1、第 1 页 共 6 页D CBAEDFCBA全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” ；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构
2、造等腰三角形）5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.3：如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证
3、：AD 平分BAE.ED CBA中考应用：以 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ，ABCABDACE第 2 页 共 6 页EDCBADCBAP21D CBAPQCBA连接 DE， M、 N 分别是 BC、 DE 的中点探究：AM 与 DE 的位90,BADCE置关系及数量关系 （1）如图 当 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ABC，线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A 沿逆时针方向旋转 (0 90)后，如图所示，D（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1.如图， 中，AB=2AC，AD 平分 ，且
4、AD=BD，求证：ABCBACCDAC2：如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证:ABAD+BC3：如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且ABC0604CAP，BQ 分别是 ， 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分 ，求证：ABC018CA5:如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PCCDBA第 3 页 共 6 页FEDCBA21AFHDCGBE6如图，在ABC 中，AD 平分BAC，AB+BD=AC，求BC 的值 中考应用：
5、如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC，点 E 是 AB 上一个动点，若B=60，AB=BC，且DEC=60 ，判断 AD+AE 与 BC 的关系并证明你的结论。3、找全等1. 已知：如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC 的中点，CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF求证：ADC=BDF 2如图，ABC 中，AB=AC ，过点 A 作 GEBC ，角平分线 BD、CF 相交于点 H，它们的延长线分别交 GE 于点 E、 G试在图 10 中找出 3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 四.借助角平分线造全等说明： 遇到有关角平分线的问题时，可引角的
6、两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等练习：1 已知：ABC 中，BD=CD ，12求证：AD 平分BAC第 4 页 共 6 页AD CBEAFD CBECEBAD2.如图 22，ABCD，E 为 AD 上一点，且 BE、CE 分别平分ABC、BCD 求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例： 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD 分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 AB 上截取 AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段 AB 分成 AE 和 BE
7、两段，只需证明BE=CD 就可以了延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例： 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于 E求证：ACE=B+ECD分析：注意到 AD 平分BAC，CEAD，于是可延长 CE 交 AB 于点 F，即可构造全等三角形利用角的平分线构造等腰三角形如图，在ABC 中，AD 平分BAC，过点 D 作 DEAB，DE 交 AC 于点 E易证AED 是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例： 如图，在ABC 中，AB=AC ，BD 平分ABC，DEBD 于 D，交 BC 于点 E求证：CD= BE21第 5 页 共 6
8、 页CBAD CBA D4321CEBADC E BADCBADACB D全等三角形作辅助线课后练习1在ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P， BQ 平分ABC 交 AC 于 Q求证：AB+BP=BQ+AQ 2如图，在ABC 中，AD 平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 3已知，E 为ABC 的A 的平分线AD 上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 4如图，在四边形 ABCD 中，BCBA，AD=CD，BD 平分ABC 求证：A+C=1805如图所示，已知 ADBC，1=2，3=4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D，交BC 于点 C求证
9、：AD+BC=AB 6已知，如图，ABC 中，ABC=90，AB=BC，AE 是A 的平分线，CDAE 于 D求证：CD= AE 217ABC 中，AB=AC，A=100，BD 是B 的平分线求证：AD+BD=BC 8如图，ABC 中，AD 平分BAC，AD 交 BC 于点 D，且 D 是 BC 的中点求证：AB=AC 第 6 页 共 6 页ACFEBMD9已知：如图，ABC 中，AD 是BAC的平分线，E 是 BC 的中点， EFAD，交 AB 于 M，交 CA 的延长线于 F求证：BM=CF 10.如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=
10、OD11.如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求abAE、BE 的长.中考应用: 如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC 、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBAO PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图
