1、目 录第 1 讲：一元二次方程定义 6第 2 讲：一元二次方程解法 1 11第 3 讲：一元二次方程解法 2 18第 4 讲：一元二次方程解法 3 23第 5 讲：一元二次方程的应用 1 29第 6 讲：一元二次方程的应用 2 33第 7 讲： 二次函数图像与性质 54第 8 讲： 二次函数与一元二次方程59第 9 讲：实际问题与二次函数67 第 10 讲：旋转 不走弯路 快乐进步- 2 - 71第 11 讲：圆的有关性质181第 12 讲：圆的有关性质290 第 13 讲：点和圆、直线和圆的位置关系94第 14 讲：正多边形和圆97 第 15 讲：概率初步104第 16 讲：期末检测105
2、第 1 讲 一元二次方程的定义一、【教学要求、目标】1知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 02cbxa（ 0）a不走弯路 快乐进步- 3 -2在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3会用试验的方法估计一元二次方程的解。二、【教学重点、难点】1一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。2 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。3、【课堂精讲】1、一元二次方程的引入建立模型（为什么学？学了有什么用？用到哪些地方？）建立一元二
3、次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2 ）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图（1 ），有一个面积为 150的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长 18m），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为 35m，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式）2、一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程称为一元二次方程。识别一元二次方程必须抓住三个方面：（1）整式方程 （2 ）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是 2。 注意：要化成一般式
4、【例一】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由.不走弯路 快乐进步- 4 -(1) (2) (3)16x20125x2032xy(4) (5) (6)03254【例二】若方程 是关于 x 的一元一次方程，021mx求 m 的值； 写出关于 x 的一元一次方程。课堂练习：1、若( k4) x23 x2 0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是_2、若( m2) x3 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是_3、若( m1) x2 4 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 ( )(A)m1 (B)m1 (C)m0 且 m1 (D)任何实数 3、一元二次
5、方程的一般形式 （a 0）2cbxa一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：（ a 0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 是二次项， a 是二2cbxa 2ax次项系数， bx 是一次项， b 是一次项系数，c 是常数项.【整理后】 是二次项， a 是二次项系数，2bx 是一次项， b 是一次项系数，c 是常数项.例 1 把 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和6)4(3x常数项。解：移项，整理，得 02x二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。116不走弯路 快乐进步- 5 -例 2 已知关于 的方程 是一元二次方程时，
6、则 x02112xmx m例 3 指出 mx2-nx-mx+nx2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， 解：变形为一般形式为：（m+n）x 2+（-n-m）x p=0二次项是（m+n）x 2，二次项系数是 m+n；一次项是（-n-m）x ，一次项系数是-n-m； 常数项是p课堂练习：1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 xx342222148x 123x 0p22 nmqnxmx4、方程的解的定义:使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。例如：x=2,x=3 都是一元二次方程 x2-5x+6=0
