1、高中平面几何定理汇总及证明1. 共边比例定理有公共边 AB 的两个三角形的顶点分别是 P、Q，AB 与 PQ 的连线交于点M，则有以下比例式成立： PAB 的面积： QAB 的面积 PM：QM. 证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证SPAB=(SPAM-SPMB)=(SPAM/SPMB-1)SPMB=(AM/BM-1)SPMB(等高底共线，面积比 =底长比）同理，S QAB=(AM/BM-1)SQMB所以，S PAB/SQAB=SPMB/SQMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当 PBAQ 时，易知PAB 与QAB 的高相等，从而 SPAB=SQ
2、AB，反之，S PAB=SQAB，则 PBAQ。 2. 正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的 2 倍”，即 a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r 为外接圆半径， R 为直径）证明：现将ABC ，做其外接圆，设 圆心为 O。我们考虑C 及其对边AB。设 AB 长度为 c。若C 为直角，则 AB 就是O 的直径，即 c= 2r。 （特殊角正弦函数值） 若C 为锐角或钝角，过 B 作直径 BC交 O 于 C，连接 CA，显然 BC= 2r=R。若C 为锐角 ，则 C与 C 落于 AB 的同侧，此时C=C（同弧所对的圆周角相等）在
3、 RtABC中有若C 为钝角 ，则 C与 C 落于 AB 的异侧，BC 的对边为 a，此时C= A ，亦可推出 。考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。3. 分角定理在ABC 中，D 是边 BC 上异于 B,C 或其延长线上的一点，连结AD，则有 BD/CD=(sinBAD/sinCAD)*(AB/AC)。证明：SABD/SACD=BD/CD (1.1)SABD/SACD=(1/2)ABADsinBAD/(1/2) ACADsinCAD= (sinBAD/sinCAD) (AB/AC) (1.2)由 1.1 式和 1.2 式得BD/CD=(sinBAD/sinCAD) (AB
4、/AC) 4. 张角定理在ABC 中，D 是 BC 上的一点，连结 AD。那么 。 + = 证明：设 1=BAD，2=CAD由分角定理，SABD/SABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin1/sin BAC) (BD/BC)*(sinBAC/AD)=sin1/AC (1.1)SACD/SABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin2/sin BAC) (CD/BC)*(sinBAC/AD)=sin2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得 sin1/AC+sin2/AB=sinBAC/AD 5. 帕普斯定理直线 l1 上依次有点 A,B,C，直线 l2 上依次有点 D,E,F，设
5、AE,BD 交于 G，AF,DC 交于I，BF,EC 交于 H，则 G,I,H 共线。6. 蝴蝶定理设 S 为圆内弦 AB 的中点，过 S 作弦 CF 和 DE。设 CF 和 DE 各相交 AB 于点 M 和 N，则 S 是 MN 的中点。证明：过 O 作 OL ED，OTCF，垂足为 L、T，连接 ON，OM，OS，SL，ST，易明ESDCSFES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2ES/CS=EL/CT又E=CESLCSTSLN= STMS 是 AB 的中点所以 OSABOSN=OLN=90O，S ，N，L 四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S 四点共圆S
6、TM=SOM，SLN=SONSON=SOMOS ABMS=NS 7. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。证明：若 L、M、N 三点共线，连结 BP，CP，则因 PLBC，PMAC，PNAB，有B、L、P、N 和 P、M、C、L 分别四点共圆，有NBP = NLP = MLP= MCP.故 A、B、P、C 四点共圆。若 A、P、B、C 四点共圆，则NBP= MCP。因 PLBC，PMAC，PNAB，有 B、L、P、N 和 P、M、C、L 四点共圆，有NBP = NLP= MCP= MLP.故 L、M、N 三点共线。西
7、姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。证明：PMAC，PNAB ,所以 A,M,N,P 共圆8. 清宫定理设 P、Q 为ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点，P 关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线于D、E、F，则 D、E、F 在同一直线上.证明：A、B、P、C 四点共圆，因此PCE=ABP点 P 和 V 关于 CA 对称所以PCV=2PCE又因为 P 和 W 关于 AB 对称，所以PBW=2ABP从这三个式子，有PCV=PBW另一方面，因为PCQ 和PBQ 都是弦
8、 PQ 所对的圆周角，所以PCQ=PBQ两式相加，有PCV+PCQ=PBW+PBQ即QCV=QBW即QCV 和QBW 有一个顶角相等，因此但是 ， ，所以同理，于是根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F 三点在同一直线上。9. 密克定理三圆定理：设三个圆 C1, C2, C3 交于一点 O，而 M, N, P 分别是 C1 和 C2, C2 和C3, C3 和 C1 的另一交点。设 A 为 C1 的点，直线 MA 交 C2 于 B，直线 PA 交 C3 于C。那么 B, N, C 这三点共线。逆定理：如果是三角形，M, N, P 三点分别在边 AB, BC, CA 上，那么AMP、BMN、CPN
