1、专项训练:错位相减法目录1.(2003 北京理 16)22.(2005 全国卷) .24.(2005 湖北卷) .25.(2006 安徽卷) .26.(2007 山东理 17)27.2007 全国 1 文 21) .28.(2007 江西文 21)29.(2007 福建文 21)210.(2007 安徽理 21)311.(2008 全国19) .312.(2008 陕西 20)313.(2009 全国卷理) .314.(2009 山东卷文) .315.(2009 江西卷文) .316.(2010 年全国宁夏卷 17)317.(2011 辽宁理 17)418.(2012 天津理) .419.20
2、12 年江西省理 420.2012 年江西省文 421.2012 年浙江省文 422.(2013 山东数学理) .423.(2014 四川) .424.(2014 江西理 17)525.(2014 安徽卷文 18)526.(2014 全国 1 文 17)527.(2014 四川文 19)528.(2015 山东理 18)529.(2015 天津理 18)530.(2015 湖北,理 18).531.(2015 山东文 19)532.(2015 天津文 18)633.(2015 浙江文 17)6专项训练 错位相减法 答案 71.(2003 北京理 16)已知数列 是等差数列且 ,na12a231
3、a(1)求数列 的通项公式;(2)令 数列 的前 项和的公式()nnbxRnb2.(2005 全国卷) 设正项等比数列 的首项 ,前 项和为 ,且 na21nS0)12(120301 S(1)求 的通项;(2)求 的前 项和 nSnT4.(2005 湖北卷)设数列 的前 项和为 , 为等比数列,且a2nb .)(,121baba(1)求数列 和 的通项公式; nb(2)设 ,求数列 的前 n 项和ccT5.(2006 安徽卷)在等差数列 中, ,前 项和 满足条件 , na1nS24,12n(1)求数列 的通项公式;(2)记 ,求数列 的前 项和 (0)nanbpnbnT6.(2007 山东理
4、 17)设数列 满足 , .n21133na*N(1)求数列 的通项;a(2)设 ,求数列 的前 项和 .nbnbnS7.2007 全国 1 文 21)设 是等差数列, 是各项都为正数的等比数列,且 , ,nan 1ab352153(1)求 , 的通项公式;b(2)求数列 的前 项和 .nnS8.(2007 江西文 21)设 为等比数列, , .na1a23(1)求最小的自然数 ,使 ;07n(2)求和: .21232n nTa9.(2007 福建文 21)数列 na的前 项和为 nS, , *1()SN.(1)求数列 的通项 ;(2)求数列 n的前 项和 nT.10.(2007 安徽理 21
5、)某国采用养老储备金制度.公民在就业的一年就交纳养老储备金,数目为 ,以后每年交1a纳的数目均比上一年增加 ,因此,历年所交纳的储务金数目 是一个公差0d2,为 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.d这就是说,如果固定年利率为 ,那么,在 年末,一年所交纳的储备金就变为rn,二年所交纳的储备金就变为 ,以 表示到 年末所累计的储备11nar221ar nT金总额.(1)写出 与 的递推关系式;nT1(2)(2)求证: ,其中 是一个等比数列, 是一个等差数列.nABnnB11.(2008 全国19)在数列 中, , .na11a(1)设 .证明:数列
6、是等差数列;2nbnb(2)求数列 的前 项和 .S12.(2008 陕西 20)已知数列 的首项 , , .na1312nna1,3(1)证明:数列 是等比数列;n(2)数列 的前 项和 .anS13.(2009 全国卷理)在数列 中,n111,()2nna(1)设 ,求数列 的通项公式bb(2)求数列 的前 项和nanS14.(2009 山东卷文)等比数列 的前 n 项和为 , 已知对任意的 nN,点 ()nS,均在函数(0xybr且 1br均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (2)当 时,记 ()4nNa,求数列 nb的前 项和 nT215.(2009 江西卷文)数列 na的通项
7、 22(cosi)3n,其前 n 项和为 nS. (1) 求 S; (2) 3,4nb求数列 nb的前 n 项和 T.16.(2010 年全国宁夏卷 17)设数列 满足na21112,3na(1)求数列 的通项公式;na(2)令 ,求数列的前 项和bnnS17.(2011 辽宁理 17) 已知等差数列 满足 ,n2680,10a(1)求数列 的通项公式;a(2)求数列 的前 n 项和.1n18.(2012 天津理)已知 是等差数列,其前 项和为 , 是等比数列,且 = , ,n nSb1a2b4+7.4=0Sb(1)求数列 与 的通项公式;nab(2)记 , ,证明 .121+nTa +N0n