7、的根。例 1：已知方程 的一根是 2，则 k 为 012kx例 2：若 x1 是方程 x2 ax b0 的一个根， b0，则 a b 的值是 ( )(A)1 (B)1 (C)3 (D)3例 3：如果一元二次方程 ax2 bx c0( a0)有两根 1 和1 ，那么a b c_， a b c_例 4：已知 m 是方程 x10 的一个根，求代数式 5 5m2004 的值2 2m不走弯路 快乐进步- 6 -例 5求证：关于 x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+17
8、0 即可证明：m 2-8m+17=（m-4） 2+1（m-4 ） 20（m-4 ） 2+10，即（ m-4） 2+10不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程课堂练习：1.方程（2a 4）x 22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2.当 m 为何值时,方程(m+1)x 4m-4 +27mx+5=0 是关于的一元二次方程4、【课后作业】不走弯路 快乐进步- 7 -1下列方程是一元二次方程的是_ （只填序号）（1） x2=5；（2）x 2+xy+3=0；（3）x+ =2；（4）mx 2+x+1=0（m0）；（5）x1ax2+bx+c=0；（6）
9、x2+3x+1=0；（7 ）x 2+1=0；（8）2 +x=04x2试写出一个含有未知数 x 的一元二次方程_ 3若关于 x 的方程 mx2+nx+p=0 是一元二次方程，则 m_，n_，p_ 4若关于 x 的方程 x +3x+5=0 是一元二次方程，则 a 应满足_21a5若（k+1）x2+（k1） x+2=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k_6若关于 x 的方程（ m21）x2+（m+1）x+3=0 是一元二次方程，则 m_； 若是一元二次方程，则 m_7一元二次方程（2x+1）（x1）=3x+1 化为一般形式是_ ，二次项是_，一次项是_，常数项是_8一元二次方程 x2=7 的二次项
10、系数是_，一次项系数是_ ， 常数项是_319方程 x+1=0 的根是_10若 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的解，则有_ 成立11若 x=1 是方程（a 21）x 2+x+1=0 的解，则 a=_12 m 满足什么条件时，方程 mx2+4x+3=0 的根是 1？13、若 px2-3x+p2-p=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）.不走弯路 快乐进步- 8 -A.p=1 B. p0 C. p 0 D. P 为任意实数14、关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别是 1 和 2，则 b= c=_ 15、方程 2（x+2）+8=3x(x-1)的一般形式是_，二次
11、项系数是_，一次项系数是_，常数项是_.16、已知一元二次方程的两根分别为 x1=3, x2= -4,则这个方程为（ ）A. (x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4) =0 C. (x+3)(x+4)=0 D.(x-3)(x-4)=017、已知一元二次方程有一个根为 1，那么这个方程可以是_( 只需写出一个过程)18关于 x 的方程（k 2 ）x +8kx+1=0，当 k 满足什么条件时：2k（1）它是一元二次方程？（2）它是一元一次方程？19一元二次方程 a（x+1） 2+b（x+1）c=0 化成一般形式为 4x2+3x+1=0，试求（2a+b）3c 的值20已知关于 x 的方程（
12、m ）x 2+4x+m29=0 的一个根是零，求 m 的值3不走弯路 快乐进步- 9 -家长建议及评价： 家长签名 ： 第 2 讲 一元二次方程的解法 1一、【教学要求、目标】1、了解形如 = n（n0）的一元二次方程的解法 直接开平方法2)(mx2、会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法3、在用配方法 解方程的过程中，体会转化的思想二、【教学重点、难点】学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程不走弯路 快乐进步- 10 -使学生掌握用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程学习难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系把一元二次方程转化为的 =
13、 k（k0）形式2）（ hx三、【课堂精讲】1、直接开平方法什么叫直接开平方法？像解 x2=4，x 2-2=0 这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（ a0 ）或（x+h ） 2=k（k0）的形式，然后再根据平方根的意义求解例 1 已知一元二次方程 mx2+n=0(m0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则 m、n 必须满足的条件是（ ）A.n=0 B.m、n 异号 C.n 是 m 的整数倍 D.m、n 同号典型例题：例 2 解下列方程（1）x 2-1.21=0 （2）4x 2-1=0解：（1）
