) 并作出和 niixfS1)(记 maxx1 x2 xn 如果不
9、论对 a b怎样分法 也不论在小区间x i1 xi上点 i 怎样取法 只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间a b上的定积分 记作 badf)(即 niixfx10)(lm其中 f (x)叫做被积函数 f (x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 定义 设函数 f(x)在 a b上有界 用分点 ax0x1x2 xn1xnb 把a b分成 n 个小区间 x 0 x1 x1 x2 xn1 xn 记x ixixi1(i1 2 n)任 ixi1 xi (i1 2 n) 作和 iifS1记
10、 maxx1 x2 xn 如果当 0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和 i 的取法无关 则称这个极限为函数 f(x)在区间a b上的定积分 记作 bdxf)(即 niibafdxf10lm)(根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 badxfA)(变速直线运动的路程为 dtvST)(21说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 bababaduftfdxf )()()(2)和 通常称为 f (x)的积分和 niixf1)(3)如果函数 f (x)在 a b上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间a b 上可积 函数 f(x)在a b上满足什
11、么条件时 f (x)在a b 上可积呢？定理 1 设 f (x)在区间a b 上连续 则 f (x) 在a b 上可积 定理 2 设 f (x)在区间a b 上有界 且只有有限个间断点 则 f (x) 在a b上可积 高等数学教案 第五章 定积分5定积分的几何意义 在区间a b上 当 f(x) 0 时 积分 在几何上表示由曲线 yf (x)、两条直线badxf)(xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 f(x)0 时 由曲线 y f (x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 baniiniiba dfffdf
12、 )()(lm)(l)( 1010当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分 的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形badf)(及两条直线 xa、x b 之间的各部分面积的代数和 用定积分的定义计算定积分 例 1. 利用定义计算定积分 dx210解 把区间0 1分成 n 等份分点为和小区间长度为(i1 2 n1) (i1 2 n) nxi i取 (i1 2 n)作积分和iiiniixf1211()
13、)12(633nni )12(6n因为 当 0 时 n 所以31)2(16lim)(li10210 nxfdxnni利定积分的几何意义求积分:例 2用定积分的几何意义求 10)(dx解: 函数 y1x 在区间0 1上的定积分是以 y1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以2)(0d高等数学教案 第五章 定积分6三、定积分的性质两点规定 (1)当 ab 时 0)(adxf(2)当 ab 时 abxff)(性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和 (差) 即 aaba dgfdxgf )()
14、(证明: baf)(ni iixf10)(lmniiniigf1010)(l)(l babadxxf)()(性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即babadfkxf)()(这是因为 niibaxff10)(lm)( baniidxfkxfk)()(l10性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 bccaba dxfxfdf )()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式cba dxfxfdf )()()(成立 例如 当 ab 积分中值公式都成立 高等数学教案 第五章 定积分95 2
15、微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t) 速度为 vv(t) S(t)(v(t)0) 则在时间间隔T 1 T2内物体所经过的路程 S 可表示为及 )(Sdtv)(21即 221dtvT上式表明 速度函数 v(t)在区间 T1 T2上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在区间 T1 T2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 f(x)在区间a b上连续 并且设 x 为 a b上的一点 我们把函数 f(x)在部分区间a x上的定积分dfa)(称为积分上限的函数 它