8、nT+()N19.2012 年江西省理已知数列 的前 项和 (其中 ),且 的最大值为 n2nSknS8(1)确定常数 ,并求 ;k(2)求数列 的前 项和92nanT20.2012 年江西省文已知数列 的前 项和 (其中 , 为常数),且nnSkcck263=48a，(1)求 ;a(2)求数列 的前 项和 nnT21.2012 年浙江省文已知数列 的前 项和为 ,且 ,数列 满足 ,S2nb24log3nnab(1)求 ;,nab(2)求数列 的前 项和n22.(2013 山东数学理)设等差数列 n的前 n 项和为 nS,且 42, 1na.(1)求数列 a的通项公式;(2)设数列 nb前
9、n 项和为 nT,且 n( 为常数).令 2ncb*()N.求数列 c的前 n 项和 R.23.(2014 四川)设等差数列 a的公差为 d,点 (,)nab在函数 ()2xf的图象上( *).(1)若 12,点 87(4在函数 fx的图象上,求数列 na的前 项和 nS;(2)若 ,函数 )fx的图象在点 2()处的切线在 轴上的截距为 12l,求数列 nab的前 项和 nT.24.(2014 江西理 17)已知首项都是 1 的两个数列 ( ),满足.(1)令 ,求数列 的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 n 项和13nb25.(2014 安徽卷文 18) 数列 满足na11,()(1),
10、nnaN（1） 证明:数列 是等差数列;（2） 设 ,求数列 的前 项和3nbnbnS26.(2014 全国 1 文 17)已知 是递增的等差数列, , 是方程 的根na2a42560x(1)求 的通项公式;(2)求数列 的前 项和.n27.(2014 四川文 19)设等差数列 na的公差为 d,点 (,)nab在函数 ()2xf的图象上( *nN).(1)证明:数列 是等比数列;b(2)若 1,函数 ()fx的图象在点 2(,)处的切线在 轴上的截距为 12l,求数列的前 n项和 .2nanS28.(2015 山东理 18)设数列 的前 n 项和为 .已知 .n23nS(1)求 的通项公式;
11、a(2)若数列 满足 ,求 的前 n 项和 .nb3lognnabT29.(2015 天津理 18)已知数列 满足 ,且2 12()*,qqNa为 实 数 ， 且 1，成等差数列.2345,aa+(1)求 的值和 的通项公式;qn(2)设 ,求数列 的前 项和.*21log,nbNnb30.(2015 湖北,理 18)设等差数列 的公差为 d,前 项和为 ,等比数列 的公比为 .已知 , ,nanSnq1ba2, .qd10S(1)求数列 , 的通项公式;nb(2)当 时,记 ,求数列 的前 项和 . nacncnT31.(2015 山东文 19)已知数列 是首项为正数的等差数列,数列 的前
12、项和为 .na 1na21n(1)求数列 的通项公式;(2)设 ,求数列 的前 项和 . 12nanbnbnT32.(2015 天津文 18)已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且 ,a123,aba=+.5237-=(1)求 和 的通项公式;nb(2)设 ,求数列 的前 n 项和.*,cNc33.(2015 浙江文 17)已知数列 和 满足, na *112,2(N),naba.*123()nb(1)求 与 ;n(2)记数列 的前 n 项和为 ,求 .abnT专项训练 错位相减法 答案1、 (1) ,(2)当 时, ,当 时,2na1x12(1)nnnxxS(1)nS2、 解:(1
13、)若公比 ,则 ,代入条件,不成立,故q300101,aSa,根据等比数列求和公式,易得 , 解q132010()()()qq得 ,因而 12na(2)由(1)得 .2,1)(2nnnn SS则数列 的前 项和 n ),21()1(2nnT .22()2( 13 nnT前两式相减,得 12)()1nn 4.解:(1):当 ;,1Sa时 ,4)1(22 nnn时当故 an的通项公式为 的等差数列.,4da公 差是即设 bn的通项公式为 .,1qdbq则故 4242111 nnn bq的 通 项 公 式 为即(2) ,)(11nnbac4)12(4)32(4534 ,513211 nnnTc 两式
14、相减得 .54)6(91 56)312nn nnn5.解:(1)设等差数列 的公差为 ,由 得: ,所以 ,即nad241nS213a2a,又 = ,所21da211()4n nndaSa (1)n以 n(2)由 ,得 所以 ,nanbpnb231()nnTpp当 时, ;12T当 时,2341()nnppp21 1()(1) npP 即 1,(),1nnTpp即 12)(4)(n .212)(nnT6.(1) 213.,3naa213(2)n1().n().3na验证 时也满足上式,1*1().3naN(2) , nb 1324nS7.解:(1)设 的公差为 , 的公比为 ,则依意有 且na