9、 的外接圆交于一点 O。完全四线形定理如果 ABCDEF 是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点 O，称为密克点。四圆定理设 C1, C2,C3, C4 为四个圆，A1 和 B1 是 C1 和 C2 的交点，A2 和 B2 是 C2 和 C3 的交点，A3 和 B3 是 C3 和 C4 的交点，A4 和 B4 是 C1 和 C4 的交点。那么 A1, A2, A3, A4 四点共圆当且仅当 B1, B2, B3, B4 四点共圆。证明：在ABC 的 BC,AC,AB 边上分别取点 W,M,N，对 AMN,BWN 和CWM 分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。该定理的证明很简单，利用“圆内接四
10、边形对角和为 180 度”及其逆定理。现在已知 U 是 和 的公共点。连接 UM 和 UN，四边形 BNUW 和四边形 CMUW 分别是 和 的内接四边形，UWB+UNB=UNB+UNA=180 度UWB=UNA。同理UWB+UWC=UWC+UMC=180 度UWB=UMC。UMC+UMA=180 度UNA+UMA=180 度，这正说明四边形 ANUM 是一个圆内接四边形，而该圆必是 ，U 必在 上。10. 婆罗摩笈多定理圆内接四边形 ABCD 的对角线 ACBD，垂足为 M。EFBC，且 M 在 EF 上。那么 F 是A D 的中点。证明：ACBD，MEBCCBD=CMECBD=CAD，CM
11、E=AMFCAD=AMFAF=MFAMD=90，同时MAD+MDA=90FMD=FDMMF=DF，即 F 是 AD 中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。证明：MAMD，F 是 AD 中点AF=MFCAD=AMFCAD=CBD，AMF=CMECBD=CMECME+BME=BMC=90CBD+BME=90EFBC11. 托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)圆内接四边形ABCD，求证：ACBD=ABCD+ADBC证明：过 C 作 CP 交 BD
12、于 P，使1=2，又3=4，ACDBCP得 AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得 AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。 +得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC即 ACBD=ABCD+ADBC12. 梅涅劳斯定理当直线交 三边所在直线 于点 时， 。证明：过点 C 作 CPDF 交 AB 于 P，则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点 F、D、E 分别在边三角形的三边 AB、BC、CA 或其延长线上，且满足 AF/FBBD/DCCE/EA=1，则 F、D、E 三点共线。证明：先假设 E、F、D 三点不共线，直线 DE 与 AB 交于
13、 P。由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 AP/PB=AF/FB ； (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； AB/PB=AB/FB ； PB=FB；即 P 与 F 重合。 D、E、F 三点共线。13. 塞瓦定理在ABC 内任取一点 O，延长 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。ADC 被直线 BOE 所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1ABD 被直线 COF 所截， (BC/CD
14、)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 /约分得：(DB/CD)(CE/EA)(AF/FB)=114. 圆幂定理相交弦定理：如图，AB、CD 为圆 O的两条任意弦。相交于点 P，连接AD、BC，由于B 与D 同为弧 AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知：B=D，同理A=C，所以。所以有： ，即：。割线定理：如图，连接 AD、BC。可知B=D，又因为P 为公共角，所以有，同上证得 。切割线定理：如图，连接 AC、AD。PAC 为切线 PA 与弦 AC 组成的弦切角，因此有PBC=D，又因为P 为公共角，所以有，易证图，PA、PC 均为切线，则PAO=PCO=90，在直角三角形中：OC=OA=R
15、，PO 为公共边，因此。所以 PA=PC，所以。综上可知，是普遍成立的。弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。点对圆的幂P 点对圆 O 的幂定义为 点 P 在圆 O 内P 对圆 O 的幂为负数；点 P 在圆 O 外P 对圆 O 的幂为正数；点 P 在圆 O 上P 对圆 O 的幂为 0。三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心九点圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三
16、个欧拉点连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆的圆心15. 根心定理三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：（1） 三根轴两两平行；（2） 三根轴完全重合；（3） 三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。根轴定义：A 与 B 的根轴 L1：到 A 与 B 的切线相等的点。B 与 C 的根轴 L2：到 B 与 C 的切线相等的点。证明设 A、B、C 三个圆，圆心不重合也不共线。考察 L1 与 L2 的交点 P。因为 P 在 L1 上，所
17、以：P 到 A 的切线距离=P 到 B 的切线距离。因为 P 在 L2 上，所以：P 到 B 的切线距离=P 到 C 的切线距离。所以：P 到 A 的切线距离=P 到 B 的切线距离=P 到 C 的切线距离。也就是：P 到 A 的切线距离=P 到 C 的切线距离。所以：P 在 A 与 C 的根轴上。所以：三个根轴交于一点。16. 鸡爪定理设ABC 的内心为 I，A 内的旁心为 J，AI 的延长线交三角形外接圆于 K，则KI=KJ=KB=KC。证明：由内心和旁心的定义可知IBC=ABC/2，JBC=(180-ABC)/2IBC+JBC=ABC/2+90-ABC/2=90=IBJ同理，ICJ=90
