1、11：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）BCDECBADE（平行） （不平行）（二）8 字型、反 8 字型JOADBC ABCD（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型 ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：2（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几
2、种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型：CAD二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到 8 字型拓展 CB EDAGAB CE F共享性一线三等角的变形3一线三直角的变形2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例 1：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E求证： OEAC2例 2：已知：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上, ABCDE求证：（1） ； （2） DAB2 C
3、A CDEB例 3：已知：如图，等腰ABC 中，ABAC ，AD BC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F求证： GFB21、如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证： FCBD242、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。求证：(1) AMENMD; (2)ND =NCNB23、已知：如图，在ABC 中，ACB=90 ，CDAB 于 D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EBDF=AEDB4.在 ABC中，AB=AC，高AD与BE交于
4、H ， EFBC， 垂足为F ，延长AD到G，使DG=EF，M是AH 的中点。 求证： GM90GMFEHD CBA5 已知：如图，在 RtABC 中，C =90，BC =2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PD AB，交边AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合） ，E 是射线 DC 上一点，且EPD=A设 A、P 两点的距离为x，BEP 的面积为 y （1）求证：AE=2PE；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP 与ABC 相似时，求 BEP 的面积A CBPD E（2）双垂型1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、 A
5、B 上的高5求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED DEAB C2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是 27 和3，DE=6 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。EDAB C（3）共享型相似三角形1、ABC 是等边三角形，DBCE 在一条直线上,DAE=120,已知 BD=1，CE=3，求等边三角形的边长.AB CD E2、已知：如图，在 RtABC 中，AB =AC，DAE=45求证：（1）ABEACD； （2） CDBE2ED CAB(4)一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC 中，边长为 6，D
6、 是 BC 上动点， EDF=60（1）求证：BDE CFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 例 2：（1）在 中， ， ，点 、 分别在射线 、 上（点 不与点ABC58BCPQCBAP、点 重合） ，且保持 .CAPQCADBE F6若点 在线段 上（如图） ，且 ，求线段 的长；PCB6BPCQ若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；xyQxAB CPQ（2）正方形 的边长为 （如下图） ，点 、 分别在直线 、 上（点 不与点 、点D5PQCBDPC重合） ，且保持 .当 时，求出线段 的长.90A1AB CD例 3：已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADB
7、C，且 AD5，AB DC 2（1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足 BPC A求证；ABPDPC求 AP 的长（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么当点 Q 在 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长CBA DCDABP例 4：如图，在梯形 中， ， ， 点 为边 的中点，A6ACB3AMB以 为顶点作 ，射线 交腰 于点 ，射线 交腰 于点 ，联结 MEFMEFDEF（1）求证： ；（2）
8、若 是以 为腰的等腰三角形，求 的长；B（3）若 ，求 的长CDAB CDAB C71、如图，在ABC 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 在 边上，且8ACB10DBCEACCADE(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的定义域；xByxx(3) 当点 是 的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由AB CDE2、如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结DE，并作 ，射线 EF 交线段 AC 于 FEFB（1）求证：DBE ECF ； （2）当 F 是线段 AC 中点
9、时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF，如果DEF 与 DBE 相似，求 FC 的长FBACDE3、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF =C，PF 交直线 CD 于点F，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= ，DF = ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的xyx定义域；当 时，求 BP 的长BEPDMFS498EDCBAP4、如图
10、，已知边长为 的等边 ，点 在边 上， ，点 是射线 上一动点，以线段3ABF1CFEBA为边向右侧作等边 ，直线 交直线 于点 ，EFEG,A,MN（1）写出图中与 相似的三角形；F（2）证明其中一对三角形相似；（3）设 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；,BxMNyxx（4）若 ，试求 的面积1AE(5)一线三直角型相似三角形例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作，交边 AB 于点 E,设 ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。CPEAExD, EB CAP例 2、在
11、中， 是 AB 上的一点，且AOBA,3,4,90o，点 P 是 AC 上的一个动点， 交线段 BC 于点5OPQQ， （不与点 B,C 重合） ，设 ，试求 关于 x 的函数关系，yx,并写出定义域。1.在直角 中， ，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，ABC43tan,5,90BAo交射线 AC 于点 FDEF（1） 、求 AC 和 BC 的长（2） 、当 时，求 BE 的长。/QCB AOP9FA BCDE（3） 、连结 EF,当 和 相似时，求 BE 的长。DEFABC FDC BA E2.在直角三角形 ABC 中， 是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一
12、个动点， （与DCA,90oA,C 不重合） ， 与射线 BC 相交于点 F.FE,(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证： F(2)、当 ，求 的值mBA（3） 、当 ，设 ,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域21,6CBxA, FA BCDE3.如图，在 中， ， ， ， 是 边的中点， 为 边上的一个动BC906AC3tan4BCA点，作 ， 交射线 于点 设 ， 的面积为 EFFExy（1）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；yx（2）如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积.D4.如图,在梯形 中， , ， 是腰ABCD34tan,2CADB PDAB,90上一个动点(不含点 、 ),作 交 于点 .(图 1)PQQ(1)求 的长与梯形 的面积；FDC BA E10QPD CBA(2)当 时,求 的长；( 图 2)DQPBP(3)设 ,试求 关于 的函数解析式,并写出定义域.yCxxQPD CBA
