1、第十四篇不等式选讲(选修45)第1节绝对值不等式,知识链条完善,考点专项突破,经典考题研析,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.绝对值不等式(1)定理如果a,b是实数,那么|a+b| ,当且仅当 时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|.当且仅当 时,等号成立.(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.|a|-|b|a+b|a|+|b|.|a|-|b|a-b|a|+|b|.,|a|+|b|,ab0,(a-b)(b-c)0,2.绝对值不等式的解法(1)形如|ax+b|cx+d|的不等式,可以利用
2、两边平方的形式转化为二次不等式求解.,-axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c (c0),|ax+b|c (c0).,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,3.|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)不等式的解法(1)零点分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-,a,(a,b,(b,+)(此处设ac(c0)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的点的集合.(3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结合图象求解.,夯基自测,1.|2x-1|3的解集为( )(A)(-,-2)(1
3、,+)(B)(-,-1)(2,+)(C)(-2,1) (D)(-1,2),解析:由|2x-1|3得2x-13,解得x2.,B,2.不等式1|x+1|3的解集为( )(A)(0,2)(B)(-2,0)(2,4)(C)(-4,0)(D)(-4,-2)(0,2),解析:原不等式等价于1x+13或-3x+1-1,解之得0x2或-4xa对于xR均成立,则a的取值范围为.解析:因为|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|4-x+x+5|=9,所以当a0)型不等式的解法,【例1】 解下列不等式.(1)|2x-3|5;(2)|5-4x|9.,解:(1)因为|2x-3|5,所以-52x-35,所以-22x
4、8,所以-1x4,所以原不等式的解集为x|-1x4.,反思归纳,|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法(1)c0,则|ax+b|c可转化为-cax+bc;|ax+b|c可转化为ax+bc或ax+b-c,然后根据a,b的取值求解即可.(2)c0,则|ax+b|c,根据几何意义可得解集为;|ax+b|c的解集为R.(3)c=0,则|ax+b|c可转化为ax+b=0,然后根据a,b的取值求解即可;|ax+b|c的解集为R.,【即时训练】,解析:(1)原不等式等价于-2x2-22,即0x24.所以-2x2且x0.故不等式的解集为(-2,0)(0,2).故选D.(2)由于|x-2|-1|1,即-1
5、|x-2|-11,即|x-2|2,所以-2x-22,所以0x4.答案:(1)D(2)0,4,(1)不等式|x2-2|0)型不等式的解法,【例2】 解不等式|x-5|+|x+3|10.解:令|x-5|=0,|x+3|=0,解得x=5,x=-3.(1)当x5时,不等式可化为(x-5)+(x+3)10,即2x-210.解得x6.综上,不等式的解集为(-,-46,+).,反思归纳,解含两个或多个绝对值符号的不等式利用零点分段讨论法求解时,要注意以下三个方面:一是准确去掉绝对值符号;二是求得不等式的解后,要检验该解是否满足x的取值范围;三是将各区间上的解集求并集.,【即时训练】 解不等式|2x+1|+|
6、x-1|2.,已知不等式的解集求参数,考点三,答案:(1)(-,0)2,(2)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|a无解,则实数a的取值范围是.,答案:(2)(-,8,反思归纳,(1)解含参数的绝对值不等式问题的两种方法将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决.借助于绝对值的几何意义,先求出相应式的最值或值域,然后再根据题目要求,求解参数的取值范围.更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.,【即时训练】 (1)不等式|x+3|-|x-1|a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.(2)如果
7、存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|0;(2)若f(x)+3|x-4|m对一切实数x均成立,求m的取值范围.,【例2】 已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)4,所以a5.即a的取值范围为(-,-3)(5,+).,【例3】 已知函数f(x)=|x+a|.(1)当a=-1时,求不等式f(x)|x+1|+1的解集;(2)若不等式f(x)+f(-x)2|a|,即-1a1.所以实数a的取值范围是(-1,1).,经典考题研析 在经典中学习方法,含绝对值不等式的解法,命题意图:本题主要考查了绝对值不等式的解法和三角形面积的求法,考查了分类讨论和数形结合思想,考查了运算求解的能力.,
