1、第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么UR|02Ax2|10BxUAB（A） |01x（B） |1（C ） |（D）|12x2若复数 的实部与虚部相等，则实数iaa（A） 1（B） 1（C ） 2（D） 23执行如图所示的程序框图若输出 ，则输入3y角 （A） 6（B） （C ） 3（D） 4从甲、乙等 名志愿者中选出 名，分别从事 ， ， ， 四项不同的工作，每人承54ABCD担一项若甲、乙二人均不能从事 工作，则不同的工作分配方案共有（A） 种60（B） 种72（
2、C ） 种84（D） 种965某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表面积是2（A） 63（B） 1（C ） 2（D） 436等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的na1013a36a（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7已知函数 ，其中 若对于任意的 ，都有22()logl()fxxc0(0,)x，则 的取值范围是1fc（A） (0,4（B） 1,)4（C ） 1(,8（D） 1,)88如图，正方体 中， 为底面1CDAPAB上的动点， 于 ，且 ，则点 的PEE轨迹是（A）线段 （B）圆弧（C ）
3、椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，则曲线 的直角坐标方程为 C2cos1inxyC 10设等差数列 的公差不为 ，其前 项和是 若 ， ，则na0nnS230kS_k11如图，正六边形 的边长为 ，则ABCDEF1ACDB_ 12如图，已知 是圆 的直径， 在 的延长线上，OPP切圆 于点 ， 于 若 ， ，CD6CD10则圆 的半径长为_； _ B13在直角坐标系 中，点 与点 关于原点 对称点 在抛物线xOy(1,0)AO0(,)Pxy上，且直线 与 的斜率
4、之积等于 ，则 _24yPB2014记实数 中的最大数为 ，最小数为 .12,nx 12max,n 12min,nx设 ABC的三边边长分别为 ，且 ，定义 的倾斜度为,abccABCmax,int,bc（）若 为等腰三角形，则 _；ABCt（）设 ，则 的取值范围是_1at三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 的一个零点是 ()sincosfxax4（）求实数 的值； （）设 ，求 的单调递增区间 ()()23sincogf x()g16 （本小题满分 13 分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下
5、：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 名同学进3行学业检测（）求从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率；1（）记 为抽取的 名同学中男同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望X3X17 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， / ，CDEFABCDABCD，BCA2， 60（）求证： 平面 ；B（）求 与平面 所成角的正弦值；BCEA（）线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？DQEACQB证明你的结论18 （本小题满分 13 分）已知函数 ， ，其中 ()lnfxa()e3axgaR（）求 的极值；（）若存在区间 ，使 和
6、在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范M)(xfMa围19 （本小题满分 14 分）如图，椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两21(0)xyabFAB点当直线 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 AB60（）求该椭圆的离心率；（）设线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点记GABxy,DE的面积为 ， （ 为原点）的面积为 ，求 的取值范围GFD1SOED2S120 （本小题满分 13 分）已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对于 ， ，定义12(,)nAa nBbS；1,Bba； 与 之间的距离为1212(,)(,)(nnaaR AB1,|i
7、idABb（）当 时，设 ， 若 ，求 ；5n5(1,2)Aa(2,413)(,)7dAB5a（） （）证明：若 ，且 ，使 ，则nBCS0C； (,)(,)(,)dd（）设 ，且 是否一定 ，使(,)(,)B0？ABC说明理由；（）记 若 ， ，且 ，求(1,)nIS AnS(,)(,)dIAIBp的最大值(,)d参 考 答 案 及 评 分 标 准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1 B； 2 A； 3D； 4B； 5C； 6B； 7D； 8A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ； 10 ； 11 230xy 3212 ， ；
8、13 ； 15 114 ， 1,)2注：12 、 14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） （）解：依题意，得 ， ()04f1 分即 ， 2sincos04aa3 分解得 51a分（）解：由（）得 ()sincofxx6 分()()23sincogxfxx7 分sincoi)i2822(ssixx分9 分cos3in 10 分2i()6x由 ，2kk得 ， 1236xZ分所以 的单调递增区间为 ， 13()gx,36kkZ分16 （本小题满分 13 分）（）解：依