16、是区间a b 上的函数 记为(x) 或(x ) fadtf(定理 1 如果函数 f(x)在区间a b 上连续 则函数(x) a在a b上具有导数 并且它的导数为(x) (ax0 则同理可证 (x) f(a) 若 xb 取x0 证明函数 xdtfF0)(在(0 )内为单调增加函数 证明 故)() 0xfdtfx )(0xfdtfx20)()xtftfF 20)(xtf高等数学教案 第五章 定积分12按假设 当 0tx 时 f (t)0 (xt)f (t) 0 所以 )(0dtfx)d从而 F (x)0 (x0) 这就证明了 F (x) 在(0 )内为单调增加函数 例 7. 求 21cos0lim
17、tex解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 exxdtexdtex21sinlmlili22 cos0cos101cos0 提示 设 则 t12)( tcos12)( xuxt exedxuxded 222 coscos1 in)i()cos 高等数学教案 第五章 定积分135 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数 f(x)在区间a b 上连续 函数 x(t)满足条件 (1)()a ()b (2) (t)在 (或 )上具有连续导数 且其值域不越出a b 则有 dttfdxfa)()(这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知 f(x )在区间a b 上是连续 因而是
18、可积的 f (t)(t)在区间 (或 )上也是连续的 因而是可积的 假设 F(x)是 f (x)的一个原函数 则F(b)F(a) dxfba另一方面 因为F (t)F (t)(t) f (t)(t) 所以 F(t)是 f (t)(t)的一个原函数 从而F( )F( )F(b)F(a) dttf)(因此 ttfdxfba)()(例 1 计算 (a0) 02解 0sin2 cos tddxat令20)1(coat 024sin1tta提示 dxa cos t 当 x0 时 t0 当 xa 时 txcos2 2t例 2 计算 xdsinco520解 令 t cos x 则xcossi520520 6
19、1 01co tdttx令提示 当 x0 时 t1 当 时 t0 2高等数学教案 第五章 定积分14或 xdxdcossinco520520 6106161 例 3 计算 053sindx解 xx|cos|iisn2302203ncodd3siisiinxx 54)(i5i220提示 |cos|insi1(insin2333 xxx在 上|cos x|cos x 在 上|cos x |cos x 2 ,0 ,例 4 计算 d41解 31231220 )( dttdtx令 )(97(31t提示 dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 2tx例 5 证明 若 f (x)在a a上连续且
20、为偶函数 则 ad0证明 因为 dxfxfxfaaa )()()(0而 at ftftfdf 000 )( 令所以 aaa dxfxfxf00)()()( aaxffff 0)(2讨论 高等数学教案 第五章 定积分15若 f(x)在a a上连续且为奇函数 问 ？ adxf)(提示 若 f (x)为奇函数 则 f (x)f (x) 0 从而 )(0aadfd例 6 若 f (x)在0 1上连续 证明(1) 2020)(cossinxf(2) in )(ddxf证明 (1)令 则t2dtfdxf )2sin()(sin0200coixftf(2)令 x t 则 0 )sin()()(sindtft
21、df0sii tfttft0)(sin)(sidttftf 0iixfxf所以 0)(sn2 )(snddx例 7 设函数 计算 01 cos)(2xxef 41)2(dxf解 设 x2 t 则 20012141 cs)()( tedtdtff tantan4002et提示 设 x2t 则 dxdt 当 x1 时 t1 当 x4 时 t2 高等数学教案 第五章 定积分16二、分部积分法设函数 u(x)、v (x)在区间a b 上具有连续导数 u(x)、 v(x) 由(uv)uv u v得 u vu vuv 式两端在区间 a b上积分得 或 ddbaba vdbaa这就是定积分的分部积分公式分部