15、dnbq042113dq，解得 , .所以 ,2dq1()21.1nb(2) .136nS8.解:(1)由已知条件得 ,123nnaA因为 ,所以,使 成立的最小自然数 .6732007 8n(2)因为 ,232114n nT,22343得: 223214133n nT,所以 .2218nnA29416nTA9.解:(1) 1naS, 1nnS,13nS.又 ,数列 是首项为 ,公比为 3的等比数列, 1*3()nN.当 2 时, 21()nnaSA ,3nA， ， (2) 123nTa ,当 时, ;当 时, 012463nn A ,123nn A, 得: 1221()nnnT A2()23
16、n11nA. ()2nT.又 1a也满足上式, 1*13()2nnTN.10.解:(1)我们有 1()()nra .(2) 1T,对 2 反复使用上述关系式,得 21()nnnnrar 112()()ra , 在式两端同乘 ,得 121() ()nnn nnrTrr ,得 1()()()1nardra1nna.即 122()nrdTr.如果记 naA, 1rdB,则 nn.其中 nA是以 12()ard为首项,以 1(0)r为公比的等比数列; nB是以12r为首项, 为公差的等差数列.11.解:(1) , ,1nna12na,则 为等差数列, , , .1nbbb12n(2) 0 212()n
17、nSA A1n 12.(1) , ,1nna1nnaa,又 , ,1()2nn2312数列 是以为 首项, 为公比的等比数列.a(2)由(1)知 ,即 , .112nn2na2na设 , 23nT则 ,12n由 得 ,21nT111()22nn n.又 .1nn3()数列 的前 项和 .na2214nn nnS13.(1)由已知有 11b利用累差迭加即可求出数列 n的通项公式: 12nnb( *N)(2)由(1)知 12na,nS= 1()kk11()2nnk而 2)k,又 k是一个典型的错位相减法模型,易得 1124nnknS= ()142n14.解:因为对任意的 nN,点 ()nS,均在函
18、数 (0xybr且 1,br均为常数)的图像上.所以得 Sbr,当 1n时, 1a, 当 2时, 111()()nnnnnbr ,又因为 为等比数列, 所以 r, 公比为 , 所以 1nab(2)当 b=2 时, 1()2nnab, 142nna则 2341n nT 521n相减,得 234512n n所以 112nnnT15.解: (1) 由于 2cosicos33,故3124562132 22()()()()k kkSaaaak8(9)2k,3134,2kkSa 221(9)(31)321,6kkkk故 ,36(),314,6nnSkn( *kN)(2) 39,2nnb144nT13,n两
19、式相减得1 23191994493138,242nnnn nT 故 2318.nn16.解:(1)由已知,当 n1 时,11121()()()nnnaaa23,()而 所以数列 的通项公式为 1n21n(2)由 知21nba3521nS从而2 7n -得352121(1)2nnS即 139nn17.解:(1)通项公式为 (2)na12nS18.解:(1)设等差数列的公差为 ,等比数列的公比为 ,dq由 = ,得 1a2b344486bqsd， ，由条件 , 得方程组4+7=10S,解得3 86dq 2 +1nnabN， ，(2)证明:由(1)得, ;3121nnnTaa ;234121nn由-
20、得, 34122321+ +nnn nTa aab 2341=4+=2+162=+4612210nn nn n nbbaaab +1=nnTb+()N19.解:(1) ;(2)9a142nnT20.解:(1) ,当 时, nSkc111()nnnaSkc则 , , =265()a32()a653328c ,即 ,解得 =2 ( )2=4214kn当 =1 时, ,综上所述 nS*nN(2) , na1()2T21.解:(1) ;(2) , ,n Nnb(45)2nT22.解:(1)设等差数列 a的首项为 1,公差为 d, 由 42S, n得1168(2)()a, 解得, 1a,d,因此 n*(
21、2)由意知: 1nT所以 2时, 12nnb故, 1()4nc*()N所以0231() ()4 4nR , 则12311()()()()4nn 两式相减得134 4nn 1()1)(n整理得 ,所以以数列数列的前 n 项和13(4)9nnR 13(4)9nnR23.解:(1) ,可得 ,所以 ;726adb2()S(2)切线方程为 ,令 ,得 ,所以 ,则l()ayx0y2a,2nnb,用错位相减法得 .来源:学2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和27.28.(答案)(1) ; (2) .13,na13624nnT所以 13Tb当 时,n12112333nn所以 0 nnT两式相减,得01
