1、武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）课程名称 数值分析 专业班级 信息专业 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1001、已知 ，求 的 Lagrange 插值多项式。()2,(1),(2)1fff()fx2、 已知列表函数 ：yx1 2 3 4y0 5 6 3试求满足上述插值条件的 3 次 Newton 插值多项式 3()px3、 已知函数 的数值表()yfx0 1 2 3y1 2 17 64试分别求出 的三次 Newton 向前和向后插值公式；并分别计算 和 时，()fx 0.5x2.的近似值。()fx4、 设
2、，计算 的各种范数。13AA5、 计算矩阵 的条件数 .2.011Cond()A6、 分别写出方程组 的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式。2317.854.x7、 用 Newton 迭代法求方程 的根，要求 .05)(3xf 610|kx8、 试确定求积公式 使其具有尽可能高的代数精度。)()(0210 fAhfAdxh 9、设 ，利用复化梯形公式 计算 的近似值，要使 ， 应10sinxI nTI 321nTIn取多少？并计算 .nT武 汉 理 工 大 学 试题标准答案及评分标准用纸 课程名称 数值分析 （ A 卷）1、设 ， 则012012,xxyy21200
3、01112 2022()()1) (3),6( ,)()1) (1).3xxl xxxxl故所求插值多项式为.22012()()()8)6pxyllxylx2、造差商表 01x324x051y623y01,5fx2,3,9fx012,fx3,50123,fx则所求 3 次 Newton 插值多项式为3001001201233(),(),()5() 34pxffxfxx3、造向前和向后差分表 0x12x301y1227y36401()5y23()47y201()4y23303()18y则所求三次 Newton 向前插值公式为233000023(1)(1)2()!148tttpxyyyt， .0.
4、5,0.5xth3(.)(0.5)7fp所求三次 Newton 向后插值公式为 23333323(1)(1)2()!647895tttpxyyytt， .32.5,10.xth3(.)(2.5)7fp4、 ；1ma4;max1,6AA221T3;08E2210(1)036(18)28AI得 的两个特征值 . ，T12,12max,ax,故 .283mA5、 ， ；.011ax,3.06.1A，13.130222.0A；1max1,3051.1Cond()6.516、 从方程组(4.5)中分离出 ：123,x3213200.78.4xx据此建立 Jacobi 迭代公式 (1)()()2321(1
5、)()()3200.78.4kkkkkkxx及 Gauss-Seidel 迭代公式 23(1)(1)()213200.8kkkxx7、 ，据此建立 Newton 迭代公式5)(3xf )(3xf1 25,0,1kkk xk 取 迭代结果列于下表中。5.10xkx1k012341.51.342857141.328384141.328268861.328268860.1571430.0144730.00011587.2610由表结果知 是 的满足条件的近似值86.1x*x8、这里有三个待定常数 ，将 代入，得210,A2,1)(xf,3, 2122hAhh解得 . 于是 . 6,3,2210hA
6、)0()0(46)(0 fffdxf 直接验证，当 时，(2.6)的左边 ，右边 . 故求积公式的最高代数精度)(xf 41h3h.d9、因为 ，所以10)cos(sin)(dtxf,1010)( )2cos(dtkxtttf kkk 故 .1)2cos()( 1010ktdtxttxfkk (1) ， ，要使 满足误差要求，由式(4.2)，只需0abnT)(12(),( 3fnffRnn ，32210361nn即 ，亦即 ，故应取 . 则步长 ，相应地取56.2n453.7881nabh9 个节点，见表 x)(xfx)(xf01/82/83/84/81.00000000.99739780.9
7、8961580.97672670.95885105/86/87/810.93615560.90885160.87719250.8414709用复化梯形公式得 9865.073.(2841709.28 T1586.)5.09516. 10、因为两点 Gauss 型求积公式具有 次代数精度，所以23n当 时，上述两点 Gauss 型求积公式应准确成立，由此得：23(),fxx解得 11203201522101723120,AxxxAx 121236,75,365xA解法二 因为上述两点 Gauss 型求积公式的 Gauss 点 是 上以12,x0,为权函数的某 2 次正交多项式 的零点，不妨设()1x2()px. 于是2)(px1121210 2)(d0(),3557xxxx解得 .123636,7575xx再令 ，则 准确成立，即(),f1120()d()()fxAffx112032 120,36367575xxA解得 .12515,66A