22、积分过程 vdxuvdudxvubababa例 1 计算 darcsin210解 xi xdxarcsini21021062)(xd 2103例 2 计算 dxe解 令 则t10102tdext10 2dtet t例 3 设 证明20sinxdI(1)当 n 为正偶数时 2143nI(2)当 n 为大于 1 的正奇数时 5I证明 20sixdIn201cossixdn高等数学教案 第五章 定积分17201 1sincosincoxdx20i)(20)sin(i)dxsin1(sin1xdxd(n1)I n 2(n1)I n 由此得 21nI 02 21435Imm 11I 而 20dxsin2
23、0xd因此 21435212 mIm1例 3 设 (n 为正整数) 证明20sixdIn214351mm212 I证明 0sinxd01cossinxd2022 in)(icoxd20sin(i)1dxn20i)1(in(n1)I n 2(n1)I n 由此得 1I高等数学教案 第五章 定积分1802 214351ImIm11 特别地 20dxIsin201xdI因此 14352 mm21I高等数学教案 第五章 定积分195 4 反常积分一、无穷限的反常积分定义 1 设函数 f(x)在区间a ) 上连续 取 ba 如果极限 dxf)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a ) 上的
24、反常积分 记作 即dxfa)( dxfdxfba)(li(这时也称反常积分 收敛dxfa)(如果上述极限不存在 函数 f(x)在无穷区间a )上的反常积分 就没有意义 此时dxfa)(称反常积分 发散 dxfa)(类似地 设函数 f(x)在区间( b 上连续 如果极限(a0) 0dte解 00 1tptptde01dtet2ptpt高等数学教案 第五章 定积分21 2211limpepttt 提示 0lilili tttpte例 3 讨论反常积分 (a0)的敛散性 dxpa1解 当 p1 时 lnax当 p1 时 11 p因此 当 p1 时 此反常积分收敛 其值为 当 p1 时 此反常积分发散
25、 a二、无界函数的反常积分定义 2 设函数 f(x)在区间(a b 上连续 而在点 a 的右邻域内无界 取0 如果极限dxfbtat)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在(a b 上的反常积分 仍然记作 即dxfba)( xfdxfbtat)(li)(这时也称反常积分 收敛 dxfba)(如果上述极限不存在 就称反常积分 发散 dxfba)(类似地 设函数 f(x)在区间a b) 上连续 而在点 b 的左邻域内无界 取0 如果极限ftat)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在a b) 上的反常积分 仍然记作 即dxfba)( xfdxftabt)(li)(这时也称反常积分 收敛 如
26、果上述极限不存在 就称反常积分 发散 dxfba)( dxfba)(设函数 f(x)在区间a b上除点 c(acb)外连续 而在点 c 的邻域内无界 如果两个反常积分与dxfxfbc)(高等数学教案 第五章 定积分22都收敛 则定义 dxfxfdfbccaba)()()(否则 就称反常积分 发散 dxfba)(瑕点 如果函数 f(x)在点 a 的任一邻域内都无界 那么点 a 称为函数 f(x)的瑕点 也称为无界定义 2 设函数 f(x)在区间 (a b上连续 点 a 为 f(x)的瑕点 函数 f(x)在( a b上的反常积分定义为 dfdxfbtata)(lim)(在反常积分的定义式中 如果极
27、限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地函数 f(x)在a b)(b 为瑕点)上的反常积分定义为 dxfdxftabtba)(li)(函数 f(x)在a c)(c b (c 为瑕点) 上的反常积分定义为 fff btcttacta )(lim)(li反常积分的计算 如果 F(x)为 f(x)的原函数 则有btatbtatba xFdfd)(lim)(li)(xt 可采用如下简记形式 )(li)()( FbFdxf axaba 类似地 有 )(lim)()(fbxaba 当 a 为瑕点时 lixFFdf a当 b 为瑕点时 )(li)()(xfbaba 当 c (acb )为瑕点时
28、 )(lim)()(lim)()( xFbaFxdffdxf cccca 例 4 计算反常积分 x021高等数学教案 第五章 定积分23解 因为 所以点 a 为被积函数的瑕点 21limxaxad 002rcsin 20rcsinlimxax例 5 讨论反常积分 的收敛性 12解 函数 在区间1 1上除 x0 外连续 且 2x 201lix由于 1)(lim0 0dx即反常积分 发散 所以反常积分 发散 12x2dx例 6 讨论反常积分 的敛散性 baqxd)(解 当 q1 时 bax )ln(当 q1 时 qbaqxd 1)()(当 q1 时 qbax1 )(因此 当 q1 时 此反常积分收敛 其值为 当 q1 时 此反常积分发散 ab高等数学教案 第五章 定积分24高等数学教案 第五章 定积分25高等数学教案 第五章 定积分26