22、21233nnn 1123nn16n所以 243T经检验, 时也适合,综上可得: 16nn(考点定位)1数列前 项和 与通项 的关系;2特殊数列的求和问.Sna(名师点睛)本考查了数列的基本概念与运算,意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力,思维的严密性和运算的准确性,在利用 与通项 的关系求 的过程中,一定要注意 na1n的情况,错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.29.【答案】(1) ; (2) .12,.na为 奇 数 ,为 偶 数 124nnS(2) 由(1)得 ,设数列 的前 项和为 ,则211lognnabnbnS,02113nS122n两式相减得,23
23、1 22nn n nS整理得 14nn所以数列 的前 项和为 .b14,*nN【考点定位】等差数列定义等比数列及前 项和公式错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差等比数列定义与性质,求和公式以及错位相减法求和的问题,通过等差数列定义等比数列性质,分 为奇偶数讨论求通项公式,并用错位相减法基本思想求和.是中档题.30.【答案】() 或 ;() .12,.nab1(279),.nnab1236n. 234517921n nT-可得 ,22123n n故 . n162【考点定位】等差数列等比数列通项公式,错位相减法求数列的前 项和.【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列 及一个等比数列 对
24、应项之积组成nanb的数列.考生在解决这类问题时,都知道利用错位相减法求解,也都能写出此题的解题过程,但由于步骤繁琐计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等.两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项,两项相减,除第一项和最后一项外,剩下的 项是一个等比数列.131.【答案】(1) (2) 21.na4(3)9nnT【解析】(1)设数列 的公差为 ,nd令 得 ,所以 .1,23a123a令 得 ,所以 .,155解得 ,所以d.n(2)由(1)知 所以24,nb124.4,nnT所以 34.(),T 两式相减,得 1
25、21.n1(1)4,3n所以113().99nnnT【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和“错位相减法”.【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式等比数列的求和“错位相减法”等,解答本题的关键,首先是注意运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式;其次就是能对所得数学式子准确地变形,本题易错点在于错位相减后求和时,弄错数列的项数,或忘记从 化简到 .3nTn本题是一道能力题,属于中等题.在考查等差数列等比数列等基础知识的同时,考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型,能使考生心理更稳定,利于正常发挥.32.【答案】(1) , ;(2)12,naN21,nb32
26、nnS【解析】(1)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项;(2)用错位相减法求和.试题解析:(1)设 的公比为 q, 的公差为 d,由题意 ,由已知,有nn 0消去 d 得 解得 ,所以 的通项公式为243,04280na, 的通项公式为 .1,naNnb1,nbN(2)由(1)有 ,设 的前 n 项和为 ,则1ccnS01212352,nnS 3两式相减得 2 23,nnnn所以 .n【考点定位】本题主要考查等差等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力.【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差等比数列的通项考查较多,解决此
27、类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.33.【答案】(1) ;(2)2;nab1*()2()nnTN【解析】(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.试题解析:(1)由 ,得 .11,nan当 时, ,故 .n2b2当 时, ,整理得 ,1nn1nb所以 .n(2)由(1)知, 2nnab所以 3nnT24 1()2n所以 23 1()2nnnn 所以 .1()【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点,以此得到数列的通项公式,利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题,主要考查学生基本的运算能力.
