1、1线性方程组的矩阵求法摘要：关键词：第一章 引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。第二章 用矩阵消元法解线性方程组第一节 预备知识定义 1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理 1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：（1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的一个主元）为1；（2）B中每一主元是其
2、所在列的唯一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节21对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：（1）121122212,.nmmnaxaxbxx 根据方程组可知其系数矩阵为： （2）11212212nmmnaaaa 其增广矩阵为：（3）121122212nmmnbaa 根据（2）及矩阵的初
3、等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。定理 2：设 A 是一个 m 行 n 列矩阵3A=11212 212nmmnaaaa 通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A 化为以下形式（4） 进而化为（5）1*0100 1,12,2,1100rnrrncc 这里 r 0,r m, r n , 表示矩阵的元素，但不同位置上的 表示 的元素未必相等。即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形现在考察方程组（1）的增广矩阵（3） ，由定理 2 我们可以对（1）的系数矩阵（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5） ，对增广矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以
4、下形式：4（6）1,12,2,111000rnrrnmcdcd 与（6）相当的线性方程组是：（7）1 12 1, 112, 22, 1,0,r nrrr ni i ii i iiirirmxcxcxdxcxcxd 这里 ， ， 是 1，2，n 的一个排列，由于方程组（7）1i2ni可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理 1，方程组（7）与方程组（1）同解。因此，要求方程组（1） ，只需解方程组（7） ，但方程组（7）是否有解以及有怎样的解很容易看出:情形（1） ，rm,而 , 不全为零，这时方程组（ 7）无解，1rdm因为它的后 m-r 个方程中至少有一个
5、无解。因此方程组（1）也无解。情形（1） ，r=m 或 rm 而 , 全为零，这时方程组1rdm5（7）与方程组（8） 1121, 11, 22, ,r nrrr nii iii iiirirxccxdxxccxd 同解。当 r=n 时，方程组（8）有唯一解,就是 = ,t=1,2,n.这也是tixtd方程组（1）的唯一解当 rn 时方程组（8）可以改写为（9）1 12 111, 12, 2, ,r nr nr r ni i ii i iiri rixdcxcxxdcxcx 于是,给予未知量 , 以任意一组数值 , ，就得到1rini 1rikni（8）的一个解： 1 1111, 1, ,.r
6、 nr r nrrnni i ii iriiiiixckcdkxk 这也是（1）的一个解。由于 , 可以任选，用这一方法可1rikni以得到（1）的无穷多解。另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9） ，所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得到。例 1：解线性方程组6123412345,48,921.xxxx解：方程组的增广矩阵是 13524013289 进行初等行变换可得到矩阵最简形 131220600 对应的线性方程组是 1243216xx把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解 12431,.6xx第三章 用初等变换解线性方程组定义 2：设 B 为 m n 行最简
7、形矩阵, 按以下方法作 s n 矩阵 C: 对任一 i : , 若有 B 的某一主元位于第 i 列, 则将其所在行称1is为 C 的第 i 行, 否则以 n 维单位向量 作为 C 的(01,0)ie 7第 i 行, 称 C 为 B 的 s n 单位填充矩阵( 其中 ).1is显然, 单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“ -1” , 若主对角线上某一元素为“-1” , 则该元素所在列之列向量称为C的“ J一列向量” 。定义3：设B为行最简形矩阵, 若B的单位填充矩阵C的任一“ J一列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组:(1) (1)1212120,.nmmnbxbx 的解向量，则
8、陈C与B是匹配的（也说B 与C 是匹配的） 。引理1：设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第 j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：（）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中（）若C与B 是匹配的，则 与 也是匹配。CB证明：结论（）显然成立，下证（） ，因为C与B 是匹配的，故C 只能是n n矩阵, 从而 也是n n矩阵, 设以B为系数矩阵的方程组为(1), 以 为系数矩阵的方程组为(1), 以 为系数矩阵的方程组B为： (2) 121 2 120,.nmmnbxbxxx 则由B与 的关系可知对方程组（1）进行变量代换。 1,jjnxyy 8
