1、1学业分层测评(二十)(建议用时：45 分钟)学业达标一、填空题1.从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是_.(填序号)至少有一个红球；至少有一个白球；恰有一个红球；都是白球；至少有一个红球；都是白球；至多有一个红球；都是红球.【解析】 对于， “至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球， “至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于， “恰有一个红球” ，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于， “至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都
2、是白球”显然是对立事件；对于， “至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.【答案】 2.现有历史、生物、政治、物理和化学共 5 本书，从中任取 1 本，取出的是理科书的概率为_.【解析】 记取到历史、生物、政治、物理、化学书分别为事件 A， B， C， D， E，则A， B， C， D， E 互斥，取到理科书的概率为事件 B、 D、 E 概率的和. P(B D E) P(B) P(D) P(E) .15 15 15 35【答案】 353.若事件 A 和 B 是互斥事件，且 P(A)0.1，则 P(B)的取值范围是_.【解析】 A 与 B 为互斥事件， P(A) P(B)
3、1， P(B)0.9，故 P(B)的取值范围是0,0.9.【答案】 0,0.94.某城市 2015 年的空气质量状况如表所示： 【导学号：90200079】污染指数 T 30 60 100 110 130 1402概率 P 110 16 13 730 215 130其中污染指数 T50 时，空气质量为优；50 T100 时，空气质量为良；100 T150时，空气质量为轻微污染.该城市 2015 年空气质量达到良或优的概率为_.【解析】 设“空气质量达到优或良”为事件 A，由题意可知， P(A) P(T50) P(50T100) .110 16 13 35【答案】 355.某家庭电话，打进电话响
4、第一声时被接的概率是 0.1，响第 2 声时被接的概率为0.2，响第 3 声时被接的概率是 0.3，响第 4 声时被接的概率为 0.3，则电话在响第 5 声前被接的概率为_.【解析】 由互斥事件概率公式得所求概率为 P0.10.20.30.30.9.【答案】 0.96.如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是 ，取14到方片的概率是 ，则取到黑色牌的概率是_.14【解析】 设“取到红心”为事件 A， “取到方片”为事件 B， “取到红色牌”为事件C，则 C A B，且 A， B 互斥. P(C) P(A B) P(A) P(B) .14 14 12而 表示“取到
5、黑色牌” ，C 所以 P( )1 P(C)1 .C 12 12即取到黑色牌的概率为 .12【答案】 127.盒子里装有 6 个红球，4 个白球，从中任取 3 个球.设事件 A 表示“3 个球中有 1 个红球，2 个白球” ，事件 B 表示“3 个球中有 2 个红球，1 个白球”.已知 P(A) ， P(B)310，则“3 个球中既有红球又有白球”的概率为_.12【解析】 记事件 C 为“3 个球中既有红球又有白球” ，则它包含事件 A“3 个球中有1 个红球，2 个白球”和事件 B“3 个球中有 2 个红球，1 个白球” ，而且事件 A 与事件 B 是3互斥的，所以 P(C) P(A B) P
6、(A) P(B) .310 12 45【答案】 458.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为 0.03，出现丙级品的概率为 0.01，则抽查一件产品，抽得正品的概率为_.【解析】 记“抽出的产品为正品”为事件 A， “抽出的产品为乙级品”为事件 B， “抽出的产品为丙级品”为事件 C，则事件 A， B， C 彼此互斥，且 A 与 B C 是对立事件，所以P(A)1 P(B C)1 P(B) P(C)10.030.010.96.【答案】 0.96二、解答题9.在一个袋子中放入 3 个白球，1 个红球，摇匀后随机摸球.(1)摸出的球不放回袋中，求第 1 次或第
7、 2 次摸出红球的概率；(2)摸出的球放回袋中连续摸 2 次，求第 1 次或第 2 次摸出的球都是红球的概率.【解】 (1)记“第 1 次摸到红球”为事件 A， “第 2 次摸到红球”为事件 B.显然 A， B为互斥事件，易知 P(A) .下面计算 P(B).摸两次球可能出现的结果为：14(白 1，白 2)、(白 1，白 3)、(白 1，红)、(白 2，白 1)、(白 2，白 3)、(白 2，红)、(白 3，白 1)、(白 3，白 2)、(白 3，红)、(红，白 1)、(红，白 2)、(红，白 3)，在这 12 种情况中，第二次摸到红球有 3 种情况，所以 P(B) ，故第 1 次或第 2 次
8、摸14到红球的概率为 P(A B) P(A) P(B) .14 14 12(2)把第 1 次，第 2 次摸球的结果列举出来，除了上题中列举的 12 种以外，由于放回，又会增加 4 种即(白 1，白 1)，(白 2，白 2)，(白 3，白 3)，(红，红).这样共有 16 种摸法.其中第 1 次摸出红球，第 2 次摸出不是红球的概率为 P1 .316第 1 次摸出不是红球，第 2 次摸出是红球的概率为 P2 .316两次都是红球的概率为 P3 .116所以第 1 次或第 2 次摸出红球的概率为 P P1 P2 P3 .71610.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同题目，选择题 3 个，