14、移向，得 x2=1.21 （2）移向，得 4x2=1x 是 1.21 的平方根 两边都除以 4，得 x2= 1x=1.1 x 是 的平方根1不走弯路 快乐进步- 11 -即 x1=1.1，x 2=-1.1 x= 即 x1= ，x 2=21例 3 解下列方程： （ x1） 2= 2 （ x1） 24 = 0 12（32 x） 23 = 0 解：（1）x+1 是 2 的平方根 （2）移项，得（x-1） 2=4x+1= x-1 是 4 的平方根即 x1=-1+ ，x 2=-1- x-1=2 即 x1=3，x 2=-1(3)移项，得 12（3-2x） 2=3两边都除以 12，得（3-2x） 2=0.2
15、53-2x 是 0.25 的平方根3-2x=0.5 即 3-2x=0.5,3-2x=-0.5 x1= ，x 2=课堂练习：（1） 25x； （2） 2140y （3 ）解方程(2x 1) 2=(x2) 2 （4） 2(1)9x； （5 ） 2(1)3x； （6） 2(1)50x475不走弯路 快乐进步- 12 -2、配方法解方程（1）.什么是配方法？什么是平方根？什么是完全平方式？我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的助手:如果 x2=a,那么
16、x= .x 就是 a 的平方根 式子 a22ab+b2叫完全平方式, 且 a22ab+b2 =(ab)2（2）用配方法解下列方程：(1)x2-6x-16=0； (2)x2+3x-2=0；（3）请你思考方程 x2- x+1=0 与方程 2x2-5x+2=0 有什么关系？5后一个方程中的二次项系数变为 1，即方程两边都除以 2 就得到前一个方程 ，这样就转化为学过的方程的形式，用配方法即可求出方程的解问题 1：如何用配方法解方程 2x2-5x+2=0 呢？解：两边都除以 2，得 x2- x+1=0 系数化为 15移项，得 x2- x=-1 移项配方，得 x2- x+ 即 配方522451 1694
17、52x开方，得 开方34不走弯路 快乐进步- 13 -x1= ，x 2=2 定根对于二次项系数不为 1 的一元二次议程，我们可以先将两边都除以二次项系数，再利用配方法求解配方法归纳1 一元二次方程 x2+px+q=0 用配方法求解时,转化为 ，然后用开平qppx22)(方法求解。2 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)用配方法求解时，首先将二次项系数化为 1，即转化为,再配成 ,最后用开平方法求解。0acxb acbaxb222)(课堂练习：（1） x2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0（3） x2-8x+7=0 （4）（1+x） 2+2（1+x）-4=0（5）用配方法求 2
18、x2-7x+2 的最小值？ （6）用配方法证明-10x 2+7x-4 的值恒小于 0？不走弯路 快乐进步- 14 -4、【课后作业】1、解下列方程：（1） 2()9x； （2） 2(1)3x； （3 ） 2(61)50x2、解方程 281()6x3、 用直接开平方法解下列方程：（1） 25()180y； （2 ） 21(3)644x；4、填空（1） 28x（ ） （ x ） 2（2） 3（ ）（ ） 2不走弯路 快乐进步- 15 -（3） 2bya（ ）（ y ） 25. 用配方法解方程 23610x 2310x6. 解方程： 2540x7. 用配方法证明：（1） 21a的值恒为正； （2）
19、298x的值恒小于 0不走弯路 快乐进步- 16 -家长建议及评价： 家长签名 ： 第 3 讲 一元二次方程的解法 2一、【教学要求、目标】1、会用公式法解一元二次方程2、学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2 4ac03、能用= b24 ac 的值判别一元二次方程根的情况4、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式= b24 ac 对根的情况的判断作用二、【教学重点、难点】学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程不走弯路 快乐进步- 17 -一元二次方程的根的情况与系数的关系（韦达定理）学习难点：求根公式的结构比较复
20、杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值3、【课堂精讲】1、求根公式法解方程如何用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 bx c = 0（ a0）？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：解：因为 ，所以方程两边都除以 ，得 0aa20bcxa移项，得 2配方，得 222 )()(abcabxx即 24()（这样原方程就化成了（x+h） 2=k 的形式）能用直接开平方解吗？什么条件下就能用直接开平方解了？当 ，且 时， 大于等于零吗？240bac24bac让学生思考、分析，发表意见，得出结论：