9、就得到方程组（2）, 于是方程组（1）的任一解向量交换i、j 两个分量的位置后就是方程组（2）的一个解向量, 又从C与 的关系可知, 的任一 “ J一列向量 ”均可由C的某一“ J一列向量”交换Ci、j 两个分量的位置后得到, 从而由C与B匹配知 与 也是匹配的。B引理2：任一m n行最简形矩阵与其n n单位填充矩阵C 是匹配的。证明:1设(3)1,212,2,1,210000rrnrrrnnbbB 则以为系数矩阵的齐次线性方程组为: (4)1,1,212, 2,1,20,rrnrrrmnxbxbxxxx 而B 的单位填充矩阵为:(5)1,212,2,1,20001rrnrrrnnbbC 其所
10、有 J 一列向量为91,12,2,21,(0,)(,)rrrnrnb 显然它们都是方程组(4)的解, 即 B 与 C 是匹配的.2，一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类初等列变换( 变换两列的位置)化为(3) 的形式 , 从而B 的单位填充矩阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5), 由于这种变换是可递的, 据引理2及引理1（） 知B与C是匹配的。定理3:设齐次线性方程组(6)1212120,.nmmnaxax 的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B, 则B的n n单位填充矩阵C的所有“ J一列向量”构成方程组(6) 的一个基础解系。证明：设以B为系数矩阵的齐次线
11、性方程组为(1), 则(1)与(6)同解, 据引理2知C 的所有“J一列向量”都是方程组 (1)的解, 且是n-r个线性无关的解向量, (这里r=秩(B)= 秩(A), 从而构成方程组(1)的一个基础解系, 也是方程组(6) 的一个基础解系.定理3：设非齐次线性方程组(7)121212,.nmmnaxaxb 有解, 其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B, 则B的 n (n+1)单位填充矩阵C的所有“J一列向量 ”构成方程组的导出10组的一个基础解系, 而C的最后一个列向量为方程组(7) 的一个特解。证明：由定理3, 前一结论显然, 下证C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。作
12、齐次线性方程组(8)121121210nnmmnnaxaxb 则方程组(8)的系数矩阵即为方程组(7) 的增广矩阵A,于是B的(n+1) (n+1)单位填充矩阵为0,1c 由定理3知 的最后一个列向量是方程组(8)的一个解, 从而易知CC的最后一个列向量即为方程组(7)的一个特解 .例2:求线性方程组(9)1234513452xx的一般解。解:方程组(9)的增广矩阵为 131332454022A 用初等行变换将变为行最简形矩阵。1110202110B 写出B的5 6单位填充矩阵：1020211000 于是, 方程组的导出组的基础解系为12(2,)(,01,)而方程的一个特解为 3,从而方程组（
13、9）的一般解为 其中 , 为任意常数.123k1k2第四章 线性方程组通解的一种简便求法1 齐次线性方程组基础解系的一种简便求法设有齐次线性方程组(1)1212120,.nmmnaxax 矩阵形式为 ,其中0TXA12,()nxA=1122 212nmmnaaaa 求方程组 的一个基础解系的方法如下:0TXA12, ()0rnTnm mDAEP 行 初 等 变 换其中r = r ( A) , r ( ) = r ,即 为一个行满秩矩阵, 为n 阶单位mr E矩阵, P 为n 阶可逆矩阵。则矩阵 P 的后( n - r) 行即为方程组(1) 的一个基础解系。下面证明此结论。证明:对于n m 矩阵
14、 ,必存在n 阶和m 阶可逆矩阵 P ,Q ,使TAP Q = ,所以 P = = ，因为P为可逆矩TA0rE0rE1Q()rnmD阵, P 的行向量组线性无关,所以P 的后( n - r) 行行向量线性无关,而矩阵P 的后( n - r) 行为(0 , ) P ,因为(0 , ) P =(0 , )nrErETAnrE=0, 所以X = (0 , ) P为方程组 一个解,即P 的后( n ()0rnmDr 0X- r) 行为方程组(1) 的一个基础解系。因为 =TTn也就是对矩阵 施行初等行变换,将其转变为()0rnmPTA,则P 的后 ( n - r) 行即为方程组 (1) 的一个基础解系
15、。()rnD例3 求齐次线性方程组12345123450567xx的一个基础解系。解135123100546131700TAE 231064010213 100100102 因为r ( A) = 2 ,所以P的后3 行,即 = ( - 2 ,1 ,1 ,0 ,0) , = ( - 1 , - 3 ,0 12,1 ,0) , = (2 ,1 ,0 ,0 ,1)为方程组的一个基础解系。32 非齐次线性方程组通解的一种简便求法设有非齐次线性方程组(2)121122212,.nmmnaxaxbxx 其矩阵方程为 ,其中 .TXAb12mb求方程组 的通解的方法如下:T14,1 (1)001rnT nn
16、 mDPAEb 行 初 等 变 换其中 为n 阶可逆矩阵, ,则pTrA(1) 矩阵 Pn 的后( n - r) 行即为方程组XAT =0 的一个基础解系;(2) X = 3为方程组XAT = bT 一个特解。结论(1) 的正确性在前面已经得到证明,下面证明结论(2) 。当r ( AT ) = rATbT 时,方程组有解,对此情况进行证明。则矩阵Pn 的后 ( n - r) 行即为方程组XAT = 0 的一个基础解系, X = 3为方程组XAT = bT 一个特解。作两点说明:(1)对矩阵ATbT En+1 作初等行变换后,若最后一行的前 m 个元素不能全部变为零,即r ( AT ) rATbT ,此时方程组无解;(2) 对矩阵ATbT En+1 作初等行变换时,最后一行不能与其它各行交换位置。例2 解线性方程组15解所以方程组XAT = 0 的一个基础解系为方程组XAT = bT 的一个特解为3=所以方程组XAT = bT 的通解为 = 3+ c1 1+ c22 ,其中c1 , c2 为任意常数。用这种方法求齐次线性方程组的基础解系,或求非齐次线性方程组的通解只需施行矩阵的初等行变换,省掉了写矩阵对应的方程组,以及设自由未知量等繁杂过程,简单而实用,且易于掌握。