9、判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题. 【导学号：90200080】(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？4【解】 把 3 个选择题记为 x1， x2， x3,2 个判断题记为 p1， p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：( x1， p1)，( x1， p2)，( x2， p1)，( x2， p2)，( x3， p1)，( x3， p2)，共6 种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：( p1， x1)，( p1， x2)，( p1， x3)，( p2， x1)，(p2， x2)，( p2， x3)，共
10、 6 种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：( x1， x2)，( x1， x3)，( x2， x1)，( x2， x3)，(x3， x1)，( x3， x2)，共 6 种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：( p1， p2)，( p2， p1)，共 2 种.因此基本事件的总数为 666220 种.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 ， “甲抽到判断题，乙抽到选择620 310题”的概率为 ，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率620 310为 .310 310 35(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 ，故“甲、乙两人至少有一人抽到选220 110择题”的概率
11、为 1 .110 910能力提升1.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图 342 为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35)上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为_.图 342【解析】 由图可知抽得一等品的概率为 0.3，抽得三等品的概率为 0.25，则抽得二等品的概率为 10.30.250.45.【答案】 0.452.抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现 1 到 6 点中任一结果，连续抛
12、掷两次，第一次出现点数记为 a，第二次出现点数记为 b，则直线 ax by0 与直线 x2 y10 有公共点的概率为_.【解析】 设“直线 ax by0 与直线 x2 y10 有公共点”为事件 A，5则 为“他们无公共点” ，A k ， ，12 ab 12 a1， b2 或 a2， b4 或 a3， b6， P( ) ， P(A)1 .A336 112 112 1112【答案】 11123.袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，则得到黑球、黄球、绿13 512 512球的概率分别是_、_、_.【
13、解析】 从袋中任取一球，记事件“摸到红球” “摸到黑球” “摸到黄球” “摸到绿球”分别为 A， B， C， D，且彼此互斥，则有P(B C) P(B) P(C) ；512P(C D) P(C) P(D) ；512P(B C D) P(B) P(C) P(D)1 P(A)1 .13 23解得 P(B) ， P(C) ， P(D) .14 16 14所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， .1416 14【答案】 14 16 144.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示. 【导学号：90200081】一次购物量 1
14、 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)【解】 (1)由已知得 25 y1055， x3045，所以 x15， y20.6该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次
15、购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟).115 1.530 225 2.520 310100(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ， A1， A2， A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” ， “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” ，“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得P(A1) ，15100 320P(A2) ，30100 310P(A3) .25100 14因为 A A1 A2 A3，且 A1， A2， A3是互斥事件，所以 P(A) P(A1 A2 A3) P(A1) P(A2) P(A3) .320 310 14 710故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .710
