1、第一章 量子力学的诞生1.1 设质量为 的粒子在谐振子势 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。m21)(xmV提示：利用 )(,2, VEpnhxdp )(x解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为（1）a其中 由下式决定： 。 0 a21)(amxVaax由此得 ， （2）2/E即为粒子运动的转折点。有量子化条件x hnamadxadxmdpa 2222)1(2 得 （3）nh2代入（2） ，解出（4）,21,En积分公式： cauuadua rsin221.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。cb,解：除了与箱壁碰撞外，粒子在
2、箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 轴方向，把粒子沿 轴三个zyx, zyx,方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有 ,321,xxnhdp即 （ ：一来一回为一个周期）a2a,nx/同理可得， , ,bhpychnpz2/321,zx粒子能量 2222)(1cnbampmE zyxzyxnzyx ,3,zyx1.3 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量 。 ,21,20 nhdpp IpE2/解：平面转子的转角（角位移）记为 。它的角
3、动量 （广义动量） ， 是运动惯量。按量子化条件 .I,321,220 mhpdx，因而平面转子的能量，IIpEm2/2,311.4 有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值.e(解 )带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 ,设圆半径是 ,线速度是 ,用高斯制单rv位，洛伦兹与向心力平衡条件是:(1)rmvcBe2又利用量子化条件,令 电荷角动量 转角pq(2)nhvvdpq220即 (3)nhr由(1)(2)求得电荷动能= mcBe12再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=, 是电荷的旋转频率, ,代入前式得cBrvc *2场 强
4、线 圈 面 积电 流场 强磁 矩 rv2运动电荷的磁势能= (符号是正的)mcnBe2点电荷的总能量=动能+ 磁势能=E= ( )cne23,211.5，1.6 未找到答案1.7（1）试用 Fermat 最小光程原理导出光的折射定律21sinsi（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为 则 这将导得下述0pdlmvp0pdl折射定律 131sinsi这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 仍就成立，E 是粒子能量，从一2cvp种媒质到另一种媒质 E 仍不变，仍有 ，你怎样解决矛盾？0pdl（解）甲法：光线在同一均匀
5、媒质中依直线传播，因此自定点 A 到定点 B 的路径是两段直线：光程 QBAIn21设 A，B 到界面距离是 a,b(都是常量) 有2211secsecbaI又 AB 沿界面的投影 c 也是常数，因而 ， 存在约束条件：12（2）tgt21求(1)的变分,而将 , 看作能独立变化的,有以下极值条件 1(3)0secsec 2221 dtgbtaI ndn再求（2）的变分 sec1c(3)与(4)消去 和 得1d2(5)21sinsi乙法见同一图,取 为变分参数,取 0 为原点，则有:x)(2221 xcbaI 求此式变分,令之为零,有： 0)(2221 xcbaIn这个式子从图中几何关系得知,
6、就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度 应等于光波的群速度 光程原理作 ,依前题相速vvG0dlG,而 , 是折射率, 是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度 ,这样最小作用vGpc2cnp2n vp量原理仍可以化成最小光程原理. 0ndl前一非难是将光子的传播速度 看作相速度 的误解.vp1.8 对高速运动的粒子(静质量 )的能量和动量由下式给出 :m(1)21cvE(2)2cvp试根据哈密顿量 (3)242pcmEH及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: ,本题中 , ,
7、因而qiiH vipi(4)242242 pcmpcpv从前式解出 (用 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3), 就可得到 (1)式. v其次求粒子速度 和它的物质波的群速度 间的关系.运用德氏的假设: 于(3) 式右方, 又用vG kp于(3)式左方,遍除 :Eh)(224kcm按照波包理论，波包群速度 是角频率丢波数的一阶导数：vG224kckvG= 242224 pcmc最后一式按照（4）式等于粒子速度 ，因而 。vvG又按一般的波动理论，波的相速度 是由下式规定 （ 是频率）kvp利用（5）式得知（6）cmp24故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出 和 的关系，将（1） （
8、2）相除，再运用德氏波假设：vGp， （7）GcvkpE2vGpc2补充：1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， axxV0,)(试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有 ),321(2na（1）/又据 de Broglie 关系（2）/hp而能量（3） ,32124/22 nmanhE1 试用量子化条件,求谐振子的能量 谐振子势能 )(xV(解)(甲法 )可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式: nhpdq在量子化条件中,令 为振子动量, 为振子坐标,设总能量 Exmpxq则 2PE)2(mE代入公式得: nhdxm)
9、(2量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅 的四倍,要决定振幅 ,注意在 A 或 B 点动能为 0,OAa,(1)改写为:21aE(2)nhdxma积分得: 2遍乘 得1nhE2乙法也是利用量子化条件,大积分变量用时间 而不用位移 ,按题意振动角频率为 ,直接写出位移 ,用 的txxt项表示: taxqsin求微分: (4)tddcos求积分: (5)maxp将(4)(5)代量子化条件: nhtddqT022cosT 是振动周期,T= ,求出积分,得nham2 E2正整数3,1#2用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为 .,cba(解 )三维问题,有三个独立量子化
10、条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如),其余分动量不变 ,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条pxx件:(1) pnqxaxxx dhd20(2)ybyyy(3)pzczzz 0都是常数,总动量平方 总能量是:zyx, 22zyxpp)(212zyxpmpE= )()()(22chbahnzyx= 822zyx但 正整数.3,1,nzyx#3 平面转子的转动惯量为 ,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量 ,但是角速度,能量是21E利用量子化条件,将 理解成为角动量, 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有pq(1)nhdpq20(1) 说明 是量子化的(2) ( ) (2)nh23,21(3) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3)2)(2nE#