9、题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ， (35):2:11 分所以，从甲组抽取的学生人数为 ；从乙组抽取的学生人数为 2231分设“从甲组抽取的同学中恰有 名女同学”为事件 ， 31A分则 ，13528C()PA故从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率为 511528分（）解：随机变量 的所有取值为 X0,36 分， ，21584C(0)PX 12135528484C() 6PX， 10211335284849()13284()分所以，随机变量 的分布列为: X0123P5286985611 分 13593012868564EX分17 （本小题满分 14 分）（）证明：因为 ， ，BCA260在
10、 中，由余弦定理可得 ，BC3所以 2 分又因为 ， AF所以 平面 4 分（）解：因为 平面 ，所以 CBFCA因为 ，所以 平面 5DD分所以 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6,AF xyz分在等腰梯形 中，可得 ABCDBCD设 ，所以 13131(0,)(3,0)(,1)(,0),(,)22E所以 ， ， ),23(E),(CA),(B设平面 的法向量为 ，则有A=()x,yzn0.CEAn所以 取 ，得 8310,2.xyz1zn(0,21)分设 与平面 所成的角为 ，则 ，BCEA|25si|co,CBn所以 与平面 所成角的正弦值为 952分（）解：线段 上不存在点 ，
11、使平面 平面 证明如下： EDQEACQB10 分假设线段 上存在点 ，设 ，所以 ),213(t)0(t ),213(t设平面 的法向量为 ，则有 QBCm),(cba,.CBQ所以 取 ，得 120,31.2batc1)1,032(t分要使平面 平面 ，只需 ， 13EACQBnm分即 ， 此方程无解20103t所以线段 上不存在点 ，使平面 平面 14EDQEACQB分18.（本小题满分 13 分）（）解： 的定义域为 ， ()fx(0,)1 分且 2()afx分 当 时， ，故 在 上单调递减0a()0f()fx0,)从而 没有极大值，也没有极小值 x3 分 当 时，令 ，得 0a()
12、0fx1a和 的情况如下：()fxf1(0,)a1(,)a)fx0( 故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ()fx1(,)a1(,)a从而 的极小值为 ；没有极大值 5)(f()lnf分（）解： 的定义域为 ，且 ()gxR()e3axg6 分 当 时，显然 ，从而 在 上单调递增0a()0gx()gxR由（）得，此时 在 上单调递增，符合题意 ()f1,a8 分 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，不合题0a()gxR()fx0,)意9 分 当 时，令 ，得 0a()0gx13ln()a和 的情况如下表：()gx0(,)x00(,)x()gx 当 时， ，此时 在 上单调递增，由于
13、在 上单30a()gx0,)()fx0,)调递减，不合题意 11 分当 时， ，此时 在 上单调递减，由于 在 上单调递0x()x0,)()fx,)减，符合题意 综上， 的取值范围是 13a(,3)(,)分19 （本小题满分 14 分）（）解：依题意，当直线 经过椭圆的顶点 时，其倾斜角为 AB(0,)b601 分设 ，(,0)Fc则 2tan63b分将 代入 ，bc22bc解得 3a分所以椭圆的离心率为 412cea分（）解：由（） ，椭圆的方程可设为 2143xyc5 分设 ， 1(,)Axy2(,)B依题意，直线 不能与 轴垂直，故设直线 的方程为 ，将其代入,xyAB()ykxc，整理
14、得 2234xyc222(43)8410k7 分则 ， ， 21283k121226()cykxk23(,)ckG8分因为 ，GDAB所以 ， 92341Dckx243Dckx分因为 ，GFOE所以 1122221 22()()|4343(ckckSD分 13 分22422(3)(99ckckk所以 的取值范围是 1412S(,)分20 （本小题满分 13 分）（）解：当 时，由 ，5n51(,)|7iidABab得 ，即 5|12|4|12|3|5|3|2a由 ，得 ，或 3*5aN5a5分（） （）证明：设 ， ， 12(,)nAa 12(,)nBb 12(,)nCc因为 ，使 ，0ABC
15、所以 ，使得 ，12 12(,)(,)n nbabacbcb 即 ，使得 ，其中 )iic,i所以 与 同为非负数或同为负数 5iba(,ic分 所以 11(,)(,)|nniiiidABCabc1(|)niiibac 6 分1|(,)niidAC（）解：设 ，且 ，此时不一定 ，使得,nBS(,)(,)(,)dBCdA0 A7 分反例如下：取 ， ， ，(1,) (1,2,) (2,1,)则 ， ， ，显然 (,)dBdC)3dA)(,)dABCdA因为 ， ，0,)A (,0,B所以不存在 ，使得 8分（）解法一：因为 ， 1(,)|niiidABba设 中有 项为非负数， 项为负数不妨设
16、(1,2iba mnm时 ； 时， , 0i,2,i 0iba所以 1(,)|niiidABba12121212()()()()mmmnmnbaabb 因为 ，(,)(,)dIAIBp所以 ， 整理得 11nniiiiab1niiab所以 1012121(,)|()nii mmidABaa 分因为 121212()()mnmnbbbb ；)(pp又 ，12maa所以 1212(,)()mmdABbaa ()pp即 12(,)分对于 ， ，有 ， ，且(1,)Ap (1,)Bp AnBS，(,),)dIIB2p综上， 的最大值为 13(,)A2p分解法二：首先证明如下引理：设 ，则有 ,xyR|xy证明：因为 ， ，|x|所以 ，(|)|yxy即 |x所以 11(,)|()()|nniiiii idABbaba1(|)niiiba 11 分11|2nniiiip上式等号成立的条件为 ，或 ，所以 1iaib(,)2dABp12 分 对于 ， ，有 ， ，且(,)Ap (,1)Bp nS，(,),)dIIB2p综上， 的最大值为 13(,)A2p分