21、因为 ，所以 ，从而0a240a240bac不走弯路 快乐进步- 18 -当 时，得240bac24bacxa所以 即 cx2 24bacx到此，你能得出什么结论？一般地，对于一般形式的一元二次方程 ，20()axbca当 时，它的根是 （ ）240bac242c这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法。这个公式说明方程的根是由方程的系数 、 、 所确定的，利用这个公式，abc我们可以由一元二次方程中系数 、 、 的值，直接求得方程的解。 abc（1）为什么在得出求根公式时有限制条件 b24 ac0？（2）在一元二次方程 中，如果 b2-4ac0，那么方程
22、有实数根20()axbca吗？为什么？在用配方法求 的根时，得 ，因为负数没有平方20()axbca24()bacx根，所以 24在一元二次方程 中，如果 b2-4ac0，那么方程无实数根，这是20()axbca由于 无意义。cb42不走弯路 快乐进步- 19 -课堂练习：用公式法解下列方程： x23x2 = 0 2 x27x = 4 （3）x 2+ 16x- 3=0（4）x 2-2 x+1=0 （5）0.4x 2-0.8x=1 （6 ） 23y2+ 1y-2=02、根的判别式：= acb42已知 ax2+bx+c=0（a0 ）且 b2-4ac0，试推导它的两个根 x1= ，x 2=24bac
23、4bac（1）当 = 时，一元二次方程 有实数根2020()axbca， ；214bcx224（2）当 = 时，一元二次方程 有实数根240bac20()axbca不走弯路 快乐进步- 20 -；12bxa（3）当= 时，一元二次方程 无实数根240bac0()c例 1 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 3 判别式的应用（1）：根据一元二次方程根的情况，求字母系数的取值范围例 2：如果方程 ax22 x10 有实数根，求实数 a 的取值范围判别式的应用（2）：根据判别式的情况证明一元二次方程有无实根例3：已知关于x的方程 .2()210
24、xm（1）求证方程有两个不相等的实数根.（2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解不走弯路 快乐进步- 21 -课堂练习：1.不解方程，判断方程根的情况：（1）x 2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0; (3)2y2-3y+4=0 (4)x2+5= x52.k 取什么值时，方程 x2-kx+4=0 有两个相等的实数根？求这时方程的根。3.已知 a、b 、 c 分别是三角形的三边，则关于 x 的一元二次方程（ a+b）x 2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（ ）A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。3、根与系
25、数的关系（韦达定理）一元二次方程的的根与系数关系：一元二次方程的 的两个根是 ，则 ，)0(2acbxa21x、 21xab21xc不走弯路 快乐进步- 22 -以 和 为根的一元二次方程： 1x2 )(0)( 21221212 xcbxaxx 相关公式21x2121)x（ 21x21x = =212121214例 1 已知方程 的两根为 ，不解方程，求下列各式的值。0352x21,x（1） ； （2） 。2x21课堂练习：1若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）x2 0132x21xA2 B1 C1 D32若关于 x 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ,且满足 .则2240xk
26、12x121xxAk 的值为（ ）A1 或 B1 C D不存在34343方程 x2-3x-6=0 与方程 x2-6x+3=0 的所有根的乘积为 ( )不走弯路 快乐进步- 23 -A-18 B18 C-3 D34若 x1，x 2是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根，则 x12+x22 的值是( )A B C D7549415若关于 x 的一元二次方程 2x22x3m 1 0 的两个实数根 x1，x 2，且 x1x2x 1x 24 ，则实数 m 的取值范围是Am Bm Cm D m5312535325已知方 程 x2+(2k+1)x+k2 2=0 的 两 实 根 的 平 方 和 等 于
27、 11， k 的 取 值 是 （ ）A3 B3 C1 D3 或 16如果 x 的方程 x2+kx+1=0 的两根的差为 1，那么 k 的值为（ ） A2 B C D3567 已知关于 x 的方程 5x2+kx-6=0 的一个根为 2，设方程的另一个根为 x1，则有（ ）Ax 1= ，k=-7 Bx 1=- ，k=-7 Cx 1=- ，k=7 Dx 1= ，k=753535353四、【课后作业】1、下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不等实数根的方程是（ ）（A） （B）02 0142x（C） （D）32x22、关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取
