1、1高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分预习导航 新人教 B 版选修 2-2课程目标 学习脉络1.了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程；2掌握定积分的概念，会用定义求定积分；3理解定积分的几何意义与性质.1定积分的概念(1)定积分的定义设函数 y f(x)定义在区间 a， b上，用分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间a， b分为 n 个小区间，其长度依次为 xi xi1 xi， i0,1,2， n1.记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时，所有的小区间长度都趋近于 0.在每个小区间内任取一
2、点 i，作和式 In ( i) xi.n 1i 0f当 0 时，如果和式的极限存在，我们把和式 In的极限叫做函数 f(x)在区间 a， b上的定积分，记作 f(x)dx， ba即 f(x)dx f( i) xi. ba lim 0n 1 i 0其中 f(x)叫做被积函数， a 叫积分下限， b 叫积分上限， f(x)dx 叫做被积式此时称函数 f(x)在区间 a， b上可积思考 1 (1)在定义中，对区间 a， b的分法是否是任意的？ i的取法是否是任意的？(2)在定义中，和式的极限是一个精确值还是近似值？定积分 f(x)dx 是一个常数还 ba是一个函数？2(3)在定积分 f(x)dx 中
3、，定积分的值与积分变量有关吗？与积分区间有关吗？ ba提示：(1)定积分定义中，对于区间 a， b的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于 0 就可以，采用等分的方式是为了便于作和另外，关于 i的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把 i都取为每个小区间的左(或右)端点(2)和式的极限是一个精确值，定积分是一个常数(3)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即 f(x)dx f(u)du f(t)dt(称为积分形式 ba ba ba的不变性)，另外定积分 f(x)dx 与积分区间 a，
4、b息息相关，不同的积分区间，定积分 ba的积分上限与下限不同，所得的值也就不同点拨 用定积分的定义求函数定积分的一般步骤：分割： n 等分区间 a， b；近似代替：在每个小区间任取 i；求和： f( i) ；n 1 i 0 b an取极限： f(x)dx f( i) . ba limn n 1 i 0 b an(2)定积分的性质定积分有三条主要的性质： kf(x)dx k f(x)dx(k 为常数)； ba ba f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dx； ba ba ba f(x)dx f(x)dx f(x)dx(a c b) ba ca bc点拨 对定积分性质的理解要注意以下几点：
5、(1)性质称为定积分的线性性质，性质称为定积分对积分区间的可加性(2)性质对于有限个函数(两个以上)也成立；性质在把区间分成有限个(两个以上)区间时也成立；(3)在定积分的定义中， f(x)dx 的下限小于上限，即 a b.为了方便计算，人们把 ba定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定： f(x)dx f(x)dx， f(x) ab ba adx0.2定积分的几何意义(1)曲边梯形：曲线与平行于 y 轴的直线和 x 轴所围成的图形，称为曲边梯形(2)定积分的几何意义：曲边梯形的面积 S 等于其曲边所对应的函数 y f(x)在区间a， b上的定积分，即 S f(x)dx. ba思考 2
6、 能否认为曲边梯形的面积就是定积分的值，定积分的值就是曲边梯形的面积？提示：不能曲边梯形的面积是正数，而定积分的值可正、可负、也可以为零，因此3在利用定积分求曲边梯形面积时一定要注意定积分的取值点拨 用定积分表示曲边梯形面积的几种情形：(1)由三条直线 x a， x b(a b)， x 轴，一条曲线 y f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积 S f(x)dx(如图) ba(2)由三条直线 x a， x b(a b)， x 轴，一条曲线 y f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积 S f(x)dx(如图)| baf x dx| ba(3)由三条直线 x a， x b(a b)， x 轴，一条曲线 y f(x)(如图)围成的曲边梯形的面积 S f(x)dx f(x)dx. ca bc(4)由两条直线 x a， x b(a b)，两条曲线 y f(x)， y g(x)(f(x) g(x)围成的平面图形的面积 S f(x) g(x)dx(如图) ba