18、IBJ+ICJ=180IBJC 四点共圆，且 IJ 为圆的直径AK 平分BACKB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）又IBK=IBC+KBC=ABC/2+KAC=ABI+BAK=KIBKB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知 K 是 IJ 的中点KB=KI=KJ=KC逆定理：设ABC 中BAC 的平分线交ABC 的外接圆于 K。在 AK 及延长线上截取KI=KB=KJ，其中 I 在ABC 的内部，J 在ABC 的外部。则 I 是ABC 的内心，J 是ABC 的旁心。证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。取ABC 的内心 I和旁心 J，根据定理有 KB=KC=KI=KJ又KB=KI=KJ
19、I 和 I重合，J 和 J重合即 I 和 J 分别是内心和旁心17. 费尔巴哈定理三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切设ABC 的内心为 I，九点圆的圆心为 V。三边中点分别为 L，M，N，内切圆与三边的切点分别是 P，Q，R，三边上的垂足分别为 D，E，F。不妨设 ABAC。假设I 与V 相切于点 T，那么 LT 与I 相交，设另一个交点为 S。过点 S 作I 的切线，分别交 AB 和 BC 于 V，U，连接AU。又作两圆的公切线 TX，使其与边 AB 位于 LT 的同侧。由假设知XTL=LDT而 TX 和 SV 都是I 的切线，且与弦 ST 所夹的圆弧相同，于是XTL=VST因此LD
20、T=VST则UDT+UST=180这就是说，S，T，D，U 共圆。而这等价于：LULD=LSLT又 LP=LSLT故有 LP=LULD另一方面，T 是公共的切点，自然在V 上，因此 L，D，T，N 共圆，进而有LTD=LND由已导出的 S，T，D，U 共圆，得LTD=STD=180-SUD=VUB=AVU-B而LND=NLB-NDB=ACB-NBD=C-B（这里用了 LNAC，以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）所以，就得到AVU=C注意到 AV，AC，CU，UV 均与I 相切，于是有AIR=AIQUIS=UIPRIS=QIS三式相加，即知AIU=180也即是说，A，I，U 三点共线。另外
21、，AV=AC，这可由AIVAIC 得到。（这说明，公切点 T 可如下得到：连接 AI，并延长交 BC 于点 U，过点 U 作I 的切线，切点为 S，交 AB 于 V，最后连接 LS，其延长线与I 的交点即是所谓的公切点 T。）连接 CV，与 AU 交于点 K，则 K 是 VC 的中点。前面已得到：LP=LULD而2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV即 LP= BV然而LK 是CBV 的中位线于是 LK= BV因之 LP=LK故 LK=LULD由于以上推导均可逆转，因此我们只需证明： LK=LULD。往证之这
22、等价于：LK 与圆 KUD 相切于是只需证：LKU=KDU再注意到 LKAB（LK 是CBV 的中位线），即有LKU=BAU又 AU 是角平分线，于是LKU=CAU=CAK于是又只需证：CAK=KDU即证：CAK+CDK=180这即是证：A，C，D，K 四点共圆由于 AKKC（易得），ADDC所以 A，C，D，K 确实共圆。这就证明了I 与V 内切。旁切圆的情形是类似的。证毕另略证：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2RrOH2=R2-4Rr(其中 r是垂心 H 的垂足三角形的内切圆半径，R、r 是三角形 ABC 外接圆和内切圆半径)FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R
23、-r)2FI=1/2R-r 这就证明了九点圆与内切圆内切（九点圆半径为外接圆半径一半。F 是九点圆圆心，I 为内心）18. 莫利定理将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设ABC 中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ 为各角的三等分线，三边长为 a,b,c,三内角为 3，3，3，则+=60。在ABC 中，由正弦定理，得 AF=csin/sin(+)。不失一般性，ABC 外接圆直径为 1，则由正弦定理，知 c=sin3，所以AF=（sin3*sin）/sin(60-)= sin*sin(3-4sin)/1/2(3cos-si
24、n)= 2sinsin（3cos+sin）= 4sinsinsin（60+）.同理,AE=4sinsinsin(60+)AF:AE=4sinsinsin(60+)：4sinsinsin(60+)=sin(60+):sin(60+)=sinAEF:sinAFEAEF=60+,AFE=60+.同理得，CED=60+FED=180-CED-(AEF-)=180-60-60+=60FED 为正三角形19. 拿破仑定理若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为 60的等腰三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。在ABC 的各边上向外各作等边ABF，等边ACD，等边BCE。证明：设等边ABF 的外接圆和等边
25、ACD 的外接圆相交于 O；连 AO、CO、BO。 AFB=ADC=60； A、F、B、O 四点共圆；A、D、C、O 四点共圆； AOB=AOC=120； BOC=120； BCE 是等边三角形 BEC=60； B、E、C、O 四点共圆； 这 3 个等边三角形的外接圆共点。 A、D、B、O 四点共圆A、F、C、O 四点共圆B、E、C、O 四点共圆AFC=ADB=BEC=60； AOB=AOC=BOC=120； NP、MP、MN 是连心线；BO、CO、AO 是公共弦； BONP 于 X；COMP 于 Y；AONM 于 Z。 X、P、Y、O 四点共圆；Y、M、Z、O 四点共圆；Z、N、X、O 四点共圆； N=M=P=60；即MNP 是等边三角形。NABOCEP MFDXZY
