1、数值分析（p11 页）4 试证：对任给初值 x0, 求开方值 的牛顿迭代公式(0)a12()12.kakx恒成立下列关系式： 2112()(),0,.2,.kkxkxa证明：（1） 2212kkkkk xaaxaxx （2） 取初值 ，显然有 ，对任意 ，00k0axaxaxkkk 21216 证明：若 有 n 位有效数字，则 ，kx nkx1028而 kkk x21821 nnkkx2121 05.48.必有 2n 位有效数字。1k8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.根据本章中所给出的定理：（设 x 的近似数 可表示为 ，如果 具有 l 位有效数字，则其相* mnax10.021*x对误
2、差限为 ，其中 为 中第一个非零数）1*2la1*x则 ，有两位有效数字，相对误差限为7.21x025.11e，有两位有效数字，相对误差限为7.2x025.12e，有两位有效数字，其相对误差限为：3.78x025.1233e第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于 ，7.1x8.1e其相对误差限为06782131x同理对于 ，有7.2036.1.82xe对于 ，有73012.8.23xe备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有 n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二
3、种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11. 解:，.142857.3.14592.3，具有 3 位有效数字20，具有 7 位有效数字61021359.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令 , , 所对应的真实值分别为 , , ，则1x23 *1x23 - =*l10 - / /2.720.001841x12 - =2*l5 - / /2.718280.00000184x20 - =3*1l41 - / /0.07180.000697x3212.解： =x21)1(2x 1-cosx= =2co
4、sin2i 1+x+ + -1=x+ +1xe!2xn!2nx13.解： - =xx1x/ = -dtx12)arcn(arctn设 =a， =b,则)r(x= =tanbbatn1t)1(- =)rct(xxrct )(rtx = = =-)1ln(2x1ln2x)1ln(2x)1ln(2x习题一（54 页）5.证明：利用余项表达式（11） （19 页） ，当 为次数n 的多项式时，由于 =0，)(xf )(1xfn于是有 = =0,即 = ，表明其 n 次插值多项式 就)(xRnf)(Pnnf Pn是它自身。9.证明：由第 5 题知，对于次数n 的多项式，其 n 次插值多项式就是其自身。于
5、是对于 =1，有 =)(xf)(2xPf即， + + =0l01l12l)(2xf则， + + =1)(x)(2x11.分析：由于拉格朗日插值的误差估计式为 =)(xfPn)!1(fn（ nkkx0)误差主要来源于两部分 和 。)!1(nf（ kk0)(对于同一函数讨论其误差，主要与 有关。nkkx0)(在（1）中计算 x=0.472 的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于 0.472 在1，2 两个节点之间，所以应选 1，2 为节点，在剩下的两个点中， 与 0.472 更靠近，0x所以此题应选 , , 为节点来构造插值多项式。0x12022 0101021122()()(1) .495(
6、)xpyyxxx15.证明：由拉格朗日插值余项公式有 )(xfp102)(!)kkxf2)(10x10max)(2f由于 = = + +201)(x201)(x)(01x21)(20)(x 4 )(xfp8)(201x1max)(2f20.证明：当 n=1 时， = =C =C),(10xF01)(xF01)(xff),10xf假设当 n=k 时，结论成立，则有= C ；),.(0kx),.(10kf= C ；1F12x那么，当 n=k+1 时，=),.(10kx01),.(),.(xFkk=C = C01),.(),.(ffkk ),.(10kxf证明完毕。 （类似的方式可证明第一个结论）2
7、1.解：由定理 4（26 页）可知：= ,其中),.(10nxf!)(fniix0ma,当 nk 时， = =0；()f)(nk当 n=k 时， = = ；)(xn)(!=,.10nf时当 时当 k,013.解：由题意知，给定插值点为=0.32, =0.314567; =0.34, =0.333487; =0.36, =0.3522740x0y1x1y2x2y由线性插值公式知线性插值函数为= + = +)(1P01x1034567.0.3487.0.当 x=0.3367 时， 0.0519036+0.27846160.330365367.0sin)3.(1P其截断误差为 ，其中 = )(1xR