28、值范是（ ）A. k1 B. k1 C. k0 D. k1 且 k0不走弯路 快乐进步- 24 -3、三角形的两边长分别是 3 和 6，第三边是方程 的解，则这个三角形的周长是（ 0862x）A、11 B、13 C、11 或 13 D、11 和 13 4、已知代数式 的值是 7，则代数式 的值是 0921x 0921x5、已知关于 x 的方程 ax24 x10 有实数根，求实数 a 的取值范围6已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为_ 1x22630x21x7已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则12 0)1(22axa 1x23 21x8设 x1、x 2是方程 2x2+4x-3=
29、0 的两个根，则(x 1+1)(x2+1)= 9 若 方 程 的 两 根 为 a、 ， 则 034a10 若 方 程 的 两 根 之 比 是 2： 3， 则 k= 52kx11已知关于 x 的方程 x2（k+1）x+k+2=0 的两个实数根的平方和等于 6，求 k 的值12 ， 是关于 x 的一元二次方程(m1)x 2x + 1 = 0 的两个实数根，且满足(+1)(+1) = m +1，求实数 m 的值不走弯路 快乐进步- 25 -13 已知关于 x 的一元二次方程 x2+(4m+1)x+2m-1=O(1)求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为 x1、x
30、2，且满足 + = ，求 m 的值1x11x212家长建议及评价： 家长签名 ： 第 4 讲 因式分解解一元二次方程一、【教学要求、目标】1、掌握用因式分解法解一元二次方程2、通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解不走弯路 快乐进步- 26 -一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题二、【教学重点、难点】1重点：用因式分解法解一元二次方程2 难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便三、【课堂精讲】1公式法：平方差公式： 完全平方公式： )(2baba 222)(baa2.小结：分解因式的一般步骤为：（1）若多项式各
31、项有公因式，则先提取公因式。（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。例 1、用公式法解下列方程（1） （ x+1）（ x+3）6 x+4 （2） (31)20xx（3） x2（2 m+1） x+m0例 2 已知 x27 xy+12y20 （y0）求 x：y 的值不走弯路 快乐进步- 27 -例 3、三角形两边的长是 3，8，第三边是方程 x217x+660 的根，求此三角形的周长例 4、关于 x 的二次三项式： x2+2rnx+4 m2是一个完全平方式，求 m 的值例 5、利用配方求 2x2 x+2 的最小值例
32、6、 x2+ax+6 分解因式的结果是（ x1）（ x+2），则方程 x2+ax+b0 的二根分别是什么?例 7、 a 是方程 x23 x+1=0 的根，试求的值3、用“十字相乘法”解一元二次方程 我们知道 ，反过来，就得到二次三项式 的因式分解2356xx256x形式 ，即，其中常数项 6分解成 2,3两个因数的积，而且这256两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=23，且 2+3=5。不走弯路 快乐进步- 28 -5-941一般地，由多项式乘法， ，反过来，就得到2xabxab2xab看一下这个简单的例子 m+4m-12m -2 m 6把二次项拆成 m 与 m 的积(看左边, 注意竖着
33、写)-12 拆成-2 与 6 的积(也是竖着写)经过十字相乘(也就是 6m 与-2m 的和正好是 4m)所以十字相乘成功了m+4m-12=(m-2)(m+6)重点：只要把 2 次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于 1 次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程例 2 解方程： 045312x解： 0549x 319451）（.,21x 注意：要先把一元二次方程化为一般形式，且二次项系数要化为正数；常数项太大时要进行因数分解，以确定出应拆解的那两个数是什么。不走弯路 快乐进步- 29 -课堂练习：（1） （2） （3）0342x0782p01242m（4） （5） （6 ）01872x 01692x7x（7） （8） （9）062x 0432x38162x（10 ） （11） （12）09642x16x 0132x成功的关键不走弯路 快乐进步- 30 -四、【课后作业】(1) =0 (2) =0 (3) 273x2675x0352x(4) =0 (5) =0 (6) =0 2157x2384a2576x(7) =0 (8) (9) 2610y052x 0252x