8、2M)(10x2M10max)(2f= ， =- ， = 0.333487fsin2fsin34.sin于是 0.3334870.01670.00330.92)367.0(1 50若用二次插值，则得= + +)(2xP02010)(yx12101)(yx21202)(yx 0.330374367.sin3.2其截断误差为 )(2xR3M)(210xx（其中 = = = 0.950320maxf20axcos3.0于是 0.9500.01670.00330.02330.204)67.( 61017 解：差商表为一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商ix)(f1 -32 0 33 15
9、15 64 48 33 9 15 105 57 12 1 06 192 87 15 1 0 0由差商形式的牛顿插值公式，有= )(xP0f )(,010xf)(),(10210xxf 32x=-33 6 )()(x)3()(x23 题：解：由于 ，则0)1()0(P设 2xC由 ，则 )(,)2(得 21C所以 21xP24.解：由于 可设3)(,)(,),0)( P)21xxCxP由 得)2(1，有：0)3(21C所以 )(212)( xxxP26解：由泰勒公式有 303200“000 )(!)(!2)()() xfxfxfxff 设 30200“00 )()(!)()( CfffP其满足
10、， 其中 00xfjj,1j由 ，得 )(11fx )()()( 01“20201 xfxffC代入(*)式既可得 .xP33.解： 由于 ，故在 处有 连续，即：2,0)(CxS1x)1(,)(“S解得：1cb32cb34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。,1,0,1320xx2,10h, 101h212h, 1324),(60100fxfhd0)(6),(20101 kjjkxff2),(63212xfd0,32323fh于是得到关于 的方程组： 3210,M(三对角方程) 024212310（追赶法） 024102723140721 30M1230M解方程求出 ，代入320,
11、)6()6(6)(6)() 1212131 iiiiiiiiii MhfxMhfxMhxhxS即得满足题目要求的三次样条函数 2,10,41947123)(3 xxxS习题二2.解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义当 时， 左 = 1)(xf 1010xd右 = ，左 = 右43当 时， 左 = xf)( 21010xd右 = ，左 = 右43当 时， 左 = 2)(xf10102xd右 = ，左 = 右34)(32当 时， 左 = 3)(xf10103xd右 = ，左 右854)(3 所以求积公式的代数精度为 2.3.解： 求积公式中含有三个待定参数，即： ，因此令210,A求积公式对
12、均准确成立，则有2,1)(xf320100hAh解得： 4,12所求公式至少有 2 次代数精度。又由于 当 时， 左 = 03)(xf右 = 0)(3230hA当 时， 左 = 4)(xf5h右 = 左54203所以求积公式只有 3 次代数精度。、类似方法得出结论。6.解： 因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为 21)34(213)(01010 dxdxxlA)()(101010l故求积公式为： )43(12)(10ffdxf下面验证其代数精度：当 时， )(f ,10右左当 时，xf 2,20右左当 时，2)(f左右左 165,310x所以其代数精度为 1。7.证明：若求积公
13、式对 和 准确成立，则有)(xfg及 bankkfAxf0)(bankkxgAx0)()( )()()()(000 nkkknknk bababa xgfxgxf dfd所以求积公式对 亦准确成立。 次多项式可表示为k )(011xpaxaxkkk 若公式对 是准确的， 则有 7 题中的上一步可知，其),0(mxk对 亦成立。由代数精度定义可知， 其至少具有 m 次代数精度。)(xpk12. 解：0412(1)(5)25Tf1 83321(2)440(56f3213579()()2201.6879Tffff精确解为：1.60943817 解：首先将区间0，1变换为-1，1，令 ，则21tx1,tdtdttdx 112102 4844三点高斯公式为：（高斯求积公式的节点与系数可查表得到， 539085391 fffdxf对于高斯求积公式，计算系数和节点十分困难）, 则39265.0 531495814221t则 068.314812dt
